第22章 二次函数综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

第二十二章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列函数解析式中，y是x的二次函数的是 敦 A.y=ax2+bx+c B.y=-5x+1 D.y=2x2-1 2.已知抛物线y=ax2十bx十c与x轴的交点为A(一2,0)，B(6,0),则该抛物线的对称 轴为 A.直线x=一1 B.直线x=1 C.直线x=2 D.y轴 3.将抛物线y=x2+3x+2向右平移a个单位长度，所得的抛物线正好经过原点，则a的 值为 A.a=1 B.a=2 C.a=-1或a=1D.a=1或a=2 4.一次函数y=ax十c与二次函数y=ax2十bx十c在同一个平面直角坐标系中的大致图 象可能是 x≥a十2， 5.若关于x的不等式组 封 3a一2有解.则函数y(a一3)r-x一的图象与x轴的交 点个数为 A.0 B.1 C.2 D.1或2 6.如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,交过点A且平行于x 轴的直线于另一点B,交x轴于C,D两点（点C在，点D右边），对称 轴为直线x=号，连接AC,AD,BC.若点B关于直线AC的对称点 D O 恰好落在线段OC上，则下列结论错误的是 A.点B的坐标为(5,4) B.AB-AD Ca=- D.OC·OD=16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.将二次函数y=一x-2x十8化成y=a(x一h)2+k的形式为 8.设A(一2，y),B(1,y2),C(2,y)是抛物线y=-(x十1)2十a上的三点，则y12的 大小关系为 部 景 9.已知抛物线y=ax2十bx十c经过A(一3,0)，B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程 a(x一1)2十c=b-bx的解是 10.如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以m 近似地看成抛物线y=一 (红一5P十3，则该喷灌架喷出的 Ax/m 水可到达的最远距离OA为 m. 第1页（共6页） 11.在平面直角坐标系中，已知A(一1，m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点， 将抛物线y=x2十bx十1向上平移n(n是正整数)个单位长度，使平移后的图象与x轴 没有交点，则的最小值为 12.二次函数y=ax2一3ax十3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线 的对称轴上.若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.已知抛物线y=x2一kx一3k与x轴的一个交点为（一2,0）. (1)求k的值； (2)求抛物线与x轴的另一个交点的坐标. 14.如图，抛物线y=ax2+2x十c经过点A(0,3),B(一1,0).请解答下列问题： (1)求抛物线的函数解析式； (2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长. 名师测 15.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表， 3 -2 y… 0-3 -4 (1)求这个二次函数的解析式； (2)当一4<x<0时，求y的取值范围. 第2页（共6页） 16.新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx十c(a≠0，a,b,c为实数)的“图象数”，如：y= 一x2+2x+3的“图象数”为[一1,2,3]. (1)二次函数y=子-x一1的图象数”为 (2)若“图象数”是[m,m十1，m十1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值. 17.某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m时，水面宽8m.一木船宽4m,高2m,载 货后，木船露出水面的部分为m.以拱顶O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐 标系，A,B为抛物线与水面的交点. (1)求抛物线的函数解析式： 名师测控 (2)当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过拱桥？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.已知二次函数y=x2-2ax+4a+2. (1)若该函数的图象与x轴的一个交点为（一1,0），求a的值及该函数的图象与x轴的 另一个交点的坐标： (2)不论α取何实数，该函数的图象总经过一个定点，求出这个定点的坐标，并说明这 个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点. 第3页（共6页） 19.如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点 (1)求抛物线的函数解析式： (2)抛物线的顶点M与对称轴1上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直 线BE交AD于点E.若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标. y 3 2 45 20.一个批发商销售成本为每千克20元的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克的售 价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y(kg)与每千克的售价x(元)满足一次函 数关系，对应关系如下表 每千克的售价x/元 … 50 60 70 80 销售量y/kg 100 90 80 70 (1)求y与x的函数关系式； (2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克多少元？ (3)该产品每千克的售价为多少元时，批发商获得的利润（元）最大？最大利润为多 少元？ 第4页（共6页） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.在平面直角坐标系中，设二次函数=x2+bx十a,y2=a.x2+bx十1(a,b是常数， a≠0) (1)若函数y的图象的对称轴为直线x=3,且经过点(a,b),求函数y的表达式； (2)若函数的图象经过点(r,0),其中r≠0，求证：函数业的图象经过点(，0)： (3)设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n,若m十n=0,求m,n的值， 22.北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际 问题.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台 终点A作水平线的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，图中的抛物线C: y= 4802+40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点0正上方50m处 的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C:y=0十h:十c运动.当运动员运动到离A 处的水平距离为60m时，离水平线的高度为60m. (1)求小山坡最高点到水平线的距离； (2)求抛物线C2所对应的函数解析式； (3)当运动员滑出点A后，运动员运动到离A处的水平距离为多少米时，运动员与小 山坡C1的竖直距离为10m? y/m 水平线O x/m 第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分） 23.如图，抛物线y=ax2十bx+4交x轴于A(一3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC, BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P,交BC于点Q. (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.设点M的坐标为M(m,0),请用含m的代数式 表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN的长有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 名师测控 第6页（共6页）x2-20x+110=0..△=（一20）2一4×1×110=-40： 一4.把点(0，-3)代人y=a(x+1)2-4,得a-4=-3,解 0,∴.方程无实数根，∴.羊圈的总面积不能为440m2. 得a=1.故二次函数的解析式为y=(x+1)2-4=x2+2x 22.解：(1)分以下两种情况讨论：①当AB=AC时，△=子 -3;(2),y=(x+1)2-4,-4<x<0,.当x=-4时，y 一4ac=0,即(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0.此时方程无 =(-4+1)2-4=5.当x=0时，y=(0+1)2-4=-3.又 解，k的值不存在.②当BC为腰时，则一元二次方程有一 当x=-1时，y取得最小值-4，∴.当-4<x<0时，y 根为5.把x=5代入，得25-5(2k+3)十k2+3k+2=0. 的取值范围是-4≤y5. 整理，得2一7k十12=0.解得k1=3,k2=4.当k=3时，一 16解：[-1- 元二次方程为x2-9x十20=0，解得1=4，x2=5, (2)“图象数”是[m,m十1，m十1]的二次函数的解析式为y ∴.△ABC的三边长为4,5,5，..周长为4+5十5=14.当k =m.x2+(m十1)x十m+1.根据题意，得△=b一4ac=(m =4时，一元二次方程为x2-11x十30=0，解得0=5,2 十1)3-4m+1)=0,解得m=-1,m=子 17.解： =6,∴.△ABC的三边长为5,5,6，.周长为5十5+6= (1)由题意，得B(4,一5).设抛物线的函数解析式为y= 16..k为3或4时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周 a.x2.将B(4,-5)代入上式，得-5=aX4.解得a= 长为14或16；(2)：△ABC是以BC为斜边的直角三角 形，BC=5,∴.AB十AC=25.由一元二次方程的根与系 6∴抛物线的函数解析式为y=一亮：(2)当x=2 5 数的关系，得AB+AC=2k+3,AB·AC=k2+3k十2. .AB2+AC=(AB+AC)2-2AB.AC...(2k+3)2- 时y=品×公=-是号+是=2，面1.8<2当 2(k2十3k十2)=25.整理，得k2十3k-10=0.解得k1=2, 水面离拱顶1.8m时，木船不能通过拱桥.18.解：(1)将 k2=-5(不合题意，舍去)..当k为2时，△ABC是以 点(-1,0)代入y=x2-2a.x+4a+2,得0=1+2a+4a+ BC为斜边的直角三角形.23.解：(1)当a=3,b=4,c= 2.解得a=子gy父+x令y=+z=0,解得= 5时，“勾系一元二次方程”为3x十5√2x十4=0：（答案不 0,2=一1.∴.该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标 唯一)(2)根据题意，得△=（√2c)2-4ab=2c2-4ab.'a2 为(0,0)：(2)y=x2-2a.x+4a+2=x2+(4-2x)a+2.令 +6=c2,∴.2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0. 4一2x=0,则x=2,y=6,.这个定点的坐标为(2,6).，y ∴.△≥0.∴.“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0必有实 =x2-2a.x+4a+2=(x-a)2+(-a2+4a+2),∴.顶点坐 数根；(3)把x=一1代入方程，得a一√2c十b=0,即a十b 标为(a,一a2+4a+2).-a2+4a+2=-(a-2)2+6, =2c.2a+2b+√2c=6√2，即2(a+b)+√2c=6√2， .当a=2时，纵坐标有最大值6，此时顶点坐标为(2,6). .3√2c=6√2.∴.c=2.∴.a2+=2=4,a+b=22. .定点(2,6)是所有抛物线顶，点中纵坐标最大的点.19.解： ".(a+b)2=a2+b2+2ab,即8=4+2ab,..ab=2. (1)由题意，设抛物线的函数解析式为y=a(x一1)(x一3).将 C(0,6)代入上式，得a×(0-1)×(0-3)=6.解得a=2. Sa腰=合ab=1 ∴.抛物线的函数解析式为y=2(x-1)(x一3)=2x2一8x 第二十二章综合评价 +6;(2),y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,.J顶点M(2, 1.C2.C3.D4.B5.D6.D7.y=-(x+1)2+9 2).点M与点N关于x轴对称，∴.N(2,2).易求直线 8.y>2>99.x1=-2,x2=510.1111.4 AN的函数解析式为y=2一2.联立=2x一2， 解 1y=2.x2-8x+6, 12.(2,-9)或（受，6）13.解：1)把(-2,0)代人 得/=1，=4， x2一x-3k,得4+2k-3k=0,解得=4：(2)由(1)知抛 1y=0,12=6. D4,6).Sm=号X2X6=6 物线的函数解析式为y=x2一4x一12.令y=0,得x2一4x 设，点E(m,2m一2).直线BE将△ABD的面积分为1： 一12=0，解得x=一2，x2=6..抛物线与x轴的另一个 2两部分，56E=号S%面=子X6=2,或S既=号 交点的坐标为(6,0).14.解：(1)：抛物线y=ax+2x +c经过点A(0,3,B(-1,0),3=C, 解得 5m=号×6=4∴2×2X(2m-2)=2,或号×2X 10=a-2+c. (2m一2)=4，解得m=2,或m=3.∴.点E的坐标为(2,2) a=一1，：抛物线的函数解析式为y=-2+2x+3:(2》 或(3,4).20.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx十 1c=3. b(k≠0).将点(50,100)，(60,90)代入上式，得 .y=一x2十2x十3=一(x一1)2+4，.抛物线的顶点为 50k+b=100, 1k=一1， D(1,4).对称轴与x轴相交于点E,∴.DE=4,OE=1. 解得 60k+b=90, {b=150.y与x的函数关系式为y B(-1,0),.OB=1..BE=OB+OE=1+1=2.在 =一x+150:(2)根据题意，得(-x+150)(x-20)= Rt△BED中，根据勾股定理，得BD=√BE+DE= 4000.整理，得x2一170x+7000=0.解得x=70,x2= √/22+4=2√5.15.解：(1)由表易得二次函数的顶点 :100>90(不符合题意，舍去).答：该批发商若想获得4000 坐标为（一1，一4）.设二次函数的解析式为y=a(x十1)2元的利润，应将售价定为每千克70元；(3)根据题意，得 第28页（共42页） =(-x+150)(x-20)=-x2+170x-3000=-(x- 85)2+4225.-1<0,∴.此抛物线的开口向下.，对称 怎m2)+29:-鲁<0∴此抢物线的开口向 31 轴为直线x=85,20≤x≤90，∴.当x=85时，w的值最大， 下.对称轴为直线m=2,∴.当m=2时，PN的长有最大 最大值是4225.答：该产品每千克的售价为85元时，批发 商获得的利润（元）最大，最大利润为4225元.21.解： 值，最大值是22，(3存在A(-3,0.C0,A0 3,CO=4.,M为线段OB上的一个动点，PM⊥x轴，交 (1)由题意，得一多=3，解得6=-6.“函数》的图象经 BC于点Q,.Q(m,-m+4)(0m<4),∴.AC=(-3 过点(a,b),∴a2-6a十a=-6,解得a=2,或a=3.∴y=x2 0)2+(0-4)2=25,AQ=(m+3)2+(-m+4)2=2m2 一6x十2，或y=x2-6x+3;(2),函数1的图象经过点 2m十25，CQ=2+（-m+4-4)2=2m2..△ACQ为等 0,其中≠0.P+br+a=0,心1+2+号=0，即 腰三角形，∴.分以下三种情况讨论：①当AC=AQ时，则 AC=AQ,即25=2m2-2m+25,解得m1=0(与点C重 a()+6+1=0.“}是方程ar2+bc+1=0的 合，舍去)，12=1.此时Q(1,3).②当AC=CQ时，则AC 个实数根函数的图象经过点(，0）：(3)由题 =C0,即25=2，解得m=-5号<0（含去），m 2,n=4a- 意，得a>0,m=4a一En Aa .m+n=0,4- 4 52.此时Q(2,8-)③当AQ-CQ时则AQ +4a-E=0,.(4a-)(a十1)=0.a+1>0,4a- CQ,即2-2m十25=2m2,解得m=25>4(舍去).综 2 62=0,.m=n=0. 2解：(1对于y=一0十40，当 上所述，点Q的坐标为1,3》或(2,8 x=0时，y有最大值为40.∴.小山坡最高点到水平线的距 第二十三章综合评价 离为40m:(2)把(0,50)，(60,60)代入y= 120+bx+ 1.A2.D3.C4.D5.B6.C7.45°8.(-2,1) c=50, 2 9.46° 10.√2-111.②③④12.28或44°13.解： c,得 ×602+606+c=60, 解得 b一了’抛物线 (1)△OAB1如图所示. 由图知，A 120 c=50. C2所对应的函数解析式为y=一 0r+号+80：3)设 运动员运动的水平距离是xm,此时小山坡的高度是y= +40,运动员运动的水平高度是)=一0+号 (0,一4)，B1(2,一4)；(2)△OA2B2如图所示.由图知，A2 +0,-02+号x+50=一r2+0+10,解得x (-4,0),B2(-4,-2).14.解：(1)点A1(2,-2),B1(3, -320 0),C(0,一1).如图，△ABC即为所求： ,或x=0(不符合题意，舍去).答：运动员运动的水 (2)△ABC的面积为2X3-合×1 平距离为学 m时，运动员与小山坡C的竖直距离为 10m.23.解：(1)把A(-3,0),B(4,0)代入y=ax2+bx = 9a-3b+4=0, 37 +4,得 解得 抛物线的函数 16a+4b+4=0, )= X3-7×2X1-7×1×2=6-号-1-1=号 解析式为y=一子r+子x十4：(2)对于y= 1 12+ 3 15.解：(1)：将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE, 3x十4，当x=0时，y=4,C(0,4).再根据B(4,0)易得 ..BC=BE=6,BD=AB=9,..AE=AB-BE=9-6= 3;(2),∠C=110°，∠BAC=40°，.∠ABC=180° 直线BC的函数解析式为y=一x+4.,M(m,0), ∠BAC-∠C=30°..将△ABC绕点B逆时针旋转得到 P(m,-3m+号m+4,Q(m,-m+4.∴PQ=r △DBE,∴.AB=BD,∠ABC=∠DBA=30°，·∠BDA= 0-(-子m+号m+4)-(-m+4)=- ∠BAD=号×(180-30)=75.16解：1D连接PP 由旋转的性质，得AP'=PC=10,BP=BP=6,∠PBC= 3m.OB=OC=4,∠ABC=∠OCB=45.∴∠PQN ∠PBA.:△ABC为等边三角形，.∠ABC=∠PBC+ =∠BQM=45.易得PN-号PQ-号(-号m+专m) ∠ABP=60°，∴.∠PBP'=∠P'BA+∠ABP=60°， ∴.△BPP为等边三角形，.PP'=BP=BP=6,即点P 第29页（共42页）