期中综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

期中综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 敦 A B 2.若二次函数y=x十bx十4配方后为y=(x一2)2+，则b,k的值分别为 弥 A.0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,0 3.下列方程有两个相等的实数根的是 的 A.x2+x+1=0 B.4x2+2x+1=0 C.x2+12x+36=0 D.x2+x-2=0 4.已知二次函数y=ax2+bx十c,自变量x与函数y的部分对应值如表， 4 0 下列说法正确的是 ( 封 A.抛物线的开口向下 B.当x>一3时，y随x的增大而增大 C.二次函数的最小值是一2 D范物线的对称箱是直线。=一号 5.如图，在平面直角坐标系中，点A(一1，m)在直线y=2x+3上，连接OA,将线段OA绕点 划 O顺时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y=一x十b上，则b的值为 ( ) A.-2 B.1 C. 2 D.2 线 (第5题图) (第6题图) 6.如图是二次函数y=a.x2十bx十c图象的一部分，其对称轴为直线x=一1，且过点（一3， 0).下列说法：①ac<0,②2a-b=0:③3a十c=0:④若(-5，n),(号y)是抛物线上两 点，则y1>y2.其中正确的是 A.①② B.②③ C.①②③④ D.②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.已知关于x的方程x2一3x十a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 第1页（共6页） 8.在平面直角坐标系中，点A(a,2)与点B(5,b)关于原点对称，则ab= 9.将抛物线y=(x一1)一5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 10.“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”.某学校 坚持开展阅读活动，学生人均阅读量从2021年的100万字，增加到2023年的121万 字，则该校人均阅读量年均增长率为 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√2.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到 △AB'C的位置，连接CB,则CB= ■ (第11题图) (第12题图) 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E为BC的中点，点F在AB上，AF=1,将 EF绕点E顺时针旋转a角(0°<a<180°)，当点F落在矩形上时，得到F,则此时AF 长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解下列方程： (1)x2+2x-10=0; (2)(x-3)(x+4)=18. 名师测 14.已知关于x的方程x2-2ax十a=0有两个相等的实数根，请化简代数式(a与 。)产。子并求出该代数式的值， 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到 △AED,AE交BC于点F.若AD=3. (1)求AF的长； 第2页（共6页） (2)求△ABF的面积 16.已知正方形ABCD,点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图 痕迹) (1)在图①中，画出正方形ABCD的中心O;将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°； (2)在图②中，将直线AC绕正方形ABCD的中心顺时针旋转45°. 图① 图② 17.如图①，某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000m,施工队在绿化了22000m 后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程， (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长20m,宽8的矩形空地，计划在其中修建两块相同的 矩形绿地，它们的面积之和为56m,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通 道（如图②），问人行通道的宽度是多少米？ -20m 图① 图② 第3页（共6页） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部 分，两边足够长)，用40m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两 边)，设AB=xm. (1)若矩形花园的面积为300m,求x的值； (2)能围成面积为500m的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由. 19.已知关于x的一元二次方程x2一6x十2m一1=0有x1,x2两个实数根. (1)求m的取值范围； 名师测控 (2)若(a-1Dx-1)-5求m的值 20.根据题意，寻找规律，解答问题： (1)如图①，在△ABC中，AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到 △A'B'C,连接AB,并且AB=3,求∠BA'C的大小； (2)如图②，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A,B,C的距离分别为23，√2， 4,求∠BPC的大小. 图① 图② 第4页（共6页） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.随着科技的发展，扫地机器人（图①）已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地 机器人，统计该产品2023年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变 化而变化.设该产品2023年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(元)，y与x的 函数关系如图②所示（图中ABC为一折线）， (1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的一次函数关系式： (2)设该产品2023年第x个月的销售数量为m(台)，m与x的关系可以用m=100x十 1000来描述，求哪个月的销售收入最多.（销售收入=每台的销售价格×销售数量） y/元 2850 1500 O124681012x/月 图① 图② 名师测控 22.【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形ABCD 内一点，PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思 考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BPA,连接PP,求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CPB,连接PP,求出∠APB的度数， 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 第5页（共6页） 【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=√II,求 ∠APB的度数. 图① 图② 六、解答题（本大题共12分） 23.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点，且点B的坐标 为(-1,0) (1)求二次函数的解析式： (2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N在点M的左侧，过点 M,N分别作x轴的垂线交x轴于G,H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩 形周长的最大值； (3)当矩形MNHG的周长最大时，可在二次函数图象上找到一点P,使△PVC的面 积是矩形MNHG面积的。·请直接写出所有点P的横坐标。 H0 备用图 第6页（共6页）与点P'之间的距离为6：(2)在△APP'中，AP=8,AP'= √BC-AB=√(5)2-12=2.∴.OA=OC=1=AB. 10,PP=6,∴PP2+AP2=AP2,.△APP为直角三角 .∠AOB=∠ABD=45°.又：EF⊥BD,.∠AOF=90 形，且∠APP'=90°.由(1)知，△BPP为等边三角形， 一-45°=45°.此时AC绕，点O顺时针旋转的度数是45. .∠BPP=60°，∴.∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+ 23.解：(1)DO⊥EO,DO=EO;(2)仍然成立.证明：如答图 60°=150°.17.解：(1)如图①，点F即为所求；(2)如图 ①，延长EO到点M,使得OM=OE,连接AM,DM,DE, ②，△DCF即为所求， .O是AB的中点，.OA=OB.∠AOM=∠BOE, ∴.△AOM≌△BOE(SAS).∴.∠MAO=∠EBO,MA= EB.·'△ADC和△BEC是等腰三角形，∠ADC=∠CEB =90°，∴.∠CAD=∠ACD=∠EBC=∠BCE=45 :∠OBE=180°-∠EBC=135°，∴.∠MAO=135. 图① 图② ∴.∠MAD=∠MAO-∠DAC=90.,'∠DCE=∠DCA 18.解：(1)如图，△ECD即为所求作的三角形： +∠BCE=90°，∴.∠MAD=∠DCE.MA=EB,EB= (2)由(1)可知，△ABD≌△ECD,.AD= EC,∴.MA=EC.,AD=DC,.△MAD≌△ECD(SAS) ∴.MD=ED,∠ADM=∠CDE.·∠CDE+∠ADE=90°， ∴.∠ADM+∠ADE=90..∠MDE=90°.，MO=EO, MD=DE,∴.OD=号ME,OD⊥ME.:OE=号ME, ∴.OD=OE,OD⊥OE:(3)线段OD的长为2或2√7.[提 ED,AB=EC=10,∴.AE=2AD.在△ACE中，AC-CE<示：①当点B在AC左侧时，如答图②，延长EO到点M, AE<AC+CE.∴.12-10<2AD12+10..1<AD11. 使得OM=OE,连接AM,DM,DE,过点E作EH⊥DC交 19.解：(1)4(2)过点D作DE⊥BC于点E.:将AC绕 DC的延长线于点H,OD=2√7：②点B在AC右侧时，如 点A逆时针旋转60得到AD,.AC=AD=4,∠A=60°. 答图③，延长EO到点M,使OM=OE,连接AM,DM, .△ACD是等边三角形，∴.∠ACD=60°.又AC⊥BC, DE.过点E作EH⊥CD于点H,OD=2.] ∴.∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°.在 R△CDE中，DE=号DC=2,∴.CE=CD-DE= √/4-2=25.∴BE=BC-CE=35-23=√5..在 Rt△BDE中，BD=√DE+BE=√22+(W3)2=√7. 20.解：(1)等腰直角三角形(2)由BE=4,易得EE= 42.又EC=AE=2,CE=6,∴.EE+EC=EC, 答图① 答图② 答图③ ∴△EE'C为直角三角形，且∠EE'C=90°.又：△BEE是 期中综合评价 等腰直角三角形，.∠BEE=45°，∴.∠BEC=∠BEE+ 1.D2.D3.C4.D5.D6.C7.28.109.(2, ∠EEC=45°+90°=135°.2L.解：(1)连接A'E,AC.由 -5)10.10%11.√3-112.1或7或√6513.解： 旋转的性质，可得AC=A'C',BC=BC,∴.∠CCB= (1)移项，得x2+2x=10.配方，得x2+2x+1=10+1,即 ∠CCB.:∠ACB=∠A'C'B=90°，∠ECC=180°， (x+1)2=11.由此可得x+1=士√.∴.=-1+ ∴·∠ACC=∠ACB-∠CCB=90°-∠CCB,∠ECA'= √征，2=一1一√/T;(2)整理，得x2+x-30=0.因式分 ∠ECC-∠A'C'B-∠CC'B=180°-90°-∠CCB=90 解，得(x+6)(x-5)=0.x+6=0或x-5=0..x= -∠CCB,∠ACC=∠ECA'.AE∥CA', -6,2=5.14.解：关于x的方程x2一2ax+a=0有 .∠ECA'=∠AED,.∠ACC=∠AED,.AC=AE, 两个相等的实数根，∴.△=0，即（一2a)2一4a=0.∴.a=0 AE=A'C.又AE∥CA',∴四边形ACA'E是平行 或a=1原武=a+a-万生-a+1a 2 四边形，∴.ED=CD;(2)存在，此时旋转角a的度数为 60°或240°.22.解：(1)当旋转角为90°时，∠AOF= -1)≠0，a≠-1，a≠1.a=0.原武=0=-1 ∠BAO=90°，.EF∥AB.又，四边形ABCD是平行四边 形，∴.AF∥BE.∴四边形ABEF是平行四边形；(2)可能 15.解：(1)：将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到 是菱形.当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形.理由：连接 △AED,∴.AC=AD=3,∠BAF=30°.，∠C=90°，∠B= BF,DE.易证△AOF≌△COE,.OE=OF.又OB= 30°，∴.∠BAC=60°，∴.∠CAF=∠BAC-∠BAF=30°， OD,∴四边形BEDF是平行四边形.EF⊥BD,四边 CF-AF.AF-CE+AC-(AF)+AC, 形BEDF是菱形..AB⊥AC,∴.∠BAC=90.在 R△ABC中，AB=1,BC=5,由勾股定理，得AC=· AF=号AC,AF=2AC=2(2:∠BAF= 第30页（共42页） ∠B=0,BF=AF=2E.Sam=BF·AC=号 1500000=3300000;.3375000>3300000,.第5个 月的销售收入最多，最多为3375000元.22.解：【问题 ×2√3X3=3√3.16.解：(1)如图①，点O,线段CE即 解决】选择思路一：图①中，将△BPC绕点B逆时针旋转 为所求：(2)如图②，直线1即为所求 90°，得到△BP'A,连接PP.∠PBP=90°，BP=BP= 2,AP=CP=3.在Rt△PBP'中，BP=BP=2, ∴∠BPP=45.根据勾股定理，得PP=√2BP=2√2. AP=1,.AP+PP2=1+8=9.AP2=32=9, ∴.AP2+PP2=AP..△APP是直角三角形，且 图① 图② ∠APP'=90°..∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45 17.解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成xm.根据题 =135°：【类比探究】图②中，将△BPC绕点B逆时针旋转 意，得46000二200-46000-200=4.解得x 90°，得到△BPA,连接PP'.·∠PBP'=90,BP=BP= 1.5x 1,AP'=CP=√I..∠BPP'=45°，PP=2BP=2 2000.经检验，x=2000是原分式方程的解，且符合题意. 答：该绿化工程原计划每天完成2000m;(2)设人行通道 AP=3,∴.AP+PP2=9+2=11.,AP2=(√I)2= 的宽度为am.根据题意，得(20-3a)(8-2a)=56.解得 11,AP+PP2=AP2..△APP是直角三角形，且 ∠APP'=90°..∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45 山=2，心=空（不合题意，合去），答：人行通道的宽度是2m =45°.23.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x一1) 18.解：(1)：AB=xm,.AD=(40-x)m.根据题意，得 +4.把B(-1,0)代入上式，得0=4a+4.解得a=-1. x(40-x)=300,即x2-40x+300=0,解得x1=10,x2= .二次函数的解析式为y=一x2+2x+3;(2)设M(x, 30,即x的值为10或30；(2)不能围成面积为500m2的矩 一x2+2x+3),则N(2-x,-x2+2x十3).∴.MN=x一(2 形花园.理由如下：根据题意，得x(40一x)=500,即x2一 一x)=2x-2,MG=-x2+2x+3..矩形MNHG的周长 40x+500=0,△=(-40)2-4×1×500=-400<0，∴.该 为2MN+2MG=2(2x-2)+2(-x2+2.x+3)=-2x2+ 方程无实数根，∴.不能围成面积为500m2的矩形花园. 8x十2=一2(x2)2+10.,一2<0，，.当x=2时，矩形 19.解：(1)，一元二次方程x2-6.x+2m一1=0有x1,2 MNHG的周长有最大值，最大值为10：(3)点P的横坐标 两个实数根，∴.△=62-4(2m-1)≥0，解得m≤5：(2)易 得x1十x2=6,xmx2=21-1.(x1-1)(x2-1)=x1x2- 为号或3+9或3-3互 2 2 +)+1=m55∴2m-1-6+1=6 -5,解得m1= 第二十四章综合评价 1.D2.C3.B4.C5.B6.C7.108.69°9.2x 2,=6..m≤5，.m=2.经检验m=2是原方程的解. 10.180°11.1812.(2+√/2)cm或2cm或(2-√2)cm ∴.m的值为2.20.解：(1)连接AA,由题意，得AC= 13.解：，∠BOC=2∠BAC,∠BOC=50°，∴.∠BAC= A'C=2,A'B'=AB=1,∠ACA'=90°，.∠AA'C=45°， 25°.：AC∥OB,.∠BAC=∠B=25.OA=OB, AA'2=22+22=8.AB2=32=9,A'B2=12=1, ∴∠OAB=∠B=25.14.证明：(1)AB=CD,.AB ∴.AB2=AA2+A'B2,.∠AA'B'=90°，.∠BA'C= =D,即AD+AC=C+AC..AD=C:(2)由(1)知 ∠AA'B'+∠AA'C=90°+45°=135°；(2)将△ABP绕点 AD=C,∴.AD=BC.AC=AC,D=BD,∴.∠ADE= B顺时针旋转90°得到△CBE,连接PE.∴.AP=CE= ∠CBE,∠DAE=∠BCE,∴.△ADE≌△CBE(ASA). 23,PB=BE=√2，∠PBE=90,∴.∠BPE=∠BEP= ∴AE=CE.15.解：连接AO.OCLAB,AD=7AB 45°，PE=2.PC=16,PE+CE=22+(2√5)2=16， ∴.PC=PE+CE,.∠PEC=90.PC=4=2PE, =号×12=6(cm.设⊙0的半径为Rcm:CD=3cm, .∠PCE=30°，∴.∠CPE=60°，.∠BPC=∠BPE+ ∴.OD=OC-CD=(R-3)cm.在Rt△AOD中，由勾股定 ∠CPE=45°+60°=105°.21.解：(1)当1≤x≤10时，设 理，得AD+OD=OA,即6+(R-3)=R,解得R= 每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k 15 ≠0).：图象过A(1,2850),B(10,1500)两点，. 5.∴⊙0的半径长为号cm16.解：(1)如图①，圆心 2 十b=2850,解得/k=一150， .当1≤x≤10时，每 O即为所求；(2)如图②，AP即为所求 10k+b=1500. 1b=3000, 台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=一150x+ 3000:(2)设销售收入为元.①当110时，=（一150x +3000)(100x+1000)=-15000(x-5)2+3375000..-15 <0,.当x=5时，最大=3375000：②当10<x≤12时， 图① 图② =1500(100x+1000)=150000x+1500000,∴.随x17.解：(1)连接AD.AB为⊙O的直径，∴.∠ADB= 的增大而增大，∴.当x=12时，最大=150000×12+90°，∴.AD⊥BC.AB=AC,.AD平分∠BAC, 第31页（共42页）