精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

哈113中学2025-2026学年度上学期八年数学 十月份 学生学业水平反馈 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰形曲线 C. 太极曲线 D. 蝴蝶形曲线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，正确掌握相关乘法公式是解题关键． 3. 已知点M与点关于y轴对称，那么点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 【详解】解：∵点M与点关于y轴对称， ∴点M的坐标为， 故选C． 4. 下列各式中，是分式的有（ ）个． ，，，0，，， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】判断一个式子是否是分式，关键是看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断即可． 【详解】解：，，0，，为单项式；， ， 为分式； 故选B． 【点睛】本题考查了分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意不是字母． 5. 如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝BC＝3， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝30°， ∴AB＝， 由翻折变换的性质可知，DB＝DA＝， ∴DE＝BD•tan30°＝1， 故选A． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、解直角三角形，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6. 若分式中，、都扩大为原来的2倍，则该分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ； 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 12 B. 或12 C. 36 D. 或36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方的应用，理解完全平方式的常数项是平方数，总为非负是解题的关键，根据完全平方式的定义，二次三项式应能写成的形式，通过比较系数求出k． 【详解】解：设完全平方式为， ∵ 是完全平方式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 因此，k的值为36， 故选：C． 8. 随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数，规定，并且新数满足交换律、结合律和分配律，则运算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，把i2=-1代入即可. 【详解】(1+i)(2-i) =2-i+2i-i2 =2+i-(-1) =3+i 故选D. 【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键. 9. 如图，为内一定点，、分别是射线、上一点，当周长最小时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=40°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称， ∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=40° 同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2， ∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N=∠OP1M=40°， ∴∠P1OP2=180°-2×40°=100°， ∴∠AOB=50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正确作出辅助线，证出△P1OP2是等腰三角形是解题的关键． 10. 课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解作图过程，得，即可证明，故． 【详解】解：结合作图过程，得出， ∴， ∴， 即证明两个角相等时用到了判定方法， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义，则要求分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 12. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若，，则______________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用是解决此题的关键，根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 14. 已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据完全平方公式的运算即可. 【详解】∵， ∵-=4=16， ∴=4. 【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 15. 若m+=3，则m2+=_____． 【答案】7 【解析】 【详解】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案． 详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9， 则m2+=7， 故答案为7 点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 16. 中平分，平分，，，则_____°． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查三角形角平分线的性质，根据三角形内角和定理可求出．根据题意可知O是的内心（即角平分线的交点），平分，因此等于的一半． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分，平分， ∴平分， ∴． 故答案为33． 17. 观察下列各式的规律，①；②；③；，请按以上规律用含有字母的式子表示第（为正整数）个算式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，涉及多项式乘多项式和完全平方公式，观察给定算式的规律，每个算式中第一个因数为序号n，第二个因数为，减去的数为的平方，结果均为． 【详解】解：根据规律，第n个算式可表示为 ， ， 则第n个算式为 ． 故答案为：． 18. 已知，中，，过线段的中点作的垂线交直线于点，若，则_____． 【答案】1或3##3或1 【解析】 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，理解题意，分情况分析，作出相应图形是解题关键． 根据题意分两种情况：①当点Q在线段上时，②当点Q在线段的延长线上时，结合图形，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况：①当点Q在线段上时，如图1， ∵，， ， ； ②当点Q在线段的延长线上时，如图2， ∵，， ， ； 综上所述，或3． 故答案为：1或3． 19. 已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则_____． 【答案】##3.5## 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 20. 如图，为等边三角形，是线段上一动点（点不与，C重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为D，以为边向右侧作等边三角形．直线与交于点M，延长交于点F．则①；②；③；④．以上结论正确的序号是：_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线定义，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．①由等边三角形的性质可得，，，即可证，可得，即可判断②；由，得，结合，进而求出，再求出，利用三角形外角的性质可得，即可判断①；过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，可得，即可判断③；当点在中点时，两点重合，得到，即可判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 如图，当点在中点时， ∵是等边三角形， ∴两点重合， 此时，， ∴， ∴不一定相等，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（共计60分其中21题7分，22题8分，23题7分，24题8分，25~27题各10分） 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值和已知代数式的值求代数式的值，先化简分式表达式，通过因式分解和通分简化，然后计算 x 的值（利用零指数幂性质），最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 则． 22. 计算： （1） （2）利用乘法公式计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的化简和乘法公式进行简便运算． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行合并同类项即可； （2）利用乘法公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 23. 如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上． （1）在图1中，在下方的小正方形的顶点上找到一点，连接，使与的面积相等且 （2）在图2中，画出中边上的中线（仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查作图能力，正确掌握图形的特点是解题的关键： （1）根据题意要求作图即可； （2）取格点F，连接，得四边形是平行四边形，连接交于点E，即可． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 略 24. 如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． （2） 解：如图2：作，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点C在的角平分线上，即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）直接证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论； （2）如图2：作，即，再证明可得，然后再根据角平分线的判定定理即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m、n是正整数，且），在的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． （1）填空：_____；_____； （2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为63，则这个两位正整数t是_____，的最大值是_____； （3）填空：_____． 【答案】（1）； （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查数字类规律，理解最佳分解的定义，并将其转化为有理数的运算是解题的关键． （1）仿照样例进行计算即可； （2）原数可以表示为，交换后的十位数可以表示为，相减求出所有的两位数，再按照样例计算并比较； （3）仿照样例进行计算即可． 【小问1详解】 解：6可以分解成，，因为，所以是6的最佳分解，所以； 16可以分解成，，，因为，所以是16的最佳分解，所以． 【小问2详解】 交换后的数减去交换前的数的差为：， ， 由于，a，b为正整数， ，，或，， ，或； 当时，29可以分解成，所以是29的最佳分解，所以； 当时，18可以分解成，，，因为，所以是18的最佳分解，所以． ∵, ∴的最大值是； 【小问3详解】 由于 ， 因为 ， 所以是的最佳分解，所以． 26. 如图，在中，，点D在BC上，连接，且平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点为上一点，过点作，垂足为点，直线交的延长线于，交于，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当点为中点时，过点作于点，于点，若，，求的面积（用含、的式子表示）． 【答案】（1） （2） ∵， ∴, ∴， ∵， ∴，即； （3）． 【解析】 【分析】本题考查三角形综合应用，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积及线段和差等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定定理． （1）由角平分线得，利用三角形的外角及内角和得到，即可求出； （2）由垂直定义得到，利用，得到，即； （3）过B作交于M，由，可证，得，从而又，点E为的中点，可证，得，即得；连接，由，得，而，即得，有，故  ，结合已知得即得  【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 过B作交于M，如图： 由已知得：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ． 27. 如图：平面直角坐标系中，，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点是x轴正半轴上一点，点在的延长线上，且，用含的式子表示的长； （3）如图3，在（2）的条件下，延长到点，连接交轴于点，点在轴正半轴上，且，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）25 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）如图2：在上取一点D，使得，则，，然后证明可得，最后根据线段的和差即可解答． （3）设，，，则，，根据、等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，再根据三角形外角的性质可得；如图：在上取点，使得，作于K，于D，，；先根据三角形外角的性质以及已知条件可得，再根据等边对等角可得易得，再根据等腰三角形的性质可得，即；易证可得，进而得到、，则是等腰直角三角形，易得，即，然后代入（2）得到的结论即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：如图2：在上取一点D，使得，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，，，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 如图：在上取点，使得，作于K，于D，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 由（2）可得，则． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈113中学2025-2026学年度上学期八年数学 十月份 学生学业水平反馈 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰形曲线 C. 太极曲线 D. 蝴蝶形曲线 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点M与点关于y轴对称，那么点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各式中，是分式的有（ ）个． ，，，0，，， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 6. 若分式中，、都扩大为原来的2倍，则该分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 扩大到原来的4倍 D. 缩小到原来的 7. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 12 B. 或12 C. 36 D. 或36 8. 随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数，规定，并且新数满足交换律、结合律和分配律，则运算结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为内一定点，、分别是射线、上一点，当周长最小时，，则（ ） A. B. C. D. 10. 课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 12. 分解因式：＝________________． 13. 若，，则______________． 14. 已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___． 15. 若m+=3，则m2+=_____． 16. 中平分，平分，，，则_____°． 17. 观察下列各式的规律，①；②；③；，请按以上规律用含有字母的式子表示第（为正整数）个算式为_____． 18. 已知，中，，过线段的中点作的垂线交直线于点，若，则_____． 19. 已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则_____． 20. 如图，为等边三角形，是线段上一动点（点不与，C重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为D，以为边向右侧作等边三角形．直线与交于点M，延长交于点F．则①；②；③；④．以上结论正确的序号是：_____． 三、解答题（共计60分其中21题7分，22题8分，23题7分，24题8分，25~27题各10分） 21. 先化简，再求值：，其中 22. 计算： （1） （2）利用乘法公式计算： 23. 如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上． （1）在图1中，在下方的小正方形的顶点上找到一点，连接，使与的面积相等且 （2）在图2中，画出中边上的中线（仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，保留作图痕迹） 24. 如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 25. 我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m、n是正整数，且），在的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． （1）填空：_____；_____； （2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为63，则这个两位正整数t是_____，的最大值是_____； （3）填空：_____． 26. 如图，在中，，点D在BC上，连接，且平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点为上一点，过点作，垂足为点，直线交的延长线于，交于，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当点为中点时，过点作于点，于点，若，，求的面积（用含、的式子表示）． 27. 如图：平面直角坐标系中，，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点是x轴正半轴上一点，点在的延长线上，且，用含的式子表示的长； （3）如图3，在（2）的条件下，延长到点，连接交轴于点，点在轴正半轴上，且，连接，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $