4.3.3 等比数列的前n项和（第2课时）（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和的性质及实际应用，通过退耕还林、分期付款等现实问题导入，衔接前n项和公式基础，构建“公式应用—性质探究—实际建模”的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于融合实际问题与数学文化，如“两鼠穿墙”“垛积术”等古代名题，培养用数学眼光观察现实世界的能力。题型探究注重逻辑推理，如片段和、奇偶项和性质推导发展数学思维，练习多样化助力掌握建模方法。教师可直接用案例提升效率，学生能增强应用意识。

4.3 等比数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 4.3.3 等比数列的前n项和（第2课时） 第四章 数列 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 能够运用等比数列的知识解决有关实际问题. 熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题. 能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 典例分析 方法技巧 解题的关键： (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将 6370 万亩耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为 515 万亩，以后每年退耕土地面积比上一年递增 12%，那么经过 6 年该地区退耕还林的面积共有多少万亩 (精确到1万亩)? 例 1 解：根据题意，每年退耕还林的面积比 上一年增长的百分比相同，所以从今年 起，每年退耕还林的面积（单位：万亩） 组成一个等比数列， 其中，，, 则（万亩）． 教材P151 例题 例1中，该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题? 思考 解：设从今年(第1年)起,经过n年该地区基本解决退耕还林问题. 由=6370， 解得n≈8. 因此,该地区大约经过8年才能基本解决退耕还林问题. 典例分析 例 2 某人今年初向银行申请贷款 20 万元，月利率为 3.375%，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷. 如果10年还清，那么每月应还贷多少元? 分析 对于分期付款，银行有如下规定： (1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款； (2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.为解决上述问题，我们先考察一般情形. 教材P152 例题 设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，每期期末所付款是x元，期利率为 r，则分期付款方式可表示为 典例分析 例 2 某人今年初向银行申请贷款 20 万元，月利率为 3.375%，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷. 如果10年还清，那么每月应还贷多少元? 教材P152 例题 从而有． 运用等比数列求和公式，,化简得． 这就是分期付款的数学模型． 设每月应还贷x元，共付款次，则有 ， 化简得（元）, 答：每月应还贷元. 使用 Excel 中的财务函数，可以方便地求出每期的付款额. 例 2 某人今年初向银行申请贷款 20 万元，月利率为 3.375%，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷. 如果10年还清，那么每月应还贷多少元? 典例分析 教材P152 例题 1．某市近8年的生产总值第一年为1000亿元，从第二年开始以10％的速度增长，那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元（精确到0.01亿元）？ 解某市近8年的生产总值第一年为1000亿元，从第二年开始以的速度增长， 每年的生产总值构成一个以首项，公比为的等比数列， 这个城市近8年的生产总值一共是： （亿元）． 教材P153 练习 2.回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题:远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯? 解：设第 层塔的红灯盏数为，由题意知，为公比为的等比数列， 且，则，即，解得， 则.从而可知塔顶有3盏灯. 教材P153 练习 3.一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半.当它第5次着地时，共经过的路程是多少？ 解：依题意，5次落地的路程分别为：32，，，，； 第2项至第5项是首项为32，公比为的等比数列， ∴总路程=32+（m）. 故答案为：92m. 教材P153 练习 4.顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？ 解：设每月应付款元， 那么至最后1次付款时(即商品购买12个月后)付款金额的本利和为: （元）， 另外,5000元商品在购买后12个月后的本利和为（元）， 根据题意,，即x=（元）. 教材P153 练习 等比数列前n项和的性质 题型一 题型探究 1.已知等比数列的公比为，前项和为.若 ，，则 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.7 解析 解法一：设等比数列的公比为,则，则 ， ， 所以，解得 . 解法二：设等比数列的公比为,则 . 根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为 ，所以 ，即，解得 .故选C. 2.［江苏连云港高级中学2025月考］设是等比数列的前项和，若, ， 则 ( ) D A.2 B. C. D.5 等比数列前n项和的性质 题型一 题型探究 解析 由题意得， ， 因为,,,成等比数列，故 ， 所以，解得，则 ， 所以,解得 .故 .故选D. 13 3.等比数列 的前 项和为 , , ,则 为( ) A A.28 B.32 C.21 D.28或 [解] 因为 为等比数列,易知公比 ,所以 , , 也为等比数 列,即7, , 成等比数列,所以 ,解得 或 . 因为 ,所以 .故选A. 等比数列前n项和的性质 题型一 题型探究 14 4.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的 公比为___. 2 等比数列前n项和的性质 题型一 题型探究 解析 设该等比数列为,其项数为，公比为 ,由题意易知 ， 设奇数项之和为,偶数项之和为 ，易知奇数项组成的数列是首项为，公比为 的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为 的等比数列， 则， ，所以 , 所以这个数列的公比为2. 等比数列的前项和 的性质 （1），，仍构成等比数列（注意： . （2）为数列 的公比）. （3）若是项数为偶数,公比为的等比数列，则 . 归纳总结 15 5.已知等比数列 的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求 此数列的公比和项数. 解 设等比数列 的公比为 ,项数为 . 由已知得 , ,有 ,得 ,所以 , ,所以 . 故此数列的公比为2,项数为8. 等比数列前n项和的性质 题型一 题型探究 16 等比数列在实际问题中的应用 题型二 题型探究 6.［江苏南航附高2025高二期中］《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今 有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢， 各穿几何？”题意是“今有一堵墙厚5尺,有两只老鼠同时从墙的两侧打洞穿墙，大老鼠第一天进 一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”.如果墙厚20尺，则这两只老鼠 相逢所需天数至少为（注：尺是我国古代度量长度的单位）( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 解析 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距 离成首项为1，公比为的等比数列, 两只老鼠打洞的距离之和 . 函数是增函数，， . 这两只老鼠相逢所需天数至少为5.故选B. 7.已知一小球从地面竖直向上射出到 高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的 处， 则该小球第6次落地时，经过的路程为( ) D A. B. C. D. 等比数列在实际问题中的应用 题型二 题型探究 解析 设小球从地面竖直向上射出到第一次落地时经过的路程为，第次落地到第 次落地 经过的路程为，由题知，，数列 从第二项起构成以首项为 ，公比为 的等比数列，则所求路程为 ，故选D. 18 8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数 学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部 分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后 一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 .若这堆货物总 价是万元，则 的值为( ) B A.7 B.8 C.9 D.10 等比数列在实际问题中的应用 题型二 题型探究 解析 由题意，设这堆货物的总价为，则 , 则 ， 两式相减可得 ， 所以 .当时， .故选B. 19 9.已知点 ， ， ，连接 的各边中点得到 ，连接 的各边中点得到 ，依此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数( ) C A. B.5 C.10 D.15 等比数列在实际问题中的应用 题型二 题型探究 [解] 由题意可知， .因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， ， ， 这一系列三角形的 面积构成了首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， 可知该式无限趋近于10.故选C. 20 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质. (2)等比数列中的片段和性质. (3)等比数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论. 3.常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件. 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $