专题05一元二次方程概念及解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程概念及解法核心知识点，系统梳理从整式方程延伸的知识脉络，通过降次思想将二次方程转化为一次方程求解，涵盖定义三条件、一般形式、根的概念及直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，为后续根与系数关系及实际应用搭建学习支架。 该资料以结构化设计为亮点，如配方法四步流程模块化、解法适配形式清晰，结合易错点剖析培养数学思维，通过根的代入求值强化抽象能力，题型分层设计渗透模型意识。课中辅助教师精准突破重点，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题05一元二次方程概念及解法精讲学案 核心立意 一元二次方程是整式方程学习的延伸，实现从一次方程到二次方程的跨越。本节核心思想为降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。本节要求准确识别一元二次方程，熟练化为一般形式；掌握四种解法，能依据方程结构选择最优解法；会利用方程的根完成代入求值，为本章后续根与系数关系、实际应用做好铺垫。 一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 一元二次方程一般形式 标准式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0） 1. ax²为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2. 所有项全部移到左边、右边为0，带符号识别系数。 方程的根（解） 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2. 已知根求参数：直接代入原方程求解参数；若限定一元二次方程，必须保证 a≠0。 3. 近似估根：利用代入求值正负变化，锁定根的取值区间。 根据定义求参数（高频必考） 解题两个硬性条件： ①未知数最高次数等于2； ②二次项系数不等于0（学生最易漏、考试必考扣分点）。 两个条件同时满足，舍去使a=0的参数。  直接开平方法：形态适配+根的情况一键判断 适配形式：(mx+n)2=p 根的快速判断口诀：p＞0两异根、p=0两等根、p＜0无实根； 硬性要求：开方必须带，杜绝单根失分。 配方法标准化四步流程（步骤模块化，适合步骤大题扣分点讲解） ①化1：二次项系数化为1；②移项：常数项右移；③配方：两边加「一次项系数一半的平方」；④平方定型+开方求解。 补充价值：配方法是求根公式推导源头，同时用于二次函数顶点变形，实现前后知识点串联，是教师拓展延伸的优质切入点。 公式法：万能兜底解法使用准则 先整理标准式，带符号确定a、b、c，直接代入计算，适配所有有实数根的二次方程，无结构要求，适合无法因式分解、无法直接开方的复杂方程。 因式分解法：零乘积速解原理 依据AB=0A=0或B=0，方程整理为因式乘积=0，直接拆分一次方程，计算量最小，计算题首选。适配提公因式、十字相乘类方程。 重点辨析 1. 判断一元二次方程，一定要先合并同类项。例：x2+2x=x2-1，化简得 2x=-1，最高次数是 1，是一元一次方程。 2. 在 ax2+bx+c=0 中，a0。若题目没有说明它是一元二次方程，需要分类讨论： a0：一元二次方程； a=0, b0：一元一次方程。 3. 对于一元方程，解和根是同一概念；“根”只用于一元方程。 4. 形如 (mx+n)2=p 的方程，优先开平方，不要盲目展开，避免增加计算量。 5. 因式分解法的前提：方程右边必须等于 0。不要在等号右侧不为 0 时分解；不要在方程两边同除以含有未知数的代数式，否则会丢失根。 6. 配方的前提：二次项系数为 1；两边必须同时加上同一个常数，保证等式成立。 7. 代入求根公式前，务必化为一般形式；a,b,c 必须连同符号一起取值。例：2x2-3x-5=0 中，b=-3, c=-5。 8. 在实数范围内，一元二次方程有三种可能：两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根。不能说“只有一个实数根”。 9. 方法区分：因式分解法、直接开平方法属于技巧性解法；公式法是通用解法；配方法既是一种解法，也是重要的变形工具。 1. 不化简方程就进行判断，把二次项可以抵消的方程误认为一元二次方程。 2. 求参数时，只满足次数为 2，忽略a0。 3. 未化为一般形式就选取 a,b,c，造成符号错误。 4. 直接开平方法中，开方后漏掉 ，只求出一个根。 5. 因式分解时，不等号右侧不为零就分解；方程两边除以含未知数的整式，丢失根。 6. 配方法中，未把二次项系数化为 1 就配方；只在左侧加常数，右侧不加，破坏等式。 7. 公式法中，a,b,c 符号代入错误；在 b2-4ac<0 时强行代入公式。 8. 误认为一元二次方程一定存在实数根。 9. 将两个相等的实数根说成“一个根”。 10. 不观察方程特征，一律使用公式法，增加运算错误。 11. 已知根求代数式的值，习惯解出未知数，忽略整体代入的简便方法。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 因式分解法解一元二次方程 ★ 题型七 解一元二次方程 —— 直接开平方法 ★ 题型八 解一元二次方程 —— 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十一 换元法解一元二次方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：一元二次方程的定义 解题思路：① 判断式子是否为整式方程，未知数不能出现在分母或二次根号内；② 确认方程只含有一个未知数；③ 合并同类项后，检验未知数的最高次数是否为 2；④ 必须同时满足以上三个条件，该方程才是一元二次方程 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 题型二：化成一元二次方程的一般式 解题思路：① 通过去分母、去括号，消去分母和括号；② 移项，将所有项移到等号左侧，使等号右侧等于 0；③ 合并同类项；④ 按未知数次数降幂排列，整理成 ax2+bx+c=0} 的形式；⑤ 确定 a,b,c 时，包含各项的正负符号。 5．把方程化为一般形式是__________． 6．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 7．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型三：由一元二次方程的定义求参数 解题思路：① 根据未知数最高次数为 2，列出关于参数的方程；② 添加约束条件：二次项系数不等于 0；③ 结合上述两个条件求解参数；④ 验证解，舍去使二次项系数为 0 的取值。 8．若关于的方程是一元二次方程，则________． 9．关于x的一元二次方程，则处可能是（    ） A． B． C． D． 10．若方程是一元二次方程，则m的值为________． 11．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 题型四：判断是否是一元二次方程的解 解题思路：① 将给定数值代入方程的左侧；② 计算左侧代数式的值；③ 比较左侧结果与等号右侧的值；④ 若两侧相等，则该数是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 12．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 13．已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 14．已知是方程的一个根，则的值为________． 15．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题思路：① 将已知根代入原方程；② 得到一个含有参数的新方程；③ 求解新方程，得到参数的值；④ 若题目求代数式的值，可利用根的定义进行整体代入，不必求解原方程的未知数。 16．已知方程的一个根为，则m的值为_____． 17．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 18．若，且是方程的根，则_________ 19．若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 题型六：因式分解法解一元二次方程 解题思路：① 移项，将所有项移至等号左侧，使等号右侧为 0；② 对左侧多项式因式分解，可用提公因式法、平方差公式、完全平方公式；③ 依据“若两个因式的积为 0，则至少一个因式为 0”，得到两个一元一次方程；④ 分别解两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个根。 20．一元二次方程的根是__________________． 21．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 22．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 23．已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 题型七：解一元二次方程 —— 直接开平方法 解题思路：① 通过移项、化简，将方程整理为x2=p或 (mx+n)2=p 的形式；② 当 p>0 时，得 mx+n=，求解得到两个不相等的实数根；③ 当 p=0 时，得 mx+n=0，得到两个相等的实数根；④ 当 p<0 时，由于实数范围内平方非负，方程无实数根。 24．方程的根是__________． 25．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 26．若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________ 27．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 题型八：解一元二次方程 —— 配方法 解题思路：① 方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为 1；② 将常数项移到等号右侧；③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 将左侧写成完全平方式 (x+m)2=n；⑤ 使用直接开平方法求解方程。 28．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 29．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 30．完成下面推导一元二次方程的求根公式的过程． 解：移项，得____________． 二次项系数化为1，得____________． 配方，得______________________， 即． 当时，原方程有解， ____________， ____________， 一元二次方程的求根公式是_____________________． 31．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 题型九：配方法的应用 解题思路：① 提取二次项系数，把代数式改写为 a(x+m)2+k 的形式；② 利用平方的非负性 (x+m)20，确定代数式的最值；③ 若若干个平方项的和为 0，则令每一个平方项等于 0，解出未知数；④ 比较两个代数式的大小时，将两式作差，对差式配方，根据差的正负判断大小关系。 32．代数式的最小值是______． 33．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 34．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 35．对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 题型十：公式法解一元二次方程 解题思路：① 将原方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)；② 确定 a,b,c 的值，保留各项的正负符号；③ 计算 b2-4ac；④ 若 b2-4ac 0，把 a,b,c 代入求根公式 计算根；⑤ 若 b2-4ac<0，方程无实数根。 36．方程的根为________． 37．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 38．已知a，b满足，已知，x为正数，则__________． 39．对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 题型十一：换元法解一元二次方程 解题思路：① 观察方程，找出重复出现的整体式；② 设该整体式为新未知数 y；③ 用 y 替换原方程中的整体，得到关于 y 的一元二次方程；④ 求出 y 的全部解；⑤ 回代，将 y 的值代入换元关系式，求出原未知数的值；⑥ 检验所有解，舍去不符合题意的值。 40．关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 41．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 42．关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 43．若，其中为实数且，，则____________． 解答题 1．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 2．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 4．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 5．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程概念及解法精讲学案 核心立意 一元二次方程是整式方程学习的延伸，实现从一次方程到二次方程的跨越。本节核心思想为降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。本节要求准确识别一元二次方程，熟练化为一般形式；掌握四种解法，能依据方程结构选择最优解法；会利用方程的根完成代入求值，为本章后续根与系数关系、实际应用做好铺垫。 一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 一元二次方程一般形式 标准式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0） 1. ax²为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2. 所有项全部移到左边、右边为0，带符号识别系数。 方程的根（解） 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2. 已知根求参数：直接代入原方程求解参数；若限定一元二次方程，必须保证 a≠0。 3. 近似估根：利用代入求值正负变化，锁定根的取值区间。 根据定义求参数（高频必考） 解题两个硬性条件： ①未知数最高次数等于2； ②二次项系数不等于0（学生最易漏、考试必考扣分点）。 两个条件同时满足，舍去使a=0的参数。  直接开平方法：形态适配+根的情况一键判断 适配形式：(mx+n)2=p 根的快速判断口诀：p＞0两异根、p=0两等根、p＜0无实根； 硬性要求：开方必须带，杜绝单根失分。 配方法标准化四步流程（步骤模块化，适合步骤大题扣分点讲解） ①化1：二次项系数化为1；②移项：常数项右移；③配方：两边加「一次项系数一半的平方」；④平方定型+开方求解。 补充价值：配方法是求根公式推导源头，同时用于二次函数顶点变形，实现前后知识点串联，是教师拓展延伸的优质切入点。 公式法：万能兜底解法使用准则 先整理标准式，带符号确定a、b、c，直接代入计算，适配所有有实数根的二次方程，无结构要求，适合无法因式分解、无法直接开方的复杂方程。 因式分解法：零乘积速解原理 依据AB=0A=0或B=0，方程整理为因式乘积=0，直接拆分一次方程，计算量最小，计算题首选。适配提公因式、十字相乘类方程。 重点辨析 1. 判断一元二次方程，一定要先合并同类项。例：x2+2x=x2-1，化简得 2x=-1，最高次数是 1，是一元一次方程。 2. 在 ax2+bx+c=0 中，a0。若题目没有说明它是一元二次方程，需要分类讨论： a0：一元二次方程； a=0, b0：一元一次方程。 3. 对于一元方程，解和根是同一概念；“根”只用于一元方程。 4. 形如 (mx+n)2=p 的方程，优先开平方，不要盲目展开，避免增加计算量。 5. 因式分解法的前提：方程右边必须等于 0。不要在等号右侧不为 0 时分解；不要在方程两边同除以含有未知数的代数式，否则会丢失根。 6. 配方的前提：二次项系数为 1；两边必须同时加上同一个常数，保证等式成立。 7. 代入求根公式前，务必化为一般形式；a,b,c 必须连同符号一起取值。例：2x2-3x-5=0 中，b=-3, c=-5。 8. 在实数范围内，一元二次方程有三种可能：两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根。不能说“只有一个实数根”。 9. 方法区分：因式分解法、直接开平方法属于技巧性解法；公式法是通用解法；配方法既是一种解法，也是重要的变形工具。 1. 不化简方程就进行判断，把二次项可以抵消的方程误认为一元二次方程。 2. 求参数时，只满足次数为 2，忽略a0。 3. 未化为一般形式就选取 a,b,c，造成符号错误。 4. 直接开平方法中，开方后漏掉 ，只求出一个根。 5. 因式分解时，不等号右侧不为零就分解；方程两边除以含未知数的整式，丢失根。 6. 配方法中，未把二次项系数化为 1 就配方；只在左侧加常数，右侧不加，破坏等式。 7. 公式法中，a,b,c 符号代入错误；在 b2-4ac<0 时强行代入公式。 8. 误认为一元二次方程一定存在实数根。 9. 将两个相等的实数根说成“一个根”。 10. 不观察方程特征，一律使用公式法，增加运算错误。 11. 已知根求代数式的值，习惯解出未知数，忽略整体代入的简便方法。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 因式分解法解一元二次方程 ★ 题型七 解一元二次方程 —— 直接开平方法 ★ 题型八 解一元二次方程 —— 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十一 换元法解一元二次方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：一元二次方程的定义 解题思路：① 判断式子是否为整式方程，未知数不能出现在分母或二次根号内；② 确认方程只含有一个未知数；③ 合并同类项后，检验未知数的最高次数是否为 2；④ 必须同时满足以上三个条件，该方程才是一元二次方程 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 3．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 4．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 题型二：化成一元二次方程的一般式 解题思路：① 通过去分母、去括号，消去分母和括号；② 移项，将所有项移到等号左侧，使等号右侧等于 0；③ 合并同类项；④ 按未知数次数降幂排列，整理成 ax2+bx+c=0} 的形式；⑤ 确定 a,b,c 时，包含各项的正负符号。 5．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 6．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 7．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 题型三：由一元二次方程的定义求参数 解题思路：① 根据未知数最高次数为 2，列出关于参数的方程；② 添加约束条件：二次项系数不等于 0；③ 结合上述两个条件求解参数；④ 验证解，舍去使二次项系数为 0 的取值。 8．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 9．关于x的一元二次方程，则处可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义 方程是关于的一元二次方程，因此必须为的二次项，且系数不为零． 【详解】解：∵一元二次方程的标准形式为（）， ∴必须为的二次项，且系数不为零． 只有D符合要求． 故选：D． 10．若方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零且未知数的最高次数为2，列方程求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且， 解得：且， 故． 故答案为：． 11．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 题型四：判断是否是一元二次方程的解 解题思路：① 将给定数值代入方程的左侧；② 计算左侧代数式的值；③ 比较左侧结果与等号右侧的值；④ 若两侧相等，则该数是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 12．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 13．已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 【答案】4 【分析】先把代入方程，再化简，最后整体代入求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ， ． 14．已知是方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，利用整体代入法求代数式的值．由方程根的定义可得 ，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解： 是方程 的一个根， ， 即 ， ． 故答案为：． 15．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题思路：① 将已知根代入原方程；② 得到一个含有参数的新方程；③ 求解新方程，得到参数的值；④ 若题目求代数式的值，可利用根的定义进行整体代入，不必求解原方程的未知数。 16．已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 17．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 18．若，且是方程的根，则_________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．将代入方程，得到关于m和n的等式，化简后讨论n的取值情况，最终确定的值． 【详解】解：∵n是方程的根， ∴将代入方程，得， 即， ∴或， ∵， ∴时，即； 综上所述，． 故答案为：1． 19．若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 题型六：因式分解法解一元二次方程 解题思路：① 移项，将所有项移至等号左侧，使等号右侧为 0；② 对左侧多项式因式分解，可用提公因式法、平方差公式、完全平方公式；③ 依据“若两个因式的积为 0，则至少一个因式为 0”，得到两个一元一次方程；④ 分别解两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个根。 20．一元二次方程的根是__________________． 【答案】 【分析】方程为两个一次因式乘积等于的形式，利用因式分解法可直接求解． 【详解】解：∵， ∴或， 分别求解得，． 21．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 22．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 23．已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整理为：，则和的解是方程的根，即是方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可得． 【详解】解：∵的根都是整数， ∴①当时，原方程为， 解得，； ②当时，原方程可整理为：， 则或， 即是方程的整数根，且x是整数， 则或， 解得，，，，， 综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3，共5个； 故选：C． 题型七：解一元二次方程 —— 直接开平方法 解题思路：① 通过移项、化简，将方程整理为x2=p或 (mx+n)2=p 的形式；② 当 p>0 时，得 mx+n=，求解得到两个不相等的实数根；③ 当 p=0 时，得 mx+n=0，得到两个相等的实数根；④ 当 p<0 时，由于实数范围内平方非负，方程无实数根。 24．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 25．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 【答案】 【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程： ， 解得． 26．若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________ 【答案】， 【分析】先利用直接开平方解，得；再解，得，再通过观察可得，两个方程的解只差3，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 直接开平方得，， ∴； ， 移项得，， 直接开平方得，， ∴， ∵关于x的方程的解是，， ∴方程的解是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是正确找出两个方程的解． 27．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 题型八：解一元二次方程 —— 配方法 解题思路：① 方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为 1；② 将常数项移到等号右侧；③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 将左侧写成完全平方式 (x+m)2=n；⑤ 使用直接开平方法求解方程。 28．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 29．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 30．完成下面推导一元二次方程的求根公式的过程． 解：移项，得____________． 二次项系数化为1，得____________． 配方，得______________________， 即． 当时，原方程有解， ____________， ____________， 一元二次方程的求根公式是_____________________． 【答案】； ； ； ； ； 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步推导填空即可． 【详解】略 31．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 【答案】D 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 题型九：配方法的应用 解题思路：① 提取二次项系数，把代数式改写为 a(x+m)2+k 的形式；② 利用平方的非负性 (x+m)20，确定代数式的最值；③ 若若干个平方项的和为 0，则令每一个平方项等于 0，解出未知数；④ 比较两个代数式的大小时，将两式作差，对差式配方，根据差的正负判断大小关系。 32．代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键．首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为． 故答案为：． 33．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 34．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 35．对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】C 【分析】根据已知条件推导x关于的表达式，再代入y的表达式，分别验证甲、乙的看法，判断结论正确性． 【详解】由， 可得， 两边平方得， ， 代入得， 验证甲的看法： ∵，，代入得，整理得， 解得或， ∵是正整数， ∴， 计算得，∴甲错误； 验证乙的看法： 设， 若对任意正整数，都有， ， 解得，∴乙正确． 综上，甲错误，乙正确． 题型十：公式法解一元二次方程 解题思路：① 将原方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)；② 确定 a,b,c 的值，保留各项的正负符号；③ 计算 b2-4ac；④ 若 b2-4ac 0，把 a,b,c 代入求根公式 计算根；⑤ 若 b2-4ac<0，方程无实数根。 36．方程的根为________． 【答案】， 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， 故答案为：，． 37．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 38．已知a，b满足，已知，x为正数，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方程即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 解得，， 当时，，故舍去， ， 故答案为：． 39．对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据新定义算法，得到，即可求解， 本题考查了，新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是：理解新定义运算法则． 【详解】解：， 即：，解得：或， 故选：． 题型十一：换元法解一元二次方程 解题思路：① 观察方程，找出重复出现的整体式；② 设该整体式为新未知数 y；③ 用 y 替换原方程中的整体，得到关于 y 的一元二次方程；④ 求出 y 的全部解；⑤ 回代，将 y 的值代入换元关系式，求出原未知数的值；⑥ 检验所有解，舍去不符合题意的值。 40．关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 【答案】 【分析】根据表格得到方程 的解，利用换元法将所求方程中的看作整体，令，将所求方程变形为，求出t的值即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，当或时，代数式的值为0， ∴方程的解为或， 在中，令，则方程可变形为方程， ∴方程的解为或， ∴或， 解得． 41．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，再根据关于x的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：观察与的形式可知，后者的解与前者的解满足关系， ∵x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴或， ∴，， 即方程的解是，． 42．关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的来求解．此题主要考查了换元法解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算是解题的关键． 【详解】解：已知方程 的解为 ，． 对于新方程 ，可令 ， 则方程变为 ，与原方程形式相同． 故方程的解为 或 ，即： 或 ． 解得： 或 故方程的解是，． 故选：B． 43．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 解答题 1．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 2．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 4．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 5．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $