第23章 旋转综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

第二十三章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 临电， 1.江西景德镇的青花瓷是中华陶瓷工艺的珍品，下列青花瓷上的青花图案既是轴对称图 形又是中心对称图形的是 A B C D 2.如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C重合，则∠AB1B的大小 弥 为 A.50° B.55° C.60° D.65° 3 B CM B M B 封 (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) (第6题图) 3.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是 ( A.(1,1) B.(2,0) C.(0,1) D.(3,1) 4.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转60°得到△OCD,若OA=4,∠AOB=35°，则下列结 论不一定正确的是 ( A.∠BDO=60 B.∠BOC=25 C.OC=4 D.CD∥OA 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M 是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM.若BC=2,∠BAC=30°，则线段PM长度的 线 最大值是 A.4 B.3 C.2 D.1 6.如图，已知A,B是线段MN上的两点，MN=12,MA=3,MB>3,以点A为旋转中心 顺时针旋转点M,以点B为旋转中心顺时针旋转点V,使M,N两点重合成一点C,构 种 成△ABC,当△ABC为直角三角形时AB的长是 ( 度 A.3 B.5 C.4或5 D.3或5 二 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.如图可以看成是由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的，则每次旋转的 度数是 第1页（共6页） 8.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A,B, C的坐标分别为A(0,3),B(-1,1),C3,1).△A'B'C是△ABC关于x轴的对称图形，将 △A'B'C'绕点B逆时针旋转180°，点A'的对应点为M,则点M的坐标为 B 图① 图② (第8题图) (第9题图) (第10题图) (第11题图) 9.如图，将△ABC绕，点C按顺时针方向旋转至△A'BC,使点A'落在BC的延长线上，已 知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB'的度数为 10.将边长为1的正方形ABCD绕，点C按顺时针方向旋转到四边形ECGF的位置（如图），使得 点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H,则HD的长为 .(结果保留根号) 11.以图①（以，点O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经过如下变化能得到 图②的有 .(填序号) ①只向右平移1个单位长度；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位 长度；③先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位长度；④绕着OB的中点旋转180°. 12.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=24°，将△ABC绕点C逆 B 时针旋转a(0°<a<90)得△DEC.若CD交AB于点F,当a= 时，△ADF为等腰三角形. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2),BA⊥x轴于点A. (1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OAB1,并写出点A1,B的坐标； (2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2,并写出点A2,B2的坐标 :A 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，点A(2,2),B(0,3),C(1,0) (1)将△ABC绕坐标原，点O顺时针旋转90得到△A1B1C,写出点A1,B1,C的坐标， 并在图中作出△ABC; (2)求△A1B1C1的面积. 第2页（共6页） 15.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB上 (1)若BC=6,BD=9,求线段AE的长； (2)连接AD,若∠C=110°，∠BAC=40°，求∠BDA的度数. 16.如图，已知△ABC为等边三角形，P为△ABC内一点，PA=8,PB=6,PC=10.若将 △PBC绕点B逆时针旋转后得到△P'BA, (1)求点P与点P'之间的距离； (2)求∠APB的度数. 名师测控 17.在正方形ABCD中，点E为AB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作 图痕迹，不写作法) (1)在图①中将点E绕点B顺时针旋转90°； (2)在图②中将△ABD绕，点D逆时针旋转90°. 图① 图② 第3页（共6页） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，AD是△ABC的边BC上的中线： (1)作出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形； (2)若AB=10,AC=12,求AD长的取值范围. 19.如图，已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3√3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋 转60°，得到线段AD,连接DC,DB. (1)线段DC的长为 (2)求线段DB的长度. 名师测控 20.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转 90°到△CBE的位置，连接EE. (1)判断△BEE的形状为 (2)若AE=2,BE=4,CE=6,求∠BEC的度数 第4页（共6页） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到 △A'BC',旋转角为a(0°<a<360°)，过点A作AE∥CA'交直线CC于点E,CE交 AA'于点D (1)求证：ED=CD; (2)若∠ABC=60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC=AA'? 如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由. 22.如图，在□ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=√5，对角线AC,BD相交于点O.将直线 AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F (1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可 能，请说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数 第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分） 23.在等腰三角形ADC和等腰三角形BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC<CD,将 △BEC绕点C逆时针旋转，连接AB,点O为线段AB的中点，连接DO,EO, (1)如图①，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量 关系； (2)如图②，当点B旋转到AC边上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过 程；若不成立，请说明理由； (3)若BC=4,CD=2√6，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60时，请 直接写出线段OD的长， 图① 图② 备用图 名师测控 第6页（共6页）=(-x+150)(x-20)=-x2+170x-3000=-(x- 85)2+4225.-1<0,∴.此抛物线的开口向下.，对称 怎m2)+29:-鲁<0∴此抢物线的开口向 31 轴为直线x=85,20≤x≤90，∴.当x=85时，w的值最大， 下.对称轴为直线m=2,∴.当m=2时，PN的长有最大 最大值是4225.答：该产品每千克的售价为85元时，批发 商获得的利润（元）最大，最大利润为4225元.21.解： 值，最大值是22，(3存在A(-3,0.C0,A0 3,CO=4.,M为线段OB上的一个动点，PM⊥x轴，交 (1)由题意，得一多=3，解得6=-6.“函数》的图象经 BC于点Q,.Q(m,-m+4)(0m<4),∴.AC=(-3 过点(a,b),∴a2-6a十a=-6,解得a=2,或a=3.∴y=x2 0)2+(0-4)2=25,AQ=(m+3)2+(-m+4)2=2m2 一6x十2，或y=x2-6x+3;(2),函数1的图象经过点 2m十25，CQ=2+（-m+4-4)2=2m2..△ACQ为等 0,其中≠0.P+br+a=0,心1+2+号=0，即 腰三角形，∴.分以下三种情况讨论：①当AC=AQ时，则 AC=AQ,即25=2m2-2m+25,解得m1=0(与点C重 a()+6+1=0.“}是方程ar2+bc+1=0的 合，舍去)，12=1.此时Q(1,3).②当AC=CQ时，则AC 个实数根函数的图象经过点(，0）：(3)由题 =C0,即25=2，解得m=-5号<0（含去），m 2,n=4a- 意，得a>0,m=4a一En Aa .m+n=0,4- 4 52.此时Q(2,8-)③当AQ-CQ时则AQ +4a-E=0,.(4a-)(a十1)=0.a+1>0,4a- CQ,即2-2m十25=2m2,解得m=25>4(舍去).综 2 62=0,.m=n=0. 2解：(1对于y=一0十40，当 上所述，点Q的坐标为1,3》或(2,8 x=0时，y有最大值为40.∴.小山坡最高点到水平线的距 第二十三章综合评价 离为40m:(2)把(0,50)，(60,60)代入y= 120+bx+ 1.A2.D3.C4.D5.B6.C7.45°8.(-2,1) c=50, 2 9.46° 10.√2-111.②③④12.28或44°13.解： c,得 ×602+606+c=60, 解得 b一了’抛物线 (1)△OAB1如图所示. 由图知，A 120 c=50. C2所对应的函数解析式为y=一 0r+号+80：3)设 运动员运动的水平距离是xm,此时小山坡的高度是y= +40,运动员运动的水平高度是)=一0+号 (0,一4)，B1(2,一4)；(2)△OA2B2如图所示.由图知，A2 +0,-02+号x+50=一r2+0+10,解得x (-4,0),B2(-4,-2).14.解：(1)点A1(2,-2),B1(3, -320 0),C(0,一1).如图，△ABC即为所求： ,或x=0(不符合题意，舍去).答：运动员运动的水 (2)△ABC的面积为2X3-合×1 平距离为学 m时，运动员与小山坡C的竖直距离为 10m.23.解：(1)把A(-3,0),B(4,0)代入y=ax2+bx = 9a-3b+4=0, 37 +4,得 解得 抛物线的函数 16a+4b+4=0, )= X3-7×2X1-7×1×2=6-号-1-1=号 解析式为y=一子r+子x十4：(2)对于y= 1 12+ 3 15.解：(1)：将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE, 3x十4，当x=0时，y=4,C(0,4).再根据B(4,0)易得 ..BC=BE=6,BD=AB=9,..AE=AB-BE=9-6= 3;(2),∠C=110°，∠BAC=40°，.∠ABC=180° 直线BC的函数解析式为y=一x+4.,M(m,0), ∠BAC-∠C=30°..将△ABC绕点B逆时针旋转得到 P(m,-3m+号m+4,Q(m,-m+4.∴PQ=r △DBE,∴.AB=BD,∠ABC=∠DBA=30°，·∠BDA= 0-(-子m+号m+4)-(-m+4)=- ∠BAD=号×(180-30)=75.16解：1D连接PP 由旋转的性质，得AP'=PC=10,BP=BP=6,∠PBC= 3m.OB=OC=4,∠ABC=∠OCB=45.∴∠PQN ∠PBA.:△ABC为等边三角形，.∠ABC=∠PBC+ =∠BQM=45.易得PN-号PQ-号(-号m+专m) ∠ABP=60°，∴.∠PBP'=∠P'BA+∠ABP=60°， ∴.△BPP为等边三角形，.PP'=BP=BP=6,即点P 第29页（共42页） 与点P'之间的距离为6：(2)在△APP'中，AP=8,AP'= √BC-AB=√(5)2-12=2.∴.OA=OC=1=AB. 10,PP=6,∴PP2+AP2=AP2,.△APP为直角三角 .∠AOB=∠ABD=45°.又：EF⊥BD,.∠AOF=90 形，且∠APP'=90°.由(1)知，△BPP为等边三角形， 一-45°=45°.此时AC绕，点O顺时针旋转的度数是45. .∠BPP=60°，∴.∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+ 23.解：(1)DO⊥EO,DO=EO;(2)仍然成立.证明：如答图 60°=150°.17.解：(1)如图①，点F即为所求；(2)如图 ①，延长EO到点M,使得OM=OE,连接AM,DM,DE, ②，△DCF即为所求， .O是AB的中点，.OA=OB.∠AOM=∠BOE, ∴.△AOM≌△BOE(SAS).∴.∠MAO=∠EBO,MA= EB.·'△ADC和△BEC是等腰三角形，∠ADC=∠CEB =90°，∴.∠CAD=∠ACD=∠EBC=∠BCE=45 :∠OBE=180°-∠EBC=135°，∴.∠MAO=135. 图① 图② ∴.∠MAD=∠MAO-∠DAC=90.,'∠DCE=∠DCA 18.解：(1)如图，△ECD即为所求作的三角形： +∠BCE=90°，∴.∠MAD=∠DCE.MA=EB,EB= (2)由(1)可知，△ABD≌△ECD,.AD= EC,∴.MA=EC.,AD=DC,.△MAD≌△ECD(SAS) ∴.MD=ED,∠ADM=∠CDE.·∠CDE+∠ADE=90°， ∴.∠ADM+∠ADE=90..∠MDE=90°.，MO=EO, MD=DE,∴.OD=号ME,OD⊥ME.:OE=号ME, ∴.OD=OE,OD⊥OE:(3)线段OD的长为2或2√7.[提 ED,AB=EC=10,∴.AE=2AD.在△ACE中，AC-CE<示：①当点B在AC左侧时，如答图②，延长EO到点M, AE<AC+CE.∴.12-10<2AD12+10..1<AD11. 使得OM=OE,连接AM,DM,DE,过点E作EH⊥DC交 19.解：(1)4(2)过点D作DE⊥BC于点E.:将AC绕 DC的延长线于点H,OD=2√7：②点B在AC右侧时，如 点A逆时针旋转60得到AD,.AC=AD=4,∠A=60°. 答图③，延长EO到点M,使OM=OE,连接AM,DM, .△ACD是等边三角形，∴.∠ACD=60°.又AC⊥BC, DE.过点E作EH⊥CD于点H,OD=2.] ∴.∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°.在 R△CDE中，DE=号DC=2,∴.CE=CD-DE= √/4-2=25.∴BE=BC-CE=35-23=√5..在 Rt△BDE中，BD=√DE+BE=√22+(W3)2=√7. 20.解：(1)等腰直角三角形(2)由BE=4,易得EE= 42.又EC=AE=2,CE=6,∴.EE+EC=EC, 答图① 答图② 答图③ ∴△EE'C为直角三角形，且∠EE'C=90°.又：△BEE是 期中综合评价 等腰直角三角形，.∠BEE=45°，∴.∠BEC=∠BEE+ 1.D2.D3.C4.D5.D6.C7.28.109.(2, ∠EEC=45°+90°=135°.2L.解：(1)连接A'E,AC.由 -5)10.10%11.√3-112.1或7或√6513.解： 旋转的性质，可得AC=A'C',BC=BC,∴.∠CCB= (1)移项，得x2+2x=10.配方，得x2+2x+1=10+1,即 ∠CCB.:∠ACB=∠A'C'B=90°，∠ECC=180°， (x+1)2=11.由此可得x+1=士√.∴.=-1+ ∴·∠ACC=∠ACB-∠CCB=90°-∠CCB,∠ECA'= √征，2=一1一√/T;(2)整理，得x2+x-30=0.因式分 ∠ECC-∠A'C'B-∠CC'B=180°-90°-∠CCB=90 解，得(x+6)(x-5)=0.x+6=0或x-5=0..x= -∠CCB,∠ACC=∠ECA'.AE∥CA', -6,2=5.14.解：关于x的方程x2一2ax+a=0有 .∠ECA'=∠AED,.∠ACC=∠AED,.AC=AE, 两个相等的实数根，∴.△=0，即（一2a)2一4a=0.∴.a=0 AE=A'C.又AE∥CA',∴四边形ACA'E是平行 或a=1原武=a+a-万生-a+1a 2 四边形，∴.ED=CD;(2)存在，此时旋转角a的度数为 60°或240°.22.解：(1)当旋转角为90°时，∠AOF= -1)≠0，a≠-1，a≠1.a=0.原武=0=-1 ∠BAO=90°，.EF∥AB.又，四边形ABCD是平行四边 形，∴.AF∥BE.∴四边形ABEF是平行四边形；(2)可能 15.解：(1)：将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到 是菱形.当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形.理由：连接 △AED,∴.AC=AD=3,∠BAF=30°.，∠C=90°，∠B= BF,DE.易证△AOF≌△COE,.OE=OF.又OB= 30°，∴.∠BAC=60°，∴.∠CAF=∠BAC-∠BAF=30°， OD,∴四边形BEDF是平行四边形.EF⊥BD,四边 CF-AF.AF-CE+AC-(AF)+AC, 形BEDF是菱形..AB⊥AC,∴.∠BAC=90.在 R△ABC中，AB=1,BC=5,由勾股定理，得AC=· AF=号AC,AF=2AC=2(2:∠BAF= 第30页（共42页）