四川省资阳市安岳中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（重点班）

安岳中学高2024级第三学期入学考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知向量，，且，则值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 5. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. D. 是偶函数 7. 庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍甍的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则曲线与所有交点横坐标之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则（ ） A. 这组数据的众数为2 B. 这组数据的平均数为3 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的60%分位数为3 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若直线平面，直线，则 B. 两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C. 若平面平面，直线平面，直线平面，则 D. 若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 11. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在无数个点P，使得平面 B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为36π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 13. 定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）．已知点，则_________． 14. 已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为深化共享单车监管工作，某市交通管理部门随机选取100名市民开展共享单车使用满意度问卷调查．按照百分制评分标准，将这100份问卷的结果分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]6组，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）估计本次问卷调查评分的众数和中位数； （2）估计本次问卷调查评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 16. 已知向量，若，与的夹角为． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 17. 已知分别为三个内角对边，且． （1）求； （2）若是边的中点，，求面积的最大值． 18. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．若，且，求的值； 19. 如图，在三棱柱中，，中点，侧面为矩形． （1）求证：； （2）若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角； （3）令，若，求二面角的正弦值的取值范围． 参考答案 1. 【答案】A 【详解】已知向量，，且，则，解得. 故选：A. 2.【答案】B 【详解】由题设，对应点为在第二象限. 故选：B 3. 【答案】C 【详解】解：连接， 因为,∥， 所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以为异面直线与所成的角， 在正方体中，， 所以三角形为等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为， 故选：C 4. 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为， 因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以， 即 ， 解得 或 （舍去） 故选：A 5. 【答案】B 【详解】. 故选：B 6. 【答案】C 【详解】观察图象知，最大值是2，而，解得， 函数周期，A选项错误； 由选项A可得，则，所以， 因为，所以，所以，B选项错误； 因为，C选项正确； 因为 所以，所以不是偶函数，D选项错误. 故选：C 7. 【答案】C 【详解】如图， 已知，，， 过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ， 因为，，平面，所以平面，平面，所以， 因四条斜脊长度相等，则，， 又斜脊与底面所成角均为，则，即该五面体的高度为10m． 所以其体积． 故选：C 8. 【答案】D 【详解】曲线与的交点， 如图函数有7个交点， 因为与， 所以曲线与都关于对称， 所以所有交点的横坐标之和为. 故选：D. 9. 【答案】ACD 【详解】将样本数据从小到大排列得，众数为2，平均数为， 极差为，由，则这组数据的60%分位数是第4个数，为3. 故选：ACD 10. 【答案】BC 【详解】对于A，若直线平面，直线，则或，A选项错误； 对于B，如图，平面且为两条异面直线， 分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面， 故B选项正确； 对于C，若平面平面，设，直线平面，直线平面， 所以所成角为所成面面角，则，C选项正确； 对于D，若直线平面，直线平面，，直线平面，直线平面，则可以是相交平面，D选项错误； 故选：BC. 11. 【答案】ACD 【详解】对于A：因为是的中点，是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 取中点，因为是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 所以在线段上时，平面， 平面，故A正确； 对于B：因为，分别是，的中点，所以， 在正方体中，，所以， 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误； 对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确； 故选：ACD. 12. 【答案】20 【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿． 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人， 若总样本量为100人，则应从小区抽取人． 故答案为：. 13. 【答案】5 【详解】因为点，所以，， 所以 则． 故答案为：5. 14.【答案】 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，，又， 由正弦定理可得， 该三棱锥的外接球直径为，则. 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 15. 【答案】（1）75，75 （2）74 【解析】 （1）众数为． ∵，解得． 设中位数为，则前3组频率之和为， 又前4组频率之和为， ∴中位数在第4组，由，可得，故中位数为75； （2）平均数为． 16. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 17. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 18. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 （1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． 19. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 （1）取中点，连接、、， 由题知，，则，又，则， ∵平面，∴平面． ∵平面．∴． （2）∵，为中点，∴， ∵，∴点到三顶点距离相等，∴点在底面射影为的外心． ∵为直角三角形，为斜边中点， ∴平面，∴即为侧棱与底面所成角， 又∵，∴ 由， ∴，又∵，∴． ∴侧棱与底面所成角为． （3）由（1）知平面．平面， ∴平面平面． ∵平面平面， 过作于，则平面，平面， 过作于，连接， 则即为二面角的平面角． ∵， ∴，，中，，得． ∴． ∵，∴，∴． ∴二面角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $