第03讲 圆的方程（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第03讲 圆的方程 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 3 考点一 圆的方程 3 考点二 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 6 考点三 判断点与圆的位置关系 7 考点四 圆过定点问题 9 考点五 与圆有关的对称问题 10 考点六 圆上的点到定点的距离最值 12 考点七 与圆有关的轨迹问题 14 三阶突破训练 17 基础过关 17 能力提升 21 真题感知 25 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第7题，5分 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离 2024年新课标II卷，第5题，5分 圆的方程 求平面轨迹方程 2024年天津卷，第12题，5分 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 求点到直线的距离 2023年新课标I卷，第6题，5分 切线长 给值求值型问题 余弦定理解三角形 已知点到直线距离求参数 2023年天津卷，12题，5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 二、命题规律及备考策略 【命题规律】从近 5 年考情来看，直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查。 【备考策略】备考时，首先要扎实掌握直线与圆的核心知识点，如圆的标准方程、一般方程，直线与圆位置关系的判定方法（代数法、几何法），点到直线的距离公式等。其次，针对高频考点进行专项训练，尤其要强化 “直线与圆 + 其他圆锥曲线 / 解三角形” 这类综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。同时，注重解题方法的总结，比如利用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决直线与圆的位置关系问题，可提高解题效率。 【命题预测】预计未来对直线与圆的考查仍会保持稳定的频率，题型和分值大概率不会有大的变动。命题将继续突出综合性与应用性，可能会在直线与圆的位置关系中融入更多函数、向量等知识，或者结合实际问题考查圆的方程的应用，以此检验学生的数学建模和综合分析能力。 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 考点一 圆的方程 典例1．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 典例2．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【详解】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 跟踪训练3．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 跟踪训练2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去可得关于的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线代入圆的方程，化简得到关于的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结果. 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得， 即， 再将代入，即可得到， 对比， 可得，解得， 所以圆的方程为， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 跟踪训练3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 考点二 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 典例1．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 典例2．（2025·贵州黔南·模拟预测）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 跟踪训练1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 跟踪训练2．（2025·吉林·模拟预测）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围. 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 考点三 判断点与圆的位置关系 典例1．（2025·河北邯郸·模拟预测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 典例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 跟踪训练1．（2025·北京海淀·模拟预测）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 跟踪训练2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件. 故选：B. 考点四 圆过定点问题 典例1．（25-26高三·河南）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 典例2．（2025高三·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 跟踪训练1．（2025高三·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 跟踪训练2．（2025高三·安徽）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 考点五 与圆有关的对称问题 典例1．（2025·北京通州·模拟预测）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解. 【详解】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 典例2．（2025高三·四川绵阳）圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解. 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，，， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 跟踪训练1．（2025·广东汕头·模拟预测）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 跟踪训练2．（2025·广东·模拟预测）若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 考点六 圆上的点到定点的距离最值 典例1．（2025高三·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 典例2．（2025·重庆·模拟预测）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得. 【详解】因为所以点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即. 故选：B. 跟踪训练1．（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点）． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.    故选：A． 跟踪训练2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心的轨迹方程，再利用动点到圆上的点的取值范围的求法，求出，注意排除特殊位置. 【详解】 设，， 由为的中点，可得，即， 又在圆上， 则可得，即， 即圆心的轨迹是以为圆心 ，为半径的圆，而， 则的范围为，即， 又当时，圆心，半径为，此时圆与轴相切，不符合题意， 此时. 故的范围为. 故选：B. 考点七 与圆有关的轨迹问题 典例1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 典例2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】设，由，，得点为的中点，则. 又，，则，， 因此，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 设直线OM（O为原点）斜率为， 由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时， 则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或， 所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为. 故选：B 跟踪训练1．（2025·河北·模拟预测）已知，，是平面内一动点，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：根据题意，先求出点的轨迹方程为，由题意可设，，根据向量相等坐标关系得解；解法二：根据题意，先求出点的轨迹方程为，设斜率为且与圆相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，结合等和线定理即可求解. 【详解】解法一：设，则， 整理得，即， 由题意可设，，得， 又，， 由，得， 则，， 得， 所以的取值范围为. 解法二：（等和线）设，则， 整理得，即， 因为直线的斜率为， 设斜率为且与圆相切的直线方程为， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故选：B. 跟踪训练2．（2025·北京东城·模拟预测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设， 由题意可得：， 设的中点坐标为，则， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最小值为， 故选：A 1．（2025·山西晋中·模拟预测）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 2．（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线的准线方程. 【详解】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 3．（2025·山东·模拟预测）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解. 【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则， 所以圆的标准方程为. 故选：A. 4．（2025·四川眉山·模拟预测）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 5．（2025·北京海淀·模拟预测）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线中得出，从而将目标转化为求二次函数的最小值. 【详解】可化为，故圆心为， 因直线经过圆心，则， 则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为， 故其最小值为. 故选：B 6．（2025·四川眉山·模拟预测）已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出点的坐标，再根据抛物线的定义计算，最后求圆外的定点与圆上的动点之间的距离的最小值，即点与圆心之间的距离减去半径，即可求得. 【详解】根据题意得，，解得，即， 因为圆心恰好为抛物线的焦点，则， 又，所以点在圆的外部， 所以的最小值为，解得. 故选：A. 7．（2025·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 8．（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理可构造方程求得半径，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程. 【详解】设该圆的半径为，如图， 由题意知：，，， 由勾股定理得：，即，解得：， ，即圆的圆心为，则圆的方程为. 故选：A. 1．（2025高三·全国）过点作抛物线的两条切线，与y轴分别交于点C，D，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用过点的切线方程与抛物线方程联立，利用直线与抛物线的位置关系求切线方程，再判断的形状，即可求外接圆的半径，并求外接圆的面积. 【详解】不妨取点C位于x轴上方，如图． 易知两切线斜率均不为零，设过点P的切线方程为， 代入抛物线方程，化简得， 令，得，解得． 所以直线：，直线：， 所以直线与直线的斜率之积， 所以，故的外接圆是以为直径的圆． 在直线：中，令，得，故． 在直线：中，令，得，故． 故，所以外接圆的面积为． 故选： B 2．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围. 【详解】直线，过定点, ，过定点, 因为，所以与垂直， 所以与的交点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2025·宁夏·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知曲线由一段以坐标原点为圆心的圆弧和双曲线（该双曲线的中心为坐标原点，，为其左，右焦点）右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线，，，则圆弧的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线与圆的对称性可得，从而求得，利用勾股定理先求得，再得的值，即可得圆弧的半径，从而得圆弧方程. 【详解】由题可知圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线， 故，所以， 所以， 则，故， 即圆弧的半径为， 则圆弧的方程为. 故选：D. 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义及列式可求得，后，得即可求得圆的标准方程. 【详解】过点作垂直于直线，垂足为， 则，， 因为，所以，得． 因为是抛物线上一点， 所以，得，， 则|，， 因为圆与直线相切，故圆的半径为， 故圆的标准方程为． 故选：A. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 5．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 圆的方程 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 3 考点一 圆的方程 3 考点二 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 4 考点三 判断点与圆的位置关系 4 考点四 圆过定点问题 5 考点五 与圆有关的对称问题 6 考点六 圆上的点到定点的距离最值 6 考点七 与圆有关的轨迹问题 7 三阶突破训练 8 基础过关 8 能力提升 9 真题感知 10 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第7题，5分 直线与圆的位置关系 求点到直线的距离 2024年新课标II卷，第5题，5分 圆的方程 求平面轨迹方程 2024年天津卷，第12题，5分 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 求点到直线的距离 2023年新课标I卷，第6题，5分 切线长 给值求值型问题 余弦定理解三角形 已知点到直线距离求参数 2023年天津卷，12题，5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 二、命题规律及备考策略 【命题规律】从近 5 年考情来看，直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查。 【备考策略】备考时，首先要扎实掌握直线与圆的核心知识点，如圆的标准方程、一般方程，直线与圆位置关系的判定方法（代数法、几何法），点到直线的距离公式等。其次，针对高频考点进行专项训练，尤其要强化 “直线与圆 + 其他圆锥曲线 / 解三角形” 这类综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。同时，注重解题方法的总结，比如利用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决直线与圆的位置关系问题，可提高解题效率。 【命题预测】预计未来对直线与圆的考查仍会保持稳定的频率，题型和分值大概率不会有大的变动。命题将继续突出综合性与应用性，可能会在直线与圆的位置关系中融入更多函数、向量等知识，或者结合实际问题考查圆的方程的应用，以此检验学生的数学建模和综合分析能力。 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C 半径为 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆 ； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆 ； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆 . 考点一 圆的方程 典例1．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 典例2．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 跟踪训练2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 跟踪训练3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点二 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 典例1．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 典例2．（2025·贵州黔南·模拟预测）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练2．（2025·吉林·模拟预测）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三 判断点与圆的位置关系 典例1．（2025·河北邯郸·模拟预测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练1．（2025·北京海淀·模拟预测）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 跟踪训练2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四 圆过定点问题 典例1．（25-26高三·河南）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 典例2．（2025高三·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025高三·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025高三·安徽）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 考点五 与圆有关的对称问题 典例1．（2025·北京通州·模拟预测）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 典例2．（2025高三·四川绵阳）圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·广东汕头·模拟预测）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 跟踪训练2．（2025·广东·模拟预测）若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 考点六 圆上的点到定点的距离最值 典例1．（2025高三·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 典例2．（2025·重庆·模拟预测）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 跟踪训练1．（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 跟踪训练2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七 与圆有关的轨迹问题 典例1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 跟踪训练1．（2025·河北·模拟预测）已知，，是平面内一动点，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·北京东城·模拟预测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 1．（2025·山西晋中·模拟预测）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·模拟预测）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·模拟预测）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·北京海淀·模拟预测）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 6．（2025·四川眉山·模拟预测）已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 8．（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 1．（2025高三·全国）过点作抛物线的两条切线，与y轴分别交于点C，D，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知曲线由一段以坐标原点为圆心的圆弧和双曲线（该双曲线的中心为坐标原点，，为其左，右焦点）右支的一部分组成，圆弧和双曲线弧的公共点为，，若，，三点共线，，，则圆弧的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 5．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $