精品解析：安徽省亳州市蒙城县2025-2026学年九年级上学期第二次质量检测试卷数学试题

蒙城县2025-2026学年度第一学期第二次质量检测试卷 九年级数学试题 （分值：150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各组图中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键； 根据相似图形的定义：相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形，逐项判断即可． 【详解】解：A．都是五边形，但是形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意； B． 大人和小孩的外形轮廓形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意； C． 形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意； D． 形状相同，大小不同，符合相似形的定义，是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 4. 关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A. y的最大值为1 B. 开口向上 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. 图象的对称轴是y轴 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．分析开口方向、对称轴、最值及增减性，逐项判断即可． 【详解】A．函数中，二次项系数，抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为，即函数有最小值1，而非最大值，说法错误； B．，抛物线开口向上，说法正确； C．对称轴为轴（），当时（对称轴左侧），函数值随的增大而减小，说法正确； D．二次函数的对称轴是y轴，说法正确； 故选：A． 5. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵，，则 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例． 6. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 7. 二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：当时，， ∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C， 直线中的，排除选项D， 选项A符合以上推理出来的条件． 故选：A． 8. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（ ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，先求出点A和点B的坐标，进而得到，则可推出，据此可判断①；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，，据此可判断②；利用勾股定理求出，再利用等面积法可判断③；求出点C的坐标即可判断④⑤． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴点D到的距离为，故③错误； ∵， ∴， ∵直线与双曲线交于点C， ∴方程有一个解为，故④正确； 由函数图象可得当时，，故⑤正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，根据正方形和旋转的性质，证明，得到，，进而证明和是等腰直角三角形，设，，则，利用勾股定理，推出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 设，， ， 在中，， 在中，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为______秒． 【答案】18 【解析】 【分析】当飞机停下时，滑行时间最长，此时滑行距离最远，将二次函数转化为顶点式，求解即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，g有最大值， ∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长， ∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键． 12. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___． 【答案】9． 【解析】 【分析】过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到 BE＝BF，AE＝CF，从而证得四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，则AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，由 m﹣1＝5﹣m，求得m的值，求得B的坐标，即可得出结论． 【详解】过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠EBF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF(AAS)， ∴BE＝BF，AE＝CF， ∴四边形OEBF是正方形， 设正方形OEBF的边长为m， ∵点A(1，0)，点C(0，5)， ∴OA＝1，OC＝5， ∴AE＝m﹣1，CF＝5﹣m， ∴m﹣1＝5﹣m， ∴m＝3， ∴B(3，3)， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴k＝3×3＝9， 故答案为9． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线． 14. 在平面直角坐标系中，若点，，在抛物线上，且位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时，与满足的等量关系为__________； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求得即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到，解得． 【详解】解：（1）， ∴； 故答案为：； （2）由题意可知，点在对称轴的左侧,点，在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4． 【解析】 【分析】（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 设，， ， ， ， ，； （2）是的比例中项， ， 是线段，， ． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 16. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，则 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点为，求该“完美函数”的表达式． 【答案】（1）1 （2）该“完美函数”的表达式为 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由定义可得，求出的值即可； （2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点为求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：点是“完美点”， ，即， 解得：， 故答案为：1； 【小问2详解】 ∵某“完美函数”的顶点在直线上， ∴设函数的顶点为， ∵该函数为“完美函数”， ∴，解得， ∴该函数的顶点为， 设该“完美函数”的表达式为，令，则，解得， ∴该“完美函数”的表达式为． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中的平分线为，交于点E，若，，求的值； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 18. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现一款进价为80元的新款头盔，售价为100元时，销量为160件，售价每增加10元，销量减少20件，设每月的销售利润y（元），售价提高x（元）． （1）求销售利润y关于x的函数解析式； （2）若获利不得高于进价的，那么售价提高多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】（1） （2）28元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用公式：销售利润单件头盔利润销售量，列出y关于x的函数解析式即可； （2）根据题意“获利不得高于进价的”，求出的取值范围，再结合二次函数的性质分析y取最值时的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 销售利润y关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：获利不得高于进价的， ， 解得：， 的取值范围为， ， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y取得最大值， 售价提高28元时，月销售利润达到最大． 五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． （1）在图中，______；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； 如图，在线段上找一点，使； 如图，在线段上找一点，使． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由，得，然后通过相似三角形性质即可求解； （）通过相似三角形判定与性质即可求解； 作点的对称点，连接，交于点，通过相似三角形判定即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 如图所示，连接，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点即为所要找的点； 如图所示，作点的对称点， 连接，交于点， ∵， ∴， ∴点即为所要找的点． 20. 如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． （1）求与之间的函数表达式； （2）求第50天的日销售量； （3）宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 【答案】（1） （2）72件 （3）宣传小组能拿到合同约定的提成 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用． （1）当时，设，当时，设（k为常数，且），再利用待定系数法求解即可． （2）把代入，再计算即可． （3）把代入，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 函数图象经过点， ， 即； ， 当时，设（k为常数，且），将坐标代入， 得， 解得， ， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，（件）； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 解得， 对于，当时，， 解得：（天）， ∴， ， ∴宣传小组能拿到合同约定的提成． 六．解答题（本题满分12分） 21. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最低处时（绳子最低点刚好与地面接触），其形状可视为一条抛物线．根据以下素材，探索完成任务． 如何跳绳？ 素材1 如图①是小新与小宇将绳子甩到最低处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小新拿绳子的手的坐标是，绳子甩到最低点时坐标是 素材2 跳绳比赛形式为： 多人逐个跳（如图②） 问题解决 任务1 求图①中抛物线的函数表达式 任务2 小龙跑到绳子下方距小新处，为确保小龙能跳过绳子，请求出他至少跳得高于地面的高度 任务3 多人逐个跳时，最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为，为确保他能跳过绳子，请求出的取值范围 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可得到答案． 【详解】解：任务1：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴图①中抛物线的函数表达式为； 任务2：当时，， 即为确保小龙能跳过绳子，他至少跳得高于地面的高度为； 任务3：令，， 解得， 抛物线上两点的坐标分别为， ∵最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为， ∴为确保他能跳过绳子，的取值范围为． 22. （1）问题发现：如图和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 线段之间的数量关系为 ___________ ； 的度数为 ___________ ． （2）拓展探究：如图和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，连接，求的值及的度数． （3）解决问题：如图，在和中，与相交于点，点在上，，求的值． 【答案】（1）① ，② ；（2），；（3）3 【解析】 【分析】（1）①先判断出，进而判断出≌，即可得出结论； 由知，≌，得出，进而求出，即可求出答案； （2）利用两边成比例且夹角相等证明∽，得，从而得出结论； （3）根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质得到，求得，进而判断出∽即可求出答案． 【详解】解：（1）和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 由知，， 点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：； （2）结论：． 理由：和均为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ； （3）， ∽， ， ， ， ∽； ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，掌握两三角形相似的判定是解本题的关键． 八．解答题（本题满分14分） 23. 定义：对于一个函数，当自变量，对应函数值时，则实数叫做这个函数的一个降一点值．例如：求正比例函数的降一点值． 解：当时，， 解得： 正比例函数的降一点值为； 根据定义完成下列问题： 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与y轴交于点A． （1）若，该二次函数有和1两个降一点值，且抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C左边）． ①求该二次函数的表达式； ②过线段上一点D作轴于E，的延长线交抛物线于F，若，求的值． （2）已知点P在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与x轴，y轴所围成的三角形面积为，，且，求的最小值． 【答案】（1）①；②1或 （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义问题、二次函数，熟练掌握二次函数的表达式和性质是解题的关键． （1）①当时，该二次函数的表达式为，根据二次函数有和1两个降一点值，列出方程组，得出、的值即可； ②由①可知，抛物线的表达式为，则点的坐标为，，直线的表达式为，假设，则，根据，解出或，分情况讨论，当时或当时，计算的值即可； （2）假设直线的表达式为，该抛物线的顶点为，根据直线经过该抛物线的顶点，得出，令，解得，根据三角形面积公式得到，分析发现当时，取得最大值，进而得到取最小值． 【小问1详解】 解：①当时，该二次函数的表达式为 二次函数有和1两个降一点值 解得、 因此该二次函数的表达式为 答：该二次函数的表达式为； ②抛物线的表达式为 点的坐标为， 可得直线的表达式为 设，则 解得或 当时，， ； 当时，， 的值为1或； 【小问2详解】 解：由题意，设直线的表达式为 该抛物线的顶点为 直线经过该抛物线的顶点 解得 直线AP的表达式为 令，解得 又 的对称轴为直线，开口向上 离对称轴越远，的值越大 当时，取得最大值 此时取最小值，最小值为． 答：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙城县2025-2026学年度第一学期第二次质量检测试卷 九年级数学试题 （分值：150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各组图中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A. y的最大值为1 B. 开口向上 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. 图象的对称轴是y轴 5. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（ ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为______秒． 12. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___． 14. 在平面直角坐标系中，若点，，在抛物线上，且位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时，与满足的等量关系为__________； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，则的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 16. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，则 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点为，求该“完美函数”的表达式． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中的平分线为，交于点E，若，，求的值； 18. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现一款进价为80元的新款头盔，售价为100元时，销量为160件，售价每增加10元，销量减少20件，设每月的销售利润y（元），售价提高x（元）． （1）求销售利润y关于x的函数解析式； （2）若获利不得高于进价的，那么售价提高多少元时，月销售利润达到最大？ 五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． （1）在图中，______；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； 如图，在线段上找一点，使； 如图，在线段上找一点，使． 20. 如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． （1）求与之间的函数表达式； （2）求第50天的日销售量； （3）宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 六．解答题（本题满分12分） 21. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最低处时（绳子最低点刚好与地面接触），其形状可视为一条抛物线．根据以下素材，探索完成任务． 如何跳绳？ 素材1 如图①是小新与小宇将绳子甩到最低处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小新拿绳子的手的坐标是，绳子甩到最低点时坐标是 素材2 跳绳比赛形式为： 多人逐个跳（如图②） 问题解决 任务1 求图①中抛物线的函数表达式 任务2 小龙跑到绳子下方距小新处，为确保小龙能跳过绳子，请求出他至少跳得高于地面的高度 任务3 多人逐个跳时，最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为，为确保他能跳过绳子，请求出的取值范围 22. （1）问题发现：如图和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 线段之间的数量关系为 ___________ ； 的度数为 ___________ ． （2）拓展探究：如图和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，连接，求的值及的度数． （3）解决问题：如图，在和中，与相交于点，点在上，，求的值． 八．解答题（本题满分14分） 23. 定义：对于一个函数，当自变量，对应函数值时，则实数叫做这个函数的一个降一点值．例如：求正比例函数的降一点值． 解：当时，， 解得： 正比例函数的降一点值为； 根据定义完成下列问题： 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与y轴交于点A． （1）若，该二次函数有和1两个降一点值，且抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C左边）． ①求该二次函数的表达式； ②过线段上一点D作轴于E，的延长线交抛物线于F，若，求的值． （2）已知点P在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与x轴，y轴所围成的三角形面积为，，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $