第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义）数学湘教版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义） 基础目标 ①学生能理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，熟练掌握它们的标准方程和几何性质（如范围、对称性、顶点、焦点、离心率等）； ②掌握圆锥曲线的简单几何量（如a,b,c,p,e）之间的关系，能根据给定条件求出圆锥曲线的标准方程，并能判断圆锥曲线的类型； ③学会运用坐标法解决圆锥曲线的简单问题，如求焦点坐标、离心率、渐近线方程等，为后续学习打下坚实的知识基础，初步形成解析几何的思想方法。 进阶目标 ①能运用圆锥曲线的定义和几何性质解决含参数的圆锥曲线方程问题，分析参数对曲线形状、位置的影响； ②灵活运用代数方法（如联立方程、韦达定理、判别式）解决直线与圆锥曲线的位置关系问题（如相交、相切、相离），掌握弦长公式、中点弦问题等解题技巧； ③能结合实际问题，建立圆锥曲线模型，解决简单的最值问题（如距离的最值、面积的最值）、轨迹方程问题，提升逻辑推理与数学运算能力。 拓展目标 ①探索三种圆锥曲线之间的内在联系与区别，如通过离心率的变化理解它们的统一性与特殊性； ②尝试解决与圆锥曲线相关的综合问题，如圆锥曲线与函数、导数、不等式的结合，总结解题规律与策略； ③能将圆锥曲线知识与平面几何、向量等知识综合应用，解决较复杂的解析几何问题，培养知识迁移能力与综合应用意识，体会数形结合、分类讨论等数学思想的深刻内涵。 1． 圆锥曲线的概念与性质： （1）椭圆 ①椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距。 ②椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （2） 双曲线 ①．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． ②．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) （3）抛物线 ①．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． ②．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 2． 圆锥曲线的常用结论： 结论一：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 结论二：中点弦问题（点差法）秒杀公式 ①、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， ②、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， ③、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 结论三： 双曲线焦点到渐近线的距离为 结论四：①双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. ②如图，已知为双曲线的左、右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，若的内切圆圆心分别为，半径分别为，则（1）在直线上；（2） 结论五：已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即． 结论六：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 当曲线焦点在轴上时, 结论七：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 结论八:圆锥曲线的第二定义 （1）.圆锥曲线的第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹,其中,定点为焦点,定直线叫做准线,常数叫做离心率.当 ①时,动点轨迹为椭圆 ②当时,动点轨迹为双曲线 ③当时,动点轨迹为抛物线 注意:椭圆双曲线的第二定义,即椭圆,双曲线,抛物线统一定义 （2）.椭圆的第二定义 椭圆的第二定义:平面上到定的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆（如下图）,即. 定点叫焦点,定直线叫准线.焦点分为左焦点和右焦点,准线分为左准线和右准线. 注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线. （3）.双曲线的第二定义 平面内到定点的距离与到定直线（定点在定直线外）的距离之比为常数（其中）的点的轨迹是双曲线.常数是双曲线的离心率.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线相应于定点的准线. ①对于双曲线,左焦点对应的准线方程为;右焦点对应的准线方程为. ②对于双曲线,下焦点对应的准线方程为;上焦点对应的准线方程为 3． 圆锥曲线中直线与曲线的位置关系 知识点一、直线和曲线联立 （1）椭圆与直线相交于两点，设 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不再赘述． （2）抛物线与直线相交于两点，设 联立可得 特殊地，当直线过焦点的时候，即，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设 联立可得 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式． 知识点二、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到 为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立可得 ， 为了方便叙述，将上式简记为，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：①由韦达定理写出 注意隐含条件． ②求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． ③如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． ④直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． ⑤注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 知识点三、弦长公式 设根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：①上述表达式中，当为； ②直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． ③直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． ④直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． ⑤直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 4． 圆锥曲线中的定点、定值问题 （1）定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： ①变量----选择适当的量为变量． ②函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． ③定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． （2）求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． （3）求解直线过定点问题常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； ③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式代入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 5． 圆锥曲线存在性问题的探究 解决存在性问题的技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． （2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． 6． 圆锥曲线的实际应用问题 （1）实际应用问题类型 天体运动轨道问题（椭圆为主） 斜抛物体轨迹问题（抛物线） 光学性质应用问题（椭圆、双曲线、抛物线） 定位与轨迹问题（双曲线） 工程设计与建筑结构问题（抛物线、椭圆为主） （2）通用解决方法 各类应用问题的解决方法均基于解析几何的“坐标法”，步骤如下： 步骤 具体操作 1. 建立坐标系 根据问题场景选择原点和坐标轴（如抛物线顶点为原点，对称轴为x轴；椭圆焦点在坐标轴上）。 2. 确定曲线类型 根据应用场景判断圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线），设对应的标准方程。 3. 列方程求参数 利用已知条件（如距离、长度、位置关系）代入标准方程，求解关键参数（(a)、(b)、(c)、(p)等）。 4. 分析与应用 根据参数和方程解决具体问题（如计算尺寸、验证轨迹、确定位置）。 圆锥曲线的实际应用问题本质是几何性质与代数方程的结合，核心在于通过建立坐标系将物理或工程问题转化为方程求解，关键参数（(a)、(b)、(c)、(p)）的计算是连接几何条件与代数方程的桥梁。掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，是解决各类应用问题的基础。 题型一 圆锥曲线中基本量的求解 【例1】．若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线夹角可求出渐近线斜率，利用间的关系转化为间关系得解. 【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线两条渐近线的夹角为60°，， 所以，即， 所以，即，即， 所以，则. 故选：C. 【例2】．椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由椭圆方程可得参数的值，进而求出的值，根据椭圆的定义求焦点三角形的周长. 【详解】由椭圆可得，所以， 故的周长为. 故选：. 二、多选题 【例3】．点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（    ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为1 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用椭圆中点的纵坐标的取值范围判断B；利用椭圆的定义和基本不等式判断C；利用椭圆的定义和二次函数的最值判断D. 【详解】由，可得，则， 即， 因为点在椭圆上，所以. 对于A，的周长为，故A错误； 对于B，设，因为， 所以时，即点在短轴端点时，的面积取得最大值，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为4，故C正确； 对于D，由上分析，可得，故， 因为，即， 所以当或时，取得最小值1，故D正确. 故选：BCD. 变式1-1．若方程表示曲线. （1）若曲线是圆，则的值是 . （2）若曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程和椭圆的标准方程求结果即可. 【详解】（1）若方程表示圆， 则，解得. （2）若方程表示椭圆， 即表示椭圆，则或者. 解得或，所以的取值范围为. 故答案为：（1）；（2）. 变式1-2．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 变式1-3．已知椭圆的长轴长，短轴长分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和短轴长可得，即可求解椭圆方程. （2）结合椭圆定义，利用余弦定理求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的定义可知，， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以， 所以的面积. 题型二 圆锥曲线离心率的求解 【例1】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率． 【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点所以（-c，0），（c，0） 因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则 解得所以为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得 化简整理得 ，所以 所以选B 【例2】已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】我们首先来证明一个引理：若，则，证明如下：设，则由余弦定理有 ，即， 所以，所以，从而引理得证； 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得，由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即，所以.故选：C. 【例3】已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求得，求出直线以及角平分线方程可得，，利用的面积是面积的倍可得，即得出离心率. 【详解】根据题意可得，则，，又可得， 设点坐标为，如下图所示：  将代入椭圆方程可得，解得；可得，直线方程为， 联立，解得，即易知的角平分线倾斜角为，斜率为，直线方程为，联立，解得；所以的面积为，面积为； 即，即，可得； 所以离心率.故选：B 变式2-1如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为的是（    ） A． B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点， 【答案】ABD 【分析】对于A选项，由式子得到，再同除得到关于的一元二次方程，解出即可，对于B选项，将垂直转化为向量点乘为0，将向量坐标化得到，再次得到和A选项一样的方程，解出即可，对于C选项，解出点坐标，将平行转化为斜率相等得到，最终求出斜率，对于D选项依然是构造齐次方程解出即可. 【详解】由题意知,,设椭圆离心率为. 对于A，,即, 整理得,解得,又,故，故A正确. 对于B，,即,则,即, 整理得,解得,又,故,故B正确. 对于C，轴,由,解得,不妨设,即,即,解得,则，故C错误. 对于D,易得内切圆半径为斜边上的高,即,若内切圆过焦点, 则,整理得,等号两边同时除以得,解得,又,则,故，故D正确，故选：ABD. 变式2-2已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接，取的中点，连接，则⊥，因为，，所以，因为为的中点，所以⊥，且， 因为，所以，，由勾股定理得，即①， 由垂径定理得，即，即②， 联立①②得，又由双曲线定义可得，即，化简得，方程两边同除以得，， 解得或1（舍去），故离心率.故答案为： 题型三 圆锥曲线典型结论应用 【例1】.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形， 设，则，所以， ，即四边形面积等于.故答案为：. 【例2】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．点为上不在坐标轴上的任意一点，且，，，四条直线的斜率之积大于，则的离心率可以是 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解. 【详解】设，依题意可得，则，，又，所以，，从而.故选：AC. 【例3】若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，即得. 【详解】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为：，而，从而，故渐近线即.故选：B. 【例4】（多选题）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】设圆与三边的切点为， ，又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，因为，则为的中点且，于是， 故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确； 设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设， 根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由余弦定理得：，即，由，两式相加，则，又，所以， 所以，所以，即，故C正确；，即，所以，即，故D正确.故选：ACD. 【例5】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知，设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为，， 因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得： ……① 在椭圆中，由定义知，①式化简为：……② 在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③ 由②③两式消去得：，等式两边同除得， 即， 由柯西不等式得， . 故选：B 【例6】已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设，则，从而，进而.过作，则.如图： 在中，，；在中，， 即，所以.故选：A 【例7】 已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点对应的准线的距离为（       ） A. B.5 C. D. 【答案】D 解析：令椭圆二焦点分别为F,F₂, 显然椭圆长半轴长a=5,短半轴长b=4,半焦距c=3, 离心率由对称性不妨令|PF|=3，则由椭圆第一定义知|PF₂|=2a-|PF₁|=7，由椭圆第二定义得点P 到焦点F 对应准线的距离。 变式3-1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题知.设P点的纵坐标为，则. 故选：B 变式3-2.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（       ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出，从而可求出，进而可求出离心率 【详解】，，则，，两式相减得，所以，因为P是AB的中点， 所以，，因为直线OP的斜率为，所以，因为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以，所以，，得，所以，所以离心率为故选：A 变式3-3．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（    ） A．的渐近线方程为 B．点与点均在同一条定直线上 C．直线不可能与平行 D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，即，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，由题意知，所以，所以，故双曲线的方程为，故渐近线方程为，故A正确；对于B选项，记的内切圆在边、、上的切点分别为、、，  由切线长定理可得，，，由，即， 得，即，记的横坐标为，则，于是，得， 同理内心的横坐标也为，故轴，即、均在直线上，故B正确；对于C选项，当与轴垂直时，，故C错误；对于D选项，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，. ，由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，结合图形可知，即，所以，，故D正确.故选：ABD. 变式3-4已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得，而，即可判定；D记，应用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判断. 【详解】设，的焦距为，由，共焦点知：，故A正确； △是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B错； 由且，易得，故C正确； 在△中，记，根据定义． 由余弦定理有． 整理得，两边同时除以，可得，故． 将代入，得．故D正确 故选：ACD． 变式3-5.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A. 变式3-6．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线方程为，与渐近线方程联立方程组解得因为，所以，选B. 变式3-7已知椭圆上一点到右准线的距离为,则点到它的左焦点的距离为（        ） A. B. C. D. 解析：设F₁,F₂ 分别为椭圆的左、右焦点，P 到左准线的距离为d₁,P 到右准线的距离为d₂=10, 由圆锥曲线的统一定义知：,解得：P|F₂ |=6, 又 |PF|+|PF₂ |=2a=10, 解得： P|F|=4,∴P到它的左焦点 距离为4. 题型四 曲线与直线的位置关系 【例1】 直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立直线和双曲线：，消去得， 当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点； 当，此时， 解得或，所以时直线与双曲线无交点； 故选：A 【例2】若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】即，表示双曲线的一支， 表示过点斜率为的直线， 由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方， 当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去， 当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点， 当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时， 故答案为： 【例3】若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】依题意，双曲线上两点，，，， 若点A、B关于直线对称，则 设直线的方程是，代入双曲线方程化简得： ， 则，且，解得，且 又，设的中点是，， 所以，． 因为的中点在直线上， 所以，所以，又 所以，即，所以 所以，整理得， 所以或， 实数的取值范围为： 故答案为：. 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程 整理可得：，设， 则，，根据弦长公式有： =．故B，C，D错误. 故选：A. 【例5】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得， ，解得， 所以的方程为. （2）圆的圆心为，半径圆. ①当直线的斜率不存在时，方程为或， 于是有或 解得， 所以.                  ②当直线的斜率为时，方程为或， 于是有或 解得， 所以.                     ③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为， 因为直线与圆相切，所以，得 建立方程组，消并化简得， . 设,,则,， 所以= 而，当且仅当，即时，等号成立. 所以 ， 所以. 综上所述，的取值范围是. 【例6】如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 【解析】（1）由已知可得：，解得：，， ∴椭圆的方程为：. （2）∵， 设的直线方程为：，，， 联立方程：， 整理得：， ∴，， ∵，， ， 即， ， ， ， 整理得，解得或（舍去）， ∴， ， ∴， 令， 则， 由对勾函数单调性知，， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 此时最大值为. 变式4-1已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当中一条边垂直于轴时，不妨设，直线方程为，易得当面积最大时，为椭圆右顶点. 此时，，故，设，则恒成立，此时的最大值为. ②当中不存在垂直于轴的边时，根据题意，当面积最大时，不妨设，此时过的切线与平行，设为，此时必有. 联立，则，设，则. 故， 联立，则，判别式可得，即，因为，， 故到距离， . 设，由题意，，则，则当时，取最大值，此时. 综上△ABC的面积最大为. 故选：D 变式4-2已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：，点，由，得， 所以的面积为. 故选:B. 变式4-3设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________. 【答案】8 【解析】由，得， 所以，可得. 不妨设，，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以是以为直角顶点的直角三角形. 故． 又因为点在双曲线的右支上，所以， 所以，解得， 所以． 故答案为:8. 变式4-4已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________. 【答案】4 【解析】由题意，得，设直线的方程为， ，，且， 联立，得， 则，，且， 当时，由，得，， 即在点处的切线斜率为， 方程为； 当时，由，得，， 即在点处的切线斜率为， 方程为；联立、的方程， 解得 ，即； 因为，， 所以，所以， 则， ， 所以 因为，，（当且仅当时取等号） 所以的面积的最小值为4. 故答案为：4. 变式4-5已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1． （1）求E的方程； （2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值． 【解析】（1）依题意可知，解得 故椭圆的方程为． （2）延长交E于点，由（1）可知， 设，设的方程为， 由得， 故． 设与的距离为d，则四边形的面积为S， ， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为2． 变式4-6已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值． 【解析】（1）因为（）， 所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 所以，，， 所以轨迹方程为； （2）当一条直线斜率不存在时，代入椭圆方程得，，因此弦长，另一直线斜率为0，， ； 当两条直线斜率都存在且不为0时，设直线方程为，，， 由，得， 所以，， ， 由于，所以直线斜率为，同理， ， 令，则，， 因为，所以，， 综上，， 的最小值为． 变式4-7 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2）［方法一］：【最优解】常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解； 法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样． 题型五 圆锥曲线中的定点、定值问题 【例1】已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； （2）求证：面积为定值，并求出该定值． 【解析】解：（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，解得：，， 所以双曲线的方程为：； （2）证明：设直线的方程：，直线与曲线的右支相切（切点不为右顶点） 则，整理可得：， △，可得，① 设直线与轴交于一点，则， ， 双曲线的渐近线的方程为， 联立，可得，， 同理可得，， 则， 由①及直线与曲线右支相切，与异号， 则． 【例2】已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【解析】解：（Ⅰ）依题意知：， 椭圆方程为； （Ⅱ）直线过点，设直线的方程为，再设，，，， 由，消得：， ， ，， 为定值． 【例3】已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为． (1)求的值； (2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值． 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 圆E在内的弧长为，可得，即有， 设在第一象限，可得，，即为， 将代入椭圆方程可得， 联立解得， （2）由（1）可得椭圆的方程为，，上焦点为， ①当直线（或）与轴平行时，可得， 将代入椭圆得，则， 则； ②当直线（或）与轴不平行时，设，则， 联立方程组，消去y并化简得， 设点，，∴，， 即有， 将k换为，可得， 则， 综上所述，为定值． 变式5-1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【解析】解：（1）椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆方程为． （2）由直线与椭圆交于，两点， 联立，得， 设，，，，则△， ，， 所以， ， ， 原点到的距离， 为定值． 变式5-2已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 【解析】（1）因为左焦点坐标为，所以， 当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为. 所以， 由得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率为0时，直线的方程为， 直线与椭圆没有交点，与条件矛盾， 故可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程可得，， 化简可得， 所以， 由已知方程的判别式， 又直线过点，所以， 所以，所以， 设， 则，， 因为 所以， 所以 方法二：设直线的方程为， 由椭圆的方程，得. 联立直线的方程与椭圆方程，得， 即， ， 所以. 因为直线过定点，所以，代入， 得. 变式5-3．已知椭圆过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值． 【解析】解：（1）由题意知：，，，解得：，， 所以椭圆的方程为：； （2）证明：由（1）得：，，，由题意显然的斜率不为0， 所以设直线的方程为：，设，， 联立与椭圆的方程整理得：，，， 直线的方程为：令，，所以，同理可得点， 所以； 直线，令，，即，同理可得所以同理可得， 为定值． 所以为定值． 题型六 圆锥曲线存在性问题的探究 【例1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1），可得，，， 所求椭圆的方程为：． （2）当直线不与轴重合时， 可设直线的方程为：，联立， 把消去可得整理得：，设，、，， ，， 假设存在定点，使得为定值， ． 当且仅当，即时，（为定值）． 这时，再验证当直线的倾斜角时的情形， 此时取，，， 存在定点使得对于经过点的任意一条直线均有（恒为定值）． 【例2】已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由题意，．故． 可设点坐标为，则 ，解得，即． ，解得． ，． 椭圆的标准方程为． （2）由题意，假设存在与不重合的定点，使得恒成立， 设，，且，，，，，则 ，． ， ，即． 整理，得． 设直线． 联立， 消去，整理得． ，． ． ． 存在与不重合的定点，使得恒成立，且点坐标为． 【例3】已知椭圆的焦距为2，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【解析】解：由椭圆的焦距为2，故，则， 又由椭圆经过点，代入得，得，， 所以椭圆的方程为：． （2）根据题意，直线的斜率显然不为零，令 由椭圆右焦点，故可设直线的方程为， 与联立得，， 则△， 设， 设存在点，设点坐标为， 由，得， 又因为， 所以，， 所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有， 则：，所以， 所以，， 即，即， 解得，符合题意， 即存在点满足题意． 变式6-1已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由题意得，即， 又椭圆经过点，可得， 解得，， 所以椭圆的方程为； （2）假设存在符合条件的点， 设，，，， 则，，，， ， ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 可得△成立，且，， ， ， 对于任意的值，上式为定值， 故，解得：， 此时，为定值； ②当直线的斜率不存在时， 直线，，，， 由，得为定值， 综合①②知，符合条件的点存在，其坐标为，． 变式6-2已知椭圆的左、右焦点分别为、，点满足：，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于，，，不同的两点，且，问在轴上是否存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形．若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）因为，所以点在椭圆上， 将代入，得①， 设椭圆焦距为，则，所以，又②， 由①②解得，， 所以椭圆的方程为； （2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立消去整理得：， 由△，得， 则，， 假设存在点，因为直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形，所以， 设，则， 即， 所以， 解得． 故在轴上存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终在底边为轴上的等腰三角形． 变式6-3椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，． （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设椭圆的右焦点，由题意可得，可得， 再由，所以可得， 所以， 所以椭圆的方程为：； 因为抛物线的焦点，所以， 所以抛物线的方程：， 所以椭圆的方程为：， 抛物线的方程：； （2）设直线的方程为：，并设，，，，，，，， 联立整理可得：， ，， 所以， ， 联立整理可得：， ，所以， 得，要使其为定值，则对应比成比例， 所以可得， 即时，为定值． 题型七 圆锥曲线实际应用问题 【例1】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【例2】我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果； 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 【例3】（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 【例4】已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 变式7-1圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 变式7-2．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    【答案】 【分析】利用双曲线的光学性质，反射后的光线反向延长线经过另一个焦点，从而确定反射光线的路径，进而求出的值. 【详解】入射线反射后得到的光线的反向延长线定过双曲线的另一个焦点， ． 故答案为： 变式7-3．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）当时，面积的最大值为；当时，面积的最大值为；（ii）证明见解析 【分析】（1）设与直线，的夹角分别为，，即证即可； （2）（i）设，，，结合椭圆方程消元得，由韦达定理得，计算，代入即可求解； （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得：，代入即可求证. 【详解】（1）当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ． 同理，，，． 该性质成立； （2）（i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ． 令，则． 当时，， 当且仅当，即时取等号，得 ， 所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为； 当时，面积的最大值为． （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ， ，， 因为，所以． 点在定直线上． 变式7-4．在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 【答案】(1)，点为坐标原点 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）（i）由题意易得，，进而得到是首项为1，公比为的等比数列，进而求和即可； （ii）先求出直线的方程为，，，可得直线的方程为，进而求证即可. 【详解】（1）依题意，得即 ，故曲线方程为. 点在曲线上，，故曲线方程为 由对称性可知，点为坐标原点 （2）（i）依题意，得， 得①， 又直线的斜率为2且， ②. 将②代入①中，得③， 将②和③相加，得， 从而是首项为1，公比为的等比数列， . （ii）点在定直线上. 证明如下： ， 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为， 令，得， 直线与直线的交点坐标为， 故点在定直线上. 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 2．若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】分别求出抛物线的焦点和椭圆的右顶点坐标，得，即可求解. 【详解】由题意知，（）的焦点为， 的右顶点为， 所以，解得. 故选：D 3．年春晚小品《借伞》，融合了多种戏曲元素，展现了中华文化的博大精深与多元魅力，贯穿其中的重要道具油纸伞至今已有多年的历史．如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得的值. 【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，则， 如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而， 故. 故选：B. 4．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可. 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 5．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 【答案】D 【分析】将代入方程，可判断A；结合方程，求解整点坐标，可判断B；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D. 【详解】对于A，结合曲线：，将代入， 方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； 对于C，直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为，即时，无解， 故，即实数的取值范围为，C错误， 对于D，由，可得，时取等号， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确， 故选：D 6（多选）．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 7（多选）．设为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．若，则直线的斜率为或 【答案】AB 【分析】对于A项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B项，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C项，由条件推理得点A的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D项，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将所求式代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图： 对于A：根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，由，故A正确； 对于B：因为抛物线方程为，所以. 根据抛物线的定义，，所以，故B正确； 对于C：记直线与轴的交点为，过作于. 因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，， 所以，故C错误； 对于D：当时，直线斜率存在且不为0，设直线：. 代入得：，整理得：. 设，，则，由，点在第一象限，得（）. 解得，故D错误. 故选：AB 二、填空题 8．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 15 23 【分析】求出椭圆的长轴长及左、右焦点坐标，再结合椭圆定义及线段和差大小关系求出最值. 【详解】椭圆长轴长为10，左焦点，令右焦点为，点在椭圆外， 因此，当且仅当为线段与椭圆交点时取等号； ， 当且仅当为线段的延长线与椭圆交点时取等号， 所以的最小值为15，最大值为23. 故答案为：15；23    9．已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 【答案】18 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线定义求出，结合可得答案． 【详解】因为，所以， 可得， 因为，，所以，或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：. 三、解答题 10．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可； （2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明． 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为． 因为经过点， 所以，解得， 故的方程为． （2）若直线的斜率存在，设， 由，消去得， 则，即， 设，则， 因为，所以，即， 所以，整理得， 设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以， 又，所以； 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为， 不妨设直线的斜率为1，则， 将点的坐标代入方程，得， 所以， 所以． 综上，为定值． 11．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．已知动点满足：. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点M的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设， 因为， 可知，且， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆. 设曲线的方程为，记，则， 所以，所以， 所以的标准方程为. （2）因为，可知点在椭圆内， 设点，则， 作差得，除以得， 又由点是的中点，则有. 所以，变形可得， 所以直线的方程是，即.    能力提升进阶练 一、选择题 1．已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解. 【详解】设，线段的中点， 若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称， 所以直线的方程可以设为， 联立，化为， ，解得， 而，所以，即， 代入直线可得， 所以，即实数m的取值范围是. 故选：D. 2．已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果. 【详解】令，，则，， 由，故，则， 而，，则，， 所以，故， . 故选：B 3．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 4（多选）．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．点、均在直线上 B．直线的方程为 C． D． 【答案】ABD 【分析】由切线长定理和双曲线定义即可判断选项A；利用点到直线的距离公式可分别求出点，到直线的距离，再用两点间距离公式求出，从而可判断选项B；根据的关系可判断选项C；借助B的结果求出点的横坐标，进而可得选项D. 【详解】由双曲线得， 设的内切圆与分别切于点， 则, 所以， 又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点，即在直线上， 同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点，即也在直线上，故选项A正确； 因为点在双曲线上，所以， 点到直线的距离， 点到直线的距离 所以， 又， 所以，即， 又因为为的平分线， 所以直线的方程为，故选项B正确； 设圆与切于点，连接，设， 因为,所以,所以，即，所以， 又，所以，即，所以，故选项C错误； 由B知的方程为，① 设，同理得的方程为，② 由①②得，③ 因为，所以设的方程为， 因为在上，所以，代入③得 ，所以在直线上， 所以到的距离为， 又到的距离为， 所以,故选项D正确； 故选：ABD. 二、填空题 5．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是、在第二、 四象限的交点，若， 则与的离心率之积的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】设椭圆方程为， 双曲线方程为， 如下图，连接，所以为平行四边形， 由得，设， 在椭圆中，由定义可知：， 由余弦定理可知： ， ， 在双曲线中，由定义可知中：：， 由余弦定理可知： ， ， 所以， ，当且仅当时取等号， 所以， 所以与的离心率之积的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键. 三、解答题 6．已知双曲线与直线有唯一的公共点M. (1)若点在直线l上，求直线l的方程； (2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值. 【答案】(1) (2)存在定点，，使得当点M运动时，为定值13 【分析】（1）双曲线与直线联立方程组，由判别式为0和点在直线l上，解得，可求直线l的方程； （2）双曲线与直线联立方程组，求出点M坐标，表示出过点M且与直线l垂直的直线，解得，两点，求动点的轨迹方程，由方程确定满足条件的定点G，H. 【详解】（1）点在直线上，则有，    联立，则， 由，则，可得， 所以：，解得， 当时，；所以直线l的方程： （2）联立，则， 因为，M是双曲线与直线的唯一公共点， 所以，化简得， 解得点M的坐标为，即为， 于是，过点M且与l垂直的直线为，    可得，，，即，， 于是， 即P的轨迹方程为：，由双曲线的定义可知， 存在定点，，使得当点M运动时，为定值13. 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $ 第3章 圆锥曲线与方程（复习讲义） 基础目标 ①学生能理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，熟练掌握它们的标准方程和几何性质（如范围、对称性、顶点、焦点、离心率等）； ②掌握圆锥曲线的简单几何量（如a,b,c,p,e）之间的关系，能根据给定条件求出圆锥曲线的标准方程，并能判断圆锥曲线的类型； ③学会运用坐标法解决圆锥曲线的简单问题，如求焦点坐标、离心率、渐近线方程等，为后续学习打下坚实的知识基础，初步形成解析几何的思想方法。 进阶目标 ①能运用圆锥曲线的定义和几何性质解决含参数的圆锥曲线方程问题，分析参数对曲线形状、位置的影响； ②灵活运用代数方法（如联立方程、韦达定理、判别式）解决直线与圆锥曲线的位置关系问题（如相交、相切、相离），掌握弦长公式、中点弦问题等解题技巧； ③能结合实际问题，建立圆锥曲线模型，解决简单的最值问题（如距离的最值、面积的最值）、轨迹方程问题，提升逻辑推理与数学运算能力。 拓展目标 ①探索三种圆锥曲线之间的内在联系与区别，如通过离心率的变化理解它们的统一性与特殊性； ②尝试解决与圆锥曲线相关的综合问题，如圆锥曲线与函数、导数、不等式的结合，总结解题规律与策略； ③能将圆锥曲线知识与平面几何、向量等知识综合应用，解决较复杂的解析几何问题，培养知识迁移能力与综合应用意识，体会数形结合、分类讨论等数学思想的深刻内涵。 1． 圆锥曲线的概念与性质： （1）椭圆 ①椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距。 ②椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （2） 双曲线 ①．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． ②．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) （3）抛物线 ①．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． ②．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 2． 圆锥曲线的常用结论： 结论一：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 结论二：中点弦问题（点差法）秒杀公式 ①、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， ②、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， ③、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 结论三： 双曲线焦点到渐近线的距离为 结论四：①双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. ②如图，已知为双曲线的左、右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，若的内切圆圆心分别为，半径分别为，则（1）在直线上；（2） 结论五：已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即． 结论六：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 当曲线焦点在轴上时, 结论七：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 结论八:圆锥曲线的第二定义 （1）.圆锥曲线的第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹,其中,定点为焦点,定直线叫做准线,常数叫做离心率.当 ①时,动点轨迹为椭圆 ②当时,动点轨迹为双曲线 ③当时,动点轨迹为抛物线 注意:椭圆双曲线的第二定义,即椭圆,双曲线,抛物线统一定义 （2）.椭圆的第二定义 椭圆的第二定义:平面上到定的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆（如下图）,即. 定点叫焦点,定直线叫准线.焦点分为左焦点和右焦点,准线分为左准线和右准线. 注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线. （3）.双曲线的第二定义 平面内到定点的距离与到定直线（定点在定直线外）的距离之比为常数（其中）的点的轨迹是双曲线.常数是双曲线的离心率.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线相应于定点的准线. ①对于双曲线,左焦点对应的准线方程为;右焦点对应的准线方程为. ②对于双曲线,下焦点对应的准线方程为;上焦点对应的准线方程为 3． 圆锥曲线中直线与曲线的位置关系 知识点一、直线和曲线联立 （1）椭圆与直线相交于两点，设 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不再赘述． （2）抛物线与直线相交于两点，设 联立可得 特殊地，当直线过焦点的时候，即，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设 联立可得 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式． 知识点二、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到 为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立可得 ， 为了方便叙述，将上式简记为，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：①由韦达定理写出 注意隐含条件． ②求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． ③如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． ④直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． ⑤注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 知识点三、弦长公式 设根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：①上述表达式中，当为； ②直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． ③直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． ④直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． ⑤直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 4． 圆锥曲线中的定点、定值问题 （1）定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： ①变量----选择适当的量为变量． ②函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． ③定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． （2）求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． （3）求解直线过定点问题常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； ③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式代入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 5． 圆锥曲线存在性问题的探究 解决存在性问题的技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． （2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． 6． 圆锥曲线的实际应用问题 （1）实际应用问题类型 天体运动轨道问题（椭圆为主） 斜抛物体轨迹问题（抛物线） 光学性质应用问题（椭圆、双曲线、抛物线） 定位与轨迹问题（双曲线） 工程设计与建筑结构问题（抛物线、椭圆为主） （2）通用解决方法 各类应用问题的解决方法均基于解析几何的“坐标法”，步骤如下： 步骤 具体操作 1. 建立坐标系 根据问题场景选择原点和坐标轴（如抛物线顶点为原点，对称轴为x轴；椭圆焦点在坐标轴上）。 2. 确定曲线类型 根据应用场景判断圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线），设对应的标准方程。 3. 列方程求参数 利用已知条件（如距离、长度、位置关系）代入标准方程，求解关键参数（(a)、(b)、(c)、(p)等）。 4. 分析与应用 根据参数和方程解决具体问题（如计算尺寸、验证轨迹、确定位置）。 圆锥曲线的实际应用问题本质是几何性质与代数方程的结合，核心在于通过建立坐标系将物理或工程问题转化为方程求解，关键参数（(a)、(b)、(c)、(p)）的计算是连接几何条件与代数方程的桥梁。掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，是解决各类应用问题的基础。 题型一 圆锥曲线中基本量的求解 【例1】．若双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ） A． B．2 C． D． 【例2】．椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 二、多选题 【例3】．点是椭圆上任意一点，是椭圆的左､右焦点，则（    ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为1 变式1-1．若方程表示曲线. （1）若曲线是圆，则的值是 . （2）若曲线是椭圆，则的取值范围是 . 变式1-2．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 变式1-3．已知椭圆的长轴长，短轴长分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，若，求的面积. 题型二 圆锥曲线离心率的求解 【例1】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 A． B． C．2 D． 【例2】已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 变式2-1如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为的是（    ） A． B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点， 变式2-2已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为 . 题型三 圆锥曲线典型结论应用 【例1】.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【例2】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．点为上不在坐标轴上的任意一点，且，，，四条直线的斜率之积大于，则的离心率可以是 A． B． C． D． 【例3】若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【例4】（多选题）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 【例5】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（       ） A． B． C． D． 【例6】已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【例7】 已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点对应的准线的距离为（       ） A. B.5 C. D. 变式3-1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 变式3-2.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（       ） A． B．2 C． D． 变式3-3．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（    ） A．的渐近线方程为 B．点与点均在同一条定直线上 C．直线不可能与平行 D．的取值范围为 变式3-4已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（       ） A． B． C． D． 变式3-5.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3-6．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 变式3-7已知椭圆上一点到右准线的距离为,则点到它的左焦点的距离为（        ） A. B. C. D. 题型四 曲线与直线的位置关系 【例1】 直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【例3】若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______. 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【例5】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围． 【例6】如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 变式4-1已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（    ） A． B． C． D． 变式4-2已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-3设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________. 变式4-4已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________. 变式4-5已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1． （1）求E的方程； （2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值． 变式4-6已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值． 变式4-7 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 题型五 圆锥曲线中的定点、定值问题 【例1】已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； （2）求证：面积为定值，并求出该定值． 【例2】已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【例3】已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为． (1)求的值； (2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值． 变式5-1．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 变式5-2已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 变式5-3．已知椭圆过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为、，左焦点为，过的直线与交于、两点和均不在坐标轴上），直线、分别与轴交于点、，直线、分别与轴交于点、，求证：为定值，并求出该定值． 题型六 圆锥曲线存在性问题的探究 【例1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【例3】已知椭圆的焦距为2，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 变式6-1已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2已知椭圆的左、右焦点分别为、，点满足：，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于，，，不同的两点，且，问在轴上是否存在定点，使得直线，与轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形．若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-3椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，． （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型七 圆锥曲线实际应用问题 【例1】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【例2】我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【例3】（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【例4】已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 变式7-1圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 变式7-2．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    变式7-3．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 变式7-4．在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 基础巩固通关测 一、选择题 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 2．若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．8 3．年春晚小品《借伞》，融合了多种戏曲元素，展现了中华文化的博大精深与多元魅力，贯穿其中的重要道具油纸伞至今已有多年的历史．如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 5．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 6（多选）．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 7（多选）．设为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．若，则直线的斜率为或 二、填空题 8．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ．   9．已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 三、解答题 10．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为． (1)求的方程． (2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值． 11．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 12．已知动点满足：. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 能力提升进阶练 一、选择题 1．已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 3．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4（多选）．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．点、均在直线上 B．直线的方程为 C． D． 二、填空题 5．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是、在第二、 四象限的交点，若， 则与的离心率之积的最小值为 ． 三、解答题 6．已知双曲线与直线有唯一的公共点M. (1)若点在直线l上，求直线l的方程； (2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值. 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $