精品解析：吉林省吉林市吉化第六中学校2025-2026学年九年级上学期期中数学卷

吉林省吉林市吉化第六中学校2025-2026学年九年级上学期期中数学卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各项中，是的二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 二次函数的最小值是（    ） A. B. C. D. 2 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长弧 D. 直径是圆中最长的弦 4. 与二次函数的图象形状相同，开口方向相反的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知⊙O直径为8，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙O的位置关系是点P在________．（填圆内、圆外或圆上） 8. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为__________． 9. 如图，是两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于____． 10. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__． 11. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，图象上点的坐标是，下面几个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确的结论有__________（请写出所有正都结论的序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）点在该函数的图象上，求的值． 13. 已知二次函数． （1）将二次函数的解析式化为的形式； （2）直接写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 14. 有一张机械图纸上绘制了一个如图所示的弓形零件并有尺寸标注（单位：），工人师傅想要知道这个弓形所在圆的半径，请你帮他计算出来． 15. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）直接写出当取何值时，随的增大而增大． 16. 如图，在中，已知弦相交于点，连接． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 17. 如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 18. 如图，用一根长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成矩形花圃，中间有三道篱笆，均平行于墙．设边的长为． （1）若围成的花圃的面积为，求边的长； （2）当取何值时所围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？ 19. 如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 21. 如图，内接于， ，，并交的延长线于点D，分别与和相交于点E和F． （1）求证：是的的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． （1）求此抛物线的解析式； （2）当轴时，求的值； （3）当时，求点的坐标； （4）设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉林市吉化第六中学校2025-2026学年九年级上学期期中数学卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各项中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 二次函数的最小值是（    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上， ∴顶点为 ∴当，有最小值为， 故选：A． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆． D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选D． 【点睛】圆的认识． 4. 与二次函数的图象形状相同，开口方向相反的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、形状和抛物线的a值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线顶点坐标是，开口向下， 抛物线顶点坐标是，开口向上， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线（a、b、c是常数且a≠0）的相关性质是解答此题的关键． 5. 如图，与正五边形的两边，相切于A，C两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解． 【详解】解：与正五边形的两边，相切于A，C两点， ，， 正五边形的每个内角度数为：， ， ． 故选：B． 6. 如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴ ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙O的位置关系是点P在________．（填圆内、圆外或圆上） 【答案】圆外 【解析】 【详解】试题分析：当点到圆心距离小于半径，则点在圆内；当点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；当点到圆心的距离大于半径，则点在圆外．根据题意可得点P在圆外． 8. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”；根据平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据“左加右减”，解析式变为 ； 再向下平移4个单位长度，根据“上加下减”，解析式变为 ； 化简得； 故答案为 ． 9. 如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据切线的性质求得，，再由直角三角形的性质得． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握． 10. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__． 【答案】## 【解析】 【分析】连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OC，如图， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式． 11. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，图象上点的坐标是，下面几个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确的结论有__________（请写出所有正都结论的序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】①常数项决定二次函数与轴交点的位置，结合二次函数与轴的交点和对称性即可确定二次函数与轴交点的位置，从而判断的正负； ②二次函数的对称轴公式为，将代入对称轴公式即可判断； ③方程是否有实数根，观察直线与二次函数是否有交点即可； ④将代入函数解析式，判断函数值的正负即可； 【详解】解：①函数的对称轴是直线，由图象知抛物线与轴的其中一个交点在和之间，根据二次函数的对称性，另一个交点应在和之间，则抛物线与轴的交点在轴的下方，则，故①错误； ②∵函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ③由图象得直线与二次函数有2个交点，则方程有2个实数根，故③错误； ④由①知，， ∴当时，， 则当时，，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数确定一元二次方程根的情况，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，运用数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）点在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1）4 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点这个图象上， ． 13. 已知二次函数． （1）将二次函数的解析式化为的形式； （2）直接写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴是直线；顶点坐标是 【解析】 【分析】本题主要考查了将二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质等知识点，掌握用配方法把函数解析式化成顶点式是解题关键． （1）根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）根据（1）中的顶点式解析式即可解答． 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数图像的对称轴是直线，顶点坐标是． 14. 有一张机械图纸上绘制了一个如图所示的弓形零件并有尺寸标注（单位：），工人师傅想要知道这个弓形所在圆的半径，请你帮他计算出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；掌握垂径定理是解题的关键．过作于，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过作于，连接， ， 设的半径为，则有，， ， ， 解得：， 故圆半径为． 15. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）直接写出当取何值时，随的增大而增大． 【答案】（1） （2）当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数图像的性质即可得到答案； 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为，将代入，得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大． 16. 如图，在中，已知弦相交于点，连接． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算得到答案． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，， ，， ， ， ， ∵的半径为， 的长为． 17. 如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； 【小问2详解】 解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 18. 如图，用一根长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成矩形花圃，中间有三道篱笆，均平行于墙．设边的长为． （1）若围成的花圃的面积为，求边的长； （2）当取何值时所围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，S取得最大值，此时花圃的面积是 【解析】 【分析】主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意． （1）表示出的长为，然后列出一元二次方程求解即可； （2）设花圃的面积为S，表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵该花圃的边的长为，则的长为， 由题意，得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴的长是； 【小问2详解】 设花圃的面积为S，则． ， ∴当时，S取得最大值，此时花圃的面积是． 19. 如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接．首先证明，推出即可解决问题； （2）连接，根据，只要求出即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ，即， ，则垂直平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ， ， 是的一个外角， ， 是的直径， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得出点C的坐标；令，则，求解即可得出点A、B的坐标； （2）由可得点与点到轴的距离相等，结合点在第一象限得点的纵坐标为3，代入二次函数求解即可． 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，二次函数的面积问题，熟练掌握二次函数的与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 令，则， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴点与点到轴的距离相等， 又∵点第一象限， ∴设点， ∴， 解得（舍去）， 则． 21. 如图，内接于， ，，并交的延长线于点D，分别与和相交于点E和F． （1）求证：是的的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点H，由可得，由可得，进一步得出，即可证明问题； （2）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出，求出的度数；再证得、是等腰直角三角形，求出长，即可求出扇形的面积，的面积，从而得到阴影的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵是半径， ∴， ∵， ∴ ∵是的半径 ∴是的切线. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ . 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是由等腰三角形，直角三角形的性质求出的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． （1）求此抛物线的解析式； （2）当轴时，求的值； （3）当时，求点的坐标； （4）设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式，由对称轴为直线得，即可求解； （2）由轴得，即可求解； （3）由勾股定理得，，，即可求解； （4）分类讨论：①当、都在直线的左侧时，②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点在直线的右侧且在直线上方时，④当点在直线的右侧且在直线下方时；即可求解． 【小问1详解】 解：点，对称轴为直线， ，， 解得：， 故此抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：轴， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 故； 【小问3详解】 解：点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、， ，， ， ， ， 当时， ， ， 解得：，； 当时，， 当时，， 点的坐标为或； 【小问4详解】 解：由（3）得，顶点坐标为， ①当、都在直线的左侧时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； ②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图， ， 解得：， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 此种情况的值不存在； ③当点在直线的右侧且在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）； 的值为； ④当点在直线的右侧且在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理等，能利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $