第21章 一元二次方程综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

第二十一章综合评价 园 (时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）》 1.下列方程：①2x2- -1:②2x-2y-0:⑧7x2+1-0:①芳-0，其中是一元=次方程 3.x 的有 ( A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和③ 2.一元二次方程x2一5x=0的解是 ( ) A.x=5 B.x1=x2=5 C.x1=x2=0 D.x1=0,x2=5 3.用配方法解一元二次方程2x2一12x一9=5，则方程可变形为 ( 部 A.2(x-6)2=43 B.(x-6)2=43 C.2(x-3)2=16 D.(x-3)2=16 4.已知关于x的一元二次方程x2十ax十b=0有一个非零实数根为一b,则a一b的值 为 A.1 B.-1 C.0 D.-2 5.直线y=x十a不经过第二象限，则关于x的方程a2+2x+1=0实数根的个数是( A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 封 6.已知0，x是关于x的一元二次方程x2-x十m-2=0的两个实数根，要使1十1= 0成立，则m的值为 A.0 B.2 C.0或2 D.不存在 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若关于x的一元二次方程(x十2)2=n有实数根，则n的取值范围是 8.已知x=2是关于x的方程ax2+bx+4=0(a≠0)的一个根，则代数式8a十4b+2029 的值为 9.若x2+m.x+16是一个完全平方式，则m的值为 10.现定义运算“★”，对于任意实数a,b,都有a★b=a2一3a十b,如3★5=32-3×3十5.若 x★2=6，则实数x的值是 11.在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举 景 行的第三阶段总决赛.总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样，小组内进行单循环 赛（即小组内每两队之间都比赛一场）.若小组赛一共进行了12场比赛，则共有 支球队参加了总决赛」 12.在等腰三角形ABC中，BC=8,AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2一10x十m= 0的两个根，则m的值是 第1页（共6页） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解下列方程： (1)x2-6x=4; (2)3(x-2)2=x2-2x. 14.小明在解方程x2一5x=1时出现了错误，解答过程如下： 解：a=1,b=-5,c=1. (第一步) △=b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21>0. (第二步) ∴.x=5±21 (第三步) 2 0=5+2 2 , 5-√21 (第四步) 2 (1)小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 名师测 (2)写出此题正确的解答过程 15.书籍是人类宝贵的精神财富，读书是传承优秀文化的通道.某中学为响应“全民阅读活 动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次 逐月增加，第三个月进馆225人次.若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月平均 增长率. 第2页（共6页） 16.如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容 已知关于x的一元二次方程x2膏x一6=0. 其中一次项系数被墨迹污染了. (1)若这个方程的一个根为一2，请求出一次项系数； (2)玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由. 17.阅读理解： 为解方程(x2-1)2-5(x2一1)十4=0，我们可以将x2一1视为一个整体，设x2-1=y, 则原方程化为y2一5y十+4=0，解此方程，得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,∴.x=士√2. 当y=4时，x2-1=4,.x=士√5. 原方程的解为x1=√2，x2=2,x3=√5，x4=-√5. 以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想. 运用上述方法解方程：x4一8x十12=0. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.2024年元旦节期间，小友和小敏两位同学一同去商场调查某种服装的销售情况，下面 是两位同学的对话： 每件成本为50元.商店销售这批服 装获利12000元. 售价为60元时，可销售800件；售价 每提高5元，销售量将减少100件 第3页（共6页） 求这种服装每件售价是多少元. 19.已知关于x的方程x2-(k+1)x十十1=0，根据下列条件，分别求出k的值. (1)方程两实根的积为5； 名师测控 (2)方程的两实根x1,x2满足|x1=x2. 20.某服装店销售一批衬衣，每件进价250元，开始以每件400元的价格销售，每星期能卖 出20件，后来因库存积压，准备降价销售 (1)假如经过两次降价后每件售价为324元，每星期能卖出172件.若两次降价的百分 率相同，求每次降价的百分率： 第4页（共6页） (2)喜欢研究数学的店长在降价的过程中发现，适当的降价可增加销售又可增加收入， 且每件衬衣售价每降低1元，每星期的销售量会增加2件.若店长想要每星期获利 11000元，为了让顾客得到更大的实惠，应把每件衬衣售价定为多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，用一段77的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都 有一个1m宽的门，墙的最大可用长度为30m. (1)如果羊圈的总面积为300m,求边AB的长； (2)请问羊圈的总面积能为440m吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由， D 名师测 22.已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2一(2k+3)x十k2+ 3k十2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. (1)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长； (2)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分） 23.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和 Rt△BED的三边长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如a.x2+√2cx十b=0的一元 二次方程称为“勾系一元二次方程” 请解答下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0必有实数根： (3)若x=-1是“勾系一元二次方程"”a.x2十√2cx十b=0的一个根，且四边形ACDE的 周长是6√2，求△ABC的面积！ 2c a 6 名师测控 第6页（共6页）(2)画树状图如下： 开始 由 :9.810.4或一111.1212.25或1613.解：(1)配 方，得x2-6x+32=4+32,(x-3)2=13.由此可得x-3 =士√13.=3+√13，x2=3-√13；(2)整理，得3(x 树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结 2)2一x(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(2x-6)=0.于是 果出现的可能性相等.小宇和小杰恰好选择同一项志愿者 得x-2=0,或2x-6=0.=2,2=3.14.解：(1)一 活动的结果有4种，∴P(小宇和小杰恰好选择同一项志 原方程没有化成一般形式(2)方程化为x2-5x一1=0. a=1,b=-5,c=-1.△=b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1) 愿者活动)=是-子5.解：10.1(2)设箱子里无奖 卡的数量为x张由题意，得，20 =29>0.方程有两个不等的实数根x=二b吐-4知 Za x+20 =0.1.解得x=180.经 检验，x=180是原分式方程的解.答：箱子里无奖卡的数 =（-5)法2四=5±，/2西即x=5十，/2， 2×1 2 量约为180张；(3)由题意，可列表如下： 5-29 2 ，15.解：设进馆人次的月增长率为x.根据题 B ① ② ③ 意，得100(1+x)2=225,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5 ① (①，②) (①，③) (不合题意，舍去).答：进馆人次的月增长率为50%. ② (②，①) (②，③) 16.解：设一次项系数为b,则方程为x+bx一6=0.(1)把 ③ (③，①)（③，②） x=一2代人方程，得4一2b-6=0,解得b=一1，∴.一次 由表可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果 项系数为-1；(2)方程为x2+bx一6=0，∴.△=-4×1 出现的可能性相等.A,B两位同学坐到相邻座位的结果 ×(一6)=b十24>0..不论一次项系数为何值，这个方 有4种，即（①，②），（②，①），（②，③），（③，②），∴P(A,B 程总有两个不相等的实数根.17.解：设y=x2,则原方 两位同学坐到相邻座位)=青号。 程转化为y-8y十12=0，解得1=2,2=6.当y=2时， x2=2,x=士2.当y=6时，x2=6,x=士6.∴.原方 阶段微测试（十二） 程的解为=√2,2=一√2，x=√6，x4=一√6.18.解： 1.B2.A3.A4.B5.A6.C7.太阳从东方升起 (答案不唯-)8号9.0610.之 11.解：(1)随机 设这种服装每件售价是x元，则销售量为(800一二60× 5 不可能②)由题意，得号兴-分解得m=8经检验， 10)件.根据题意，得(x-50)(800-号6×100）= 12000,整理，得x2-150x十5600=0，解得=70，x2= m=8是原分式方程的解.即m的值为8.12.解：圆圆的 80.答：这种服装每件售价是70元或80元.19.解：根据 看法不正确.理由如下：画树状图如下： 开始 由树状图可以看出， 题意，得4=传+1)一4（子+1）≥0，解得≥号十 白 白2 =6+1西=发+1.(1)：a西=5，心发+1= 红白1白2红白1白2 红白1白2 所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相 5.解得=士4：≥号，k的值为4：(2)：n=, 等.两次摸出的小球颜色相同的结果有5种，即（红，红）， x2=x.x12-22=0,.(01+2)(x1-2)=0.x (白1，白1)，（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2），.P +x2=0或x1一x2=0..k十1=0或△=0..k=-1或k 5 是.：≥号k的值为子.20.解：(1)设每次降价 3 (两次摸出的小球颜色相同)=号，圆圆的看法不正确。 = 13.解：1)号 (2)画树状图如下： 开始 由树 的百分率为x.根据题意，得400(1一x)2=324.解得= 0.1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：每次降价的百 分率为10%；(2)设每件衬衣售价定为y元，则每星期可 CD E C DE 售出[20十2(400一y)]件.根据题意，得(y-250)[20+ 状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果 2(400-y)]=11000.整理，得y-660y+108000=0.解 出现的可能性相等.小明恰好经过通道A与通道D的结 得少=300,2=360.：要让顾客得到更大的实惠，∴y= 果有1种，即AD,∴.P(小明恰好经过通道A与通道D)= 300.答：应把每件衬衣售价定为300元.21.解：(1)设边 6.14.解：(1)0.95(2)0.95(3)1200×0.95= AB的长为xm,则AD=77-4x+3=(80一4x)m.根据 题意，得x(80-4x)=300,整理，得x2一20x+75=0.解 1140(人).答：佩戴了头盔的骑行者大约有1140人. 得=5，x2=15.,墙的最大可用长度为30m,且当x= 综合评价答案 5时，AD=80一4×5=60(m),不合题意，舍去，∴.x=15. 第二十一章综合评价 答：边AB的长为15m;(2)不能.理由如下：若羊圈的总 1.C2.D3.D4.A5.D6.A7.≥08.2021 面积为440m,则结合(1)可得x(80一4x)=440,整理，得 第27页（共42页） x2-20x+110=0..△=（一20）2一4×1×110=-40： 一4.把点(0，-3)代人y=a(x+1)2-4,得a-4=-3,解 0,∴.方程无实数根，∴.羊圈的总面积不能为440m2. 得a=1.故二次函数的解析式为y=(x+1)2-4=x2+2x 22.解：(1)分以下两种情况讨论：①当AB=AC时，△=子 -3;(2),y=(x+1)2-4,-4<x<0,.当x=-4时，y 一4ac=0,即(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0.此时方程无 =(-4+1)2-4=5.当x=0时，y=(0+1)2-4=-3.又 解，k的值不存在.②当BC为腰时，则一元二次方程有一 当x=-1时，y取得最小值-4，∴.当-4<x<0时，y 根为5.把x=5代入，得25-5(2k+3)十k2+3k+2=0. 的取值范围是-4≤y5. 整理，得2一7k十12=0.解得k1=3,k2=4.当k=3时，一 16解：[-1- 元二次方程为x2-9x十20=0，解得1=4，x2=5, (2)“图象数”是[m,m十1，m十1]的二次函数的解析式为y ∴.△ABC的三边长为4,5,5，..周长为4+5十5=14.当k =m.x2+(m十1)x十m+1.根据题意，得△=b一4ac=(m =4时，一元二次方程为x2-11x十30=0，解得0=5,2 十1)3-4m+1)=0,解得m=-1,m=子 17.解： =6,∴.△ABC的三边长为5,5,6，.周长为5十5+6= (1)由题意，得B(4,一5).设抛物线的函数解析式为y= 16..k为3或4时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周 a.x2.将B(4,-5)代入上式，得-5=aX4.解得a= 长为14或16；(2)：△ABC是以BC为斜边的直角三角 形，BC=5,∴.AB十AC=25.由一元二次方程的根与系 6∴抛物线的函数解析式为y=一亮：(2)当x=2 5 数的关系，得AB+AC=2k+3,AB·AC=k2+3k十2. .AB2+AC=(AB+AC)2-2AB.AC...(2k+3)2- 时y=品×公=-是号+是=2，面1.8<2当 2(k2十3k十2)=25.整理，得k2十3k-10=0.解得k1=2, 水面离拱顶1.8m时，木船不能通过拱桥.18.解：(1)将 k2=-5(不合题意，舍去)..当k为2时，△ABC是以 点(-1,0)代入y=x2-2a.x+4a+2,得0=1+2a+4a+ BC为斜边的直角三角形.23.解：(1)当a=3,b=4,c= 2.解得a=子gy父+x令y=+z=0,解得= 5时，“勾系一元二次方程”为3x十5√2x十4=0：（答案不 0,2=一1.∴.该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标 唯一)(2)根据题意，得△=（√2c)2-4ab=2c2-4ab.'a2 为(0,0)：(2)y=x2-2a.x+4a+2=x2+(4-2x)a+2.令 +6=c2,∴.2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0. 4一2x=0,则x=2,y=6,.这个定点的坐标为(2,6).，y ∴.△≥0.∴.“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0必有实 =x2-2a.x+4a+2=(x-a)2+(-a2+4a+2),∴.顶点坐 数根；(3)把x=一1代入方程，得a一√2c十b=0,即a十b 标为(a,一a2+4a+2).-a2+4a+2=-(a-2)2+6, =2c.2a+2b+√2c=6√2，即2(a+b)+√2c=6√2， .当a=2时，纵坐标有最大值6，此时顶点坐标为(2,6). .3√2c=6√2.∴.c=2.∴.a2+=2=4,a+b=22. .定点(2,6)是所有抛物线顶，点中纵坐标最大的点.19.解： ".(a+b)2=a2+b2+2ab,即8=4+2ab,..ab=2. (1)由题意，设抛物线的函数解析式为y=a(x一1)(x一3).将 C(0,6)代入上式，得a×(0-1)×(0-3)=6.解得a=2. Sa腰=合ab=1 ∴.抛物线的函数解析式为y=2(x-1)(x一3)=2x2一8x 第二十二章综合评价 +6;(2),y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,.J顶点M(2, 1.C2.C3.D4.B5.D6.D7.y=-(x+1)2+9 2).点M与点N关于x轴对称，∴.N(2,2).易求直线 8.y>2>99.x1=-2,x2=510.1111.4 AN的函数解析式为y=2一2.联立=2x一2， 解 1y=2.x2-8x+6, 12.(2,-9)或（受，6）13.解：1)把(-2,0)代人 得/=1，=4， x2一x-3k,得4+2k-3k=0,解得=4：(2)由(1)知抛 1y=0,12=6. D4,6).Sm=号X2X6=6 物线的函数解析式为y=x2一4x一12.令y=0,得x2一4x 设，点E(m,2m一2).直线BE将△ABD的面积分为1： 一12=0，解得x=一2，x2=6..抛物线与x轴的另一个 2两部分，56E=号S%面=子X6=2,或S既=号 交点的坐标为(6,0).14.解：(1)：抛物线y=ax+2x +c经过点A(0,3,B(-1,0),3=C, 解得 5m=号×6=4∴2×2X(2m-2)=2,或号×2X 10=a-2+c. (2m一2)=4，解得m=2,或m=3.∴.点E的坐标为(2,2) a=一1，：抛物线的函数解析式为y=-2+2x+3:(2》 或(3,4).20.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx十 1c=3. b(k≠0).将点(50,100)，(60,90)代入上式，得 .y=一x2十2x十3=一(x一1)2+4，.抛物线的顶点为 50k+b=100, 1k=一1， D(1,4).对称轴与x轴相交于点E,∴.DE=4,OE=1. 解得 60k+b=90, {b=150.y与x的函数关系式为y B(-1,0),.OB=1..BE=OB+OE=1+1=2.在 =一x+150:(2)根据题意，得(-x+150)(x-20)= Rt△BED中，根据勾股定理，得BD=√BE+DE= 4000.整理，得x2一170x+7000=0.解得x=70,x2= √/22+4=2√5.15.解：(1)由表易得二次函数的顶点 :100>90(不符合题意，舍去).答：该批发商若想获得4000 坐标为（一1，一4）.设二次函数的解析式为y=a(x十1)2元的利润，应将售价定为每千克70元；(3)根据题意，得 第28页（共42页）