第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 直线与圆的位置关系 5 考点二 圆的切线方程 7 考点三 切点弦问题 9 考点四 圆的弦长和弦心距 14 考点五 圆上的点到直线距离个数问题 17 考点六 直线与圆的应用 20 考点七 圆与圆的位置关系 24 考点八 圆的公共弦 26 考点九 圆的公切线 28 考点十 与圆有关的最值问题 32 考点十一 直线与圆的综合问题 37 三阶突破训练 44 基础过关 44 能力提升 48 真题感知 54 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第7题，5分 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离 2025年天津卷，12题，5分 圆的弦长与中点弦 已知圆的弦长求方程或参数 无 2024年全国甲卷，12题，5分 圆的弦长与中点弦 等差中项的应用 直线过定点问题 2023年新课标I卷，第6题，5分 切线长 给值求值型问题 余弦定理解三角形 已知点到直线距离求参数 2023年新课标II卷，第15题，5分 圆的弦长与中点弦 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】近 5 年直线与圆的命题聚焦于直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、切线长等考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。考查形式上，既存在单一考点的直接考查，也常与点到直线的距离、解三角形、等差中项、直线过定点等知识综合，且 “圆的弦长与中点弦” 考点在多地试卷中频繁出现，体现出对几何运算和知识综合应用能力的重视。 【备考策略】备考时需夯实直线与圆的基础知识点，如圆的方程、直线与圆位置关系的判定、点到直线的距离公式、弦长公式等。针对 “圆的弦长与中点弦”“切线长” 等高频考点开展专项训练，同时注重综合题的练习，总结 “几何法（利用圆心、半径、距离的关系）” 在解题中的应用技巧，提升知识迁移和综合解题能力。 【命题预测】预计未来对直线与圆的考查在题型、分值上会保持稳定，命题将继续强化综合性，可能在 “圆的弦长与中点弦”“直线与圆的位置关系” 中融入更多函数、数列、向量等知识，或结合实际场景考查圆的方程应用，以此检验学生的数学思维和综合分析能力。 1.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系： ①直线与圆 ，有两个公共点； ②直线与圆 ，只有一个公共点； ③直线与圆 ，没有公共点． （2）直线与圆的位置关系的判定： ①代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． ②几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当 时，直线与圆C相交； 当 时，直线与圆C相切； 当 时，直线与圆C相离． 2.圆的切线方程 （1）点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 3.直线被圆截得的弦长 （1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系 ，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 4.圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的位置关系： ①圆与圆 ，有两个公共点； ②圆与圆 （内切或外切），有一个公共点； ③圆与圆 （内含或外离），没有公共点． （2）圆与圆的位置关系的判定： ①代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． ②几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当 时，两圆相交； 当 时，两圆外切； 当 时，两圆外离； 当 时，两圆内切； 当 时，两圆内含． 考点一 直线与圆的位置关系 典例1．（2025·北京大兴·模拟预测）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 典例2．（2025·北京海淀·模拟预测）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 跟踪训练1．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 跟踪训练2．（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练3．（2025·北京海淀·模拟预测）抛物线的准线与圆相切，则p的值为 ． 跟踪训练4．（2025·北京海淀·模拟预测）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点二 圆的切线方程 典例1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点与圆：相切的直线方程为 . 典例2．（2025·甘肃白银·模拟预测）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 跟踪训练1．【多选】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 考点三 切点弦问题 典例1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 .    典例2．【多选】（2025高三·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 跟踪训练1．【多选】（2025高三·湖南常德）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（   ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 跟踪训练2．（2025·四川·模拟预测）已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为 . 考点四 圆的弦长和弦心距 典例1．【多选】（2025·全国·模拟预测）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 典例2．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 跟踪训练2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 跟踪训练3．（2025·广西·模拟预测）若直线l：被圆C：裁得的弦长为，则 . 跟踪训练4．（2025·安徽·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 考点五 圆上的点到直线距离个数问题 典例1．（2025·北京·模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 . 典例2．（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）已知点P是圆上一点，若点P到直线的距离为1，则满足条件的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练2．【多选】（2025·广东广州·模拟预测）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 考点六 直线与圆的应用 典例1．（2025·河南南阳·模拟预测）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，均与圆相切，为切点，零件的截面段为圆的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为（    ）cm（结果保留） A． B． C． D． 典例2．（2025·安徽合肥·模拟预测）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025高三·云南大理·期中）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时． 跟踪训练2．【多选】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（    ） A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时，圆形保护区的面积最大 考点七 圆与圆的位置关系 典例1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 典例2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A．B． C． D． 跟踪训练2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·安徽·模拟预测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 考点八 圆的公共弦 典例1．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 典例2．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 跟踪训练1．（2025·天津北辰·模拟预测）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 . 跟踪训练2．（2025·河北·模拟预测）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点九 圆的公切线 典例1．（2025·河北·模拟预测）在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 典例2．（2025·山东·模拟预测）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·浙江·模拟预测）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 跟踪训练2．（2025高三·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练3．（2025高三·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练4．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练5．（2025·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 跟踪训练6．（2025·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 考点十 与圆有关的最值问题 典例1．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 跟踪训练1．【多选】（2025·云南·模拟预测）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·河北·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 . 跟踪训练4．（2025高三·上海）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 跟踪训练5．【多选】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．存在切点使得为直角 B．直线过定点 C．的取值范围是 D．面积的取值范围是 考点十一 直线与圆的综合问题 典例1．【多选】（2025·山西太原·模拟预测）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 典例2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 跟踪训练1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 跟踪训练2.（2025高三·安徽合肥·期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 1．（2025·湖南·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·模拟预测）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·模拟预测）已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·重庆）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 10．（2025·浙江温州·模拟预测）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025高三·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 12．（2025高三·黑龙江）圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2025高三·全国）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点记为，若存在四边形的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（2025·江西景德镇·模拟预测）动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（    ）. A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 10．（2025·安徽·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 5．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 6．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 直线与圆的位置关系 5 考点二 圆的切线方程 7 考点三 切点弦问题 9 考点四 圆的弦长和弦心距 14 考点五 圆上的点到直线距离个数问题 17 考点六 直线与圆的应用 20 考点七 圆与圆的位置关系 24 考点八 圆的公共弦 26 考点九 圆的公切线 28 考点十 与圆有关的最值问题 32 考点十一 直线与圆的综合问题 37 三阶突破训练 44 基础过关 44 能力提升 48 真题感知 54 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第7题，5分 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离 2025年天津卷，12题，5分 圆的弦长与中点弦 已知圆的弦长求方程或参数 无 2024年全国甲卷，12题，5分 圆的弦长与中点弦 等差中项的应用 直线过定点问题 2023年新课标I卷，第6题，5分 切线长 给值求值型问题 余弦定理解三角形 已知点到直线距离求参数 2023年新课标II卷，第15题，5分 圆的弦长与中点弦 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】近 5 年直线与圆的命题聚焦于直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、切线长等考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。考查形式上，既存在单一考点的直接考查，也常与点到直线的距离、解三角形、等差中项、直线过定点等知识综合，且 “圆的弦长与中点弦” 考点在多地试卷中频繁出现，体现出对几何运算和知识综合应用能力的重视。 【备考策略】备考时需夯实直线与圆的基础知识点，如圆的方程、直线与圆位置关系的判定、点到直线的距离公式、弦长公式等。针对 “圆的弦长与中点弦”“切线长” 等高频考点开展专项训练，同时注重综合题的练习，总结 “几何法（利用圆心、半径、距离的关系）” 在解题中的应用技巧，提升知识迁移和综合解题能力。 【命题预测】预计未来对直线与圆的考查在题型、分值上会保持稳定，命题将继续强化综合性，可能在 “圆的弦长与中点弦”“直线与圆的位置关系” 中融入更多函数、数列、向量等知识，或结合实际场景考查圆的方程应用，以此检验学生的数学思维和综合分析能力。 1.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系： ①直线与圆相交，有两个公共点； ②直线与圆相切，只有一个公共点； ③直线与圆相离，没有公共点． （2）直线与圆的位置关系的判定： ①代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． ②几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 2.圆的切线方程 （1）点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 3.直线被圆截得的弦长 （1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 4.圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的位置关系： ①圆与圆相交，有两个公共点； ②圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； ③圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． （2）圆与圆的位置关系的判定： ①代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． ②几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 考点一 直线与圆的位置关系 典例1．（2025·北京大兴·模拟预测）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 典例2．（2025·北京海淀·模拟预测）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 跟踪训练1．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【分析】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 跟踪训练2．（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 跟踪训练3．（2025·北京海淀·模拟预测）抛物线的准线与圆相切，则p的值为 ． 【答案】4或8 【分析】求出抛物线的准线方程，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可 【详解】抛物线的准线方程为， 又的圆心，半径为1， 又准线与圆相切， 所以或， 故答案为：4或8 跟踪训练4．（2025·北京海淀·模拟预测）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 考点二 圆的切线方程 典例1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）过点与圆：相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】易知点在圆上，根据圆的切线性质进行求解即可. 【详解】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 典例2．（2025·甘肃白银·模拟预测）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 跟踪训练1．【多选】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 跟踪训练2．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故选：D．    跟踪训练3．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A 考点三 切点弦问题 . 典例1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 .    【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【详解】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为：. 典例2．【多选】（2025高三·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 跟踪训练1．【多选】（2025高三·湖南常德）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（   ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】ABD 【分析】由切线长公式求切线可知求得的最小值时可得的最小值，从而也得到四边形面积的最小值，利用余弦的二倍角公式得出越大时，越大，从而判断C，设切点坐标，由切点坐标写出切线方程，并代入点坐标后，比较可得过的直线方程，判断D． 【详解】圆标准方程为：，圆心为，半径为， ，， 所以，A正确； ，由选项A知，其最小值为，B正确； ，显然越大，越大，而无最大值，因此无最大值，C错； 因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：ABD． 跟踪训练2．（2025·四川·模拟预测）已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】设，利用圆的切线性质结合等面积法求出的表达式，进而结合二次函数性质，求最值，求出取得最小值时M点坐标，再求出以为圆心，为半径的圆的方程，和相减，即可求得答案. 【详解】如图，设，设与交于， 由题意知，， 中，， 而，则， 当最小时，取最小值. 而， 当且仅当时，取得最小值，此时，，， 则以为圆心，为半径的圆的方程为：， 与圆的方程相减，可得的直线方程为：，即， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于利用圆的切线性质推出的表达式，结合二次函数性质求最值求出取最小值时的M点坐标. 考点四 圆的弦长和弦心距 典例1．【多选】（2025·全国·模拟预测）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 【答案】ABC 【分析】点到直线的距离公式判断A；几何法勾股定理判断B；根据二倍角余弦公式计算判断C；三角形面积公式计算判断D； 【详解】 对于A，点到直线的距离为，选项A正确； 对于B，线段，选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，的面积是，选项D错误． 故选：ABC． 典例2．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 【答案】 【分析】根据垂径定理可求弦心距，故可求参数的值. 【详解】由，得， 知点到直线的距离为， 所以，得. 故答案为：. 跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程，求出圆的方程，进而求出弦长. 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 跟踪训练2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 跟踪训练3．（2025·广西·模拟预测）若直线l：被圆C：裁得的弦长为，则 . 【答案】10 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得， 所以圆心到直线的距离，解得或. 因为，所以， 故答案为：10. 跟踪训练4．（2025·安徽·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【详解】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 跟踪训练5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 考点五 圆上的点到直线距离个数问题 典例1．（2025·北京·模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 . 【答案】3 【分析】设，根据点P到直线的距离为，求得，再由在圆上，得到，取得或，进而求得满足条件的点的个数，得到答案. 【详解】设，由点P到直线的距离为，得 两边平方整理得到① 因为在圆上，所以，即② 联立①②得， 解得或， 当时，由①②可得，解得或，即或 当时，由①②可得，解得或，即或 综上，满足条件的点P的个数为. 故答案为：3. 典例2．（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可确定所求点的个数. 【详解】因为直线，圆， 所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于. 故选：D. 跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）已知点P是圆上一点，若点P到直线的距离为1，则满足条件的点P的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解. 【详解】由题意可知圆心为,所以到的距离为，故与直线平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个. 故选:C 跟踪训练2．【多选】（2025·广东广州·模拟预测）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【分析】对于选项A，将直线整理成，得到，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】对于选项A，直线，， ，，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于， ，圆心 圆心到直线的距离， ，选项D正确. 故选：ACD. 考点六 直线与圆的应用 典例1．（2025·河南南阳·模拟预测）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，均与圆相切，为切点，零件的截面段为圆的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为（    ）cm（结果保留） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以A为原点，建立直角坐标系，根据圆心到直线、直线、直线距离均相等,利用点到直线的距离公式列式，计算出的长，即得. 【详解】以A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示： 则，又， 所以直线的方程为：即，直线的方程为：即，直线的方程为：， 设圆心为O，则圆心到直线、直线、直线的距离均相等且等于，则， 解得：，，， 所以，，， 由题可知，即， 所以可得，，对应弧长为圆的周长， 故该零件的截面的周长为（cm） 故选：A. 典例2．（2025·安徽合肥·模拟预测）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得到直线所在的方程和圆方程联立求得点的坐标，设所求抛物线方程，求导，根据导数的几何意义结合题意，可求得a,c,即得答案. 【详解】由于某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳， 故,所以直线所在的方程为：， 代入，解得 或 （舍，离y轴较远的点）， 所以点的坐标为. 由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分， 故设抛物线方程为：，则， 则由M点处切线斜率为1可得，， 又，解得， 所以该抛物线的轨迹方程为，即， 故选：C. 跟踪训练1．（2025高三·云南大理·期中）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时． 【答案】5 【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案； 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标， 以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点， 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 则千米，从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 故答案为：5 跟踪训练2．【多选】（2025·广东汕头·模拟预测）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（    ） A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时，圆形保护区的面积最大 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，联立求出点的坐标判断A；设，由题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，判断BCD. 【详解】如图，以为 轴建立直角坐标系，则，， 依题意，直线的斜率，直线方程为：， 直线的斜率，则直线方程为， 由，解得 ，即，，A正确； 设，即，直线的一般方程为， 圆的半径为，显然，由，得， 则，解得，即长的范围是，B错误，C正确； 当，即长为时，圆的半径最大，圆形保护区的面积最大，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键. 考点七 圆与圆的位置关系 典例1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 典例2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆相交的性质直接得出. 【详解】由题意知：圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 所以， 解得：. 故选：D 跟踪训练1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. 跟踪训练2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：； 又当时，点同时在圆上，所以， 所以且. 故选：B. 跟踪训练3．（2025·安徽·模拟预测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 故选：A. 考点八 圆的公共弦 典例1．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 典例2．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 跟踪训练1．（2025·天津北辰·模拟预测）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 . 【答案】20 【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出. 【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即. 联立直线与抛物线方程联立，将代入可得： ，即， 设，，由韦达定理可得，. 根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则： 故答案为：20. 跟踪训练2．（2025·河北·模拟预测）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故， 所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即. 故选：C 考点九 圆的公切线 典例1．（2025·河北·模拟预测）在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分析得到与点距离为1，与点距离为2的直线为以为圆心1为半径的圆和以为圆心2为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 典例2．（2025·山东·模拟预测）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 跟踪训练1．（2025·浙江·模拟预测）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 跟踪训练2．（2025高三·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 跟踪训练3．（2025高三·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将圆的方程化为标准方程, 圆，将其配方可得. 此时圆的圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 两圆半径之和，两圆半径之差. 因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条. 故选：B. 跟踪训练4．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 跟踪训练5．（2025·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 跟踪训练6．（2025·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    考点十 与圆有关的最值问题 典例1．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 典例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 跟踪训练1．【多选】（2025·云南·模拟预测）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围. 【详解】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 跟踪训练3．（2025·河北·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线是否过圆心进行分类讨论，结合直线与圆的相关性质即可求解. 【详解】当直线过圆心时，两条切线平行，所以夹角为0， 当直线不过圆心时，如图，设两条切线交于点，则， 设点到直线的距离为，因为直线过点，所以 当时，直线斜率不存在，不符合题意， 所以，则，，综上，两条切线夹角的取值范围是. 故答案为：. 跟踪训练4．（2025高三·上海）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记，则为直线AP的斜率，数形结合即可求出最小值和最大值，从而可得其范围. 【详解】记，则为直线AP的斜率， 故当直线AP与半圆相切时，k最小， 此时设，故，解得或， 由图可知需舍去， 故． 当过时，． 故答案为：. 跟踪训练5．【多选】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．存在切点使得为直角 B．直线过定点 C．的取值范围是 D．面积的取值范围是 【答案】BD 【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D. 【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径， 显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误； 同理C选项的数量积也取不到，所以C错误； 对于B,设，      因为，，， 则的方程为：，因为 化简可得：， 同理的方程为：， 而在切线，上，所以 ，， 因为在直线 故直线的方程为，令，， 即过定点，故B正确； 对于D，圆心到直线的距离平方为， 线段一半的平方为：， 点到直线的距离的平方为：， 所以面积的平方为： ①，因为， 所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值， 所以面积平方的最大值， 故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 考点十一 直线与圆的综合问题 典例1．【多选】（2025·山西太原·模拟预测）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【答案】ACD 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合两点间距离公式分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质逐项分析判断. 典例2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 跟踪训练1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当时四边形ABDC的面积最大 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为；    （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上.    【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、的值. 跟踪训练2.（2025高三·安徽合肥·期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据设点代入即可得到曲线的方程； （2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到方程，进而得到过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到过该定点即可. 【详解】（1）设，由，得，所以， 两边平方并化简，得曲线的方程为. （2）由（1）得，设直线、的斜率分别为，， 如图所示，    当不垂直于轴时，设，联立， 整理得，解得（舍）或， 当时，，所以， 同理得， 所以的斜率， 因为，代入可得， 故的方程为， 即， 故过定点； 当轴时，设，则， 所以，即， 又因为，代入可得， 解得或（舍），所以（或）， 所以的方程为，过点. 综上，直线过定点 1．（2025·湖南·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆心到直线的距离即可求解. 【详解】由题意可得，圆心，半径， 因为直角三角形，则点到直线的距离， 得. 故选：C 2．（2025·四川·模拟预测）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得圆心到直线的距离，由求解即可. 【详解】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离. 因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2， 所以，即，又， 解得：. 故选：B 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出切线的方程，再由直线与圆相切的判断方法列方程，即可求出参数的值. 【详解】由求导得：，则函数在点处的切线斜率为， 又，故切线方程为：， 由题意，圆心到直线的距离为， 解得：. 故选：C. 4．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再集合的包含关系得条件关系.. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值. 【详解】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴， 故选：D． 7．（2025·河北·模拟预测）已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据圆心到弦的距离、半径、半弦长之间的关系求解. 【详解】由圆心坐标可知，圆心到弦的距离为， 又弦长为，所以圆的半径， 故选：A 8．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过定点，采用数形结合法即可求解.. 【详解】直线可化为：， 令，得，所以直线过定点， 圆的圆心为，半径， 当时，有最小值，如图所示： 即圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：C 9．（2025高三·重庆）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 10．（2025·浙江温州·模拟预测）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 11．（2025高三·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 12．（2025高三·黑龙江）圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【详解】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 2．（2025·湖南·模拟预测）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图：    所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 3．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当直线与此圆相切时，的值最大，算出此时的，，，利用直角三角形的角的正切公式，算出最大正切值即可. 【详解】因为点是圆上的任意点， 当直线与此圆相切时，的值最大，又，， 则，则. 故选：C． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据直线的定点可知，直线必过圆心，由向量分解运算可得结果. 【详解】圆即，圆心为，半径， 又直线恒过定点，所以直线恒过圆心， 又直线与圆交于，两点，所以, 所以， . 故选：D. 5．（2025高三·全国）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点记为，若存在四边形的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形面积求得切线长，得出，从而得出圆心到直线的距离的范围，再结合点到直线距离公式可得参数范围． 【详解】易得圆心，半径，由图知， 则，此时， 则只需圆心到直线的距离，即存在四边形的面积为， 所以，即，解得． 故选：B．    6．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值. 【详解】 如图， 当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得， 所以，则； 故选：A. 7．（2025·江西景德镇·模拟预测）动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与的方程联立可得，设动圆的方程为，由切线长可知的轨迹为圆，设设线段中点为令可得. 【详解】将与的方程联立，得，动圆的方程为， ∴切线长，即的轨迹是以为圆心为半径的圆， 设线段中点为，∵， 而（不能三点共线）， ∴的最大值是. 故选:D． 8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出弦长后根据数量积的定义可求. 【详解】（图片优化老师注意：图中BC倾斜角30度，需调整）优化完后请删除此段提醒 由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切于点，所以，故， 而到直线的距离为， 所以，而直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故， 则. 故选：B. 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，直接利用三角形面积公式求出最值，从而得到圆心到直线的距离，代入计算即可. 【详解】，即， 则其圆心为，半径为，而， 当且仅当时等号成立，此时为顶点为的等腰直角三角形， 此时圆心到直线的距离， 则，解得. 故选：B. 10．（2025·安徽·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解. 【详解】由题意可得，，直线的斜率为． 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 即当直线的斜率取最大值时，，所以，故． 故选：B． 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 4．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 5．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 6．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $