第21章 一元二次方程(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理♪ 等号两边都是 ,只含有 未知数（一元），并且未知数的 定义 一元二次方程 最高次数是 (二次)的方程，叫做一元二次方程 一般形式 ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，且a 0) 方程的解 使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解（根） 易错警醒 元二次方程二次项系数为字母时，解题时需注意该字母不为零.如：例题 典例得入 2.一元二次方程(3x-1)=5.x化成一般 【例】（教材P3例题拓展）已知关于x的方 形式后，二次项系数为9，其一次项系数 程(m十2)xm十5x十1=0是一元二次 为 ( 方程. A.1B.-1 C.-11D.11 (1)求m的值； 3.已知关于x的一元二次方程x2十mx (2)写出该一元二次方程的二次项系数、一 8=0的一个根为2，则m的值为( 次项系数和常数项； A.1 B.-1C.-2D.2 4.已知m是方程x2-2x-5=0的一个 (3)数一1，一是，1中，是该一元二次方程的 根，则m2一2m的值为 解的是 5.根据下列问题列方程，并将所列方程化 为一元二次方程的一般形式： (1)一个矩形门框的宽比长少1，面积是 5,求矩形的宽x; (2)两个相同的正方形面积和为3，求每 个正方形的边长y. 针对训练 1.下列方程是一元二次方程的是( A.x+xy=1 B.x2+1=(x+1)2 C.x2-2x+1=0 D.ax2+bx+c=0 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理♪ (1)方程x2=p(p≥0)的解为x1= 直接开平方法解方程 (2)方程(x十n)2=(p≥0)的解为1=-n十√p,x2=-n-√D 易错警醒 开平方后的取值前记得加“士”号 典例厚入 3.若关于x的方程x2一m=0有实数根， 【例】已知关于x的一元二次方程：①5x2+ 则m的值可以是 2=0;②4x2-2x+1=0;③(x-2)2=4; (只填一个) ④3x2+4=2. 4.解下列方程： (1)9x2=25: (1)上述方程中，能用直接开平方法求解的 是 ;(填序号) (2)解(1)中的一元二次方程. 名师侧 (2)(x-5)2-36=0: 针对训练♪ 1.方程2x2-8=0的解是 A.x=4 B.x=2 (3)3(x-1)2+1=16. C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4 2.将一元二次方程(x一6)2=25转化为两 个一元一次方程，其中一个一元一次方 程是x一6=5，则另一个一元一次方程 是 A.x-6=-5 B.x-6=5 C.x+6=-5 D.x+6=5 。2· 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理♪ 配方法解方程的依据 完全平方公式：a2士2ab十b2= 一移（移项）：将常数项移至等号右边，含未知数的项移至等号左边 二化（二次项系数化为1）：左右两边同时除以二次项系数 配方法解方程的一般步骤 三配：左右两边同时加上一次项系数 的平方 四开：根据平方根的意义直接开平方 典例得入 2.用配方法解方程x2一4x=1时，应在方 程两边同时加上 ( ) 【例】阅读下列解题过程，并解答下列问题： A.2 B.-4 C.4 D.8 解方程：2x2-8x-18=0. 3.一元二次方程x2十4x十1=0配方后可 解：移项，得2x2-8x=18.① 变形为(x十2)2=k,则k的值是( ) 二次项系数化为1，得x2一4x=9.② A.3 △B.2 C.1 D.0 配方，得(x一2)2=9.③ 4填空： ∴.x-2=3或x-2=-3.④ (1)x2-6.x+ =(x一 )2 .x1=5,x2=-1.⑤ =(x十 (1)步骤②的依据是 2合+ (2)上述解答过程中，从步骤 开始 5.用配方法解下列方程： 出现错误；（填序号） (1)x2+12x+27=0; (3)写出正确的解答过程.（用配方法） (2)3.x2-6x-5=0. 针对训练 1.如果多项式x2+mx十36是完全平方 式，那么m的值为 A.12 B.-12C.18 D.±12 ·3· 21.2.2 公式法 知识梳理 根的判别式 △=b2-4ac 用公式法解方程 ax2+bx+c=0 △>0台方程有两个 的实数根，即x=一b士-4ac 2a (a≠0) 根的情况 △=0台方程有两个 的实数根，即x1=x2= △<0台方程 实数根 (1)一元二次方程有两个实数根的隐含条件为△0； 易错警醒 (2)当△=0时，不能说方程有一个根，而是有两个相等的实数根，写法上也要注意 典例得入 A.有两个相等的实数根 【例】已知关于x的一元二次方程(m-1)x2 B.有两个不相等的实数根 (2m十5).x+(m十4)=0有两个实数根. C.只有一个实数根 (1)求m的取值范围； D.没有实数根 (2)当m取最小整数值时，求该方程的解. 3.若一元二次方程(k-1)x2十2kx十k十3= 0有实数根，则k的取值范围是() A是 B长号 C≤多且1 D. 4.若关于x的方程x2一x十2k=0有两个相 等的实数根，则k的值是 5.用公式法解下列方程： (1)2x2+5x+3=0: 针对训练 1.x=-5±5+4X3X (2)x2-3x=-3. 2X3 是下列哪个一 元二次方程的根 ( A.3.x2+5x+1=0 B.3x2-5.x+1=0 C.3x2-5.x-1=0 D.3x2+5x-1=0 2.一元二次方程x2一5.x一4=0的根的情 况是 ( 。4。 21.2.3因式分解法 知识梳理 因式分解法解方程 内容 依据 若ab=0,则a= 或b= 一移、二分、三化、四解： 一般步骤 ax2+b.x+c=0(a≠0)→(x+m)(x+n)=0→x+m=0或x+n=0→x1= -m,x2=-n 易错警醒 利用因式分解法解方程时，切忌方程两边同时约去公因式，造成失根.如：T 针对训练 5.用适当的方法解下列方程： (1)5.x2+3x=0: 1.方程(x一3)(x十2)=0的根是( A.01=-3,x2=-2 B.x1=-3,x2=2 C.x1=3,x2=-2 D.x1=3,x2=2 (2)(x-3)2-49=0: 2.解一元二次方程3.x(x-1)=2x一2，因 式分解后，结果正确的是 A.(x-1)(3.x+2)=0 B.(x-1)(3x-2)=0 (3)(x-1)2+2-2x=0; C.3x(x-2)=0 D.3x(x+2)=0 3.方程(x一3)=x一3的根为 A.3 B.4 C.4或3 D.-4或3 (4)2x2-3x+1=0. 4.已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长 度是关于x的方程x2-14x十48=0的 两个实数根，则此菱形的面积是( ) A.20 B.24 C.48 D.不确定 ·5· *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理♪ 根与系数 若关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则x1十x2= 的关系 ,x1x2= (1)在运用方程的根与系数的关系时，要先将方程化为一般形式； 易错警醒 (2)在利用方程的根与系数的关系求方程中的字母参数时，要保证△>0 典例厚入 3.已知一元二次方程x一4x一1=0的 【例】已知关于x的一元二次方程x2+2x十 两根分别为m,2,则m十n一mn的值 是 ) a一1=0的两个根分别为x,x2. A.5 B.3 (1)若a=-7,则x1十2= ,1x2= C.-3 D.-4 4.如果x1,x2是一元二次方程x2一3x十 (2)若该方程的一个根为2，则α的值为 2=0的两个实数根，那么x12十x22的值 ,方程的另一根为 是 ) (3)若2c1十2x2一x1x2=5,求a的值. A.7 B.5 C.3 D.1 5.已知x1,x2是方程x2一2x一3=0的两 个实数根. (1)求(x1-1)(x2-1)的值： (2)求1+二的值. 2 ⊕对训练 1.若a,b是方程x2-x一2=0的两个根， 则ab的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知0=一1，x2=2是关于x的方程x2+ mx+n=0的两根，则m的值是( A.1 B.-1 C.2 D.-2 ·6· 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播、握手与数字问题 知识梳理 若传染源是1，传染的速度是x,则第一轮被传染的数量为 ,第二轮被传染的数 传播问题 量为 ,两轮传染后的总数量为 若有x个人，每两个人握一次手，则每个人与其他人握手 次，共握手 握手问题 次 数字问题 个两位数的个位数字是，十位数字是b,则这个两位数可表示为 典例厚入 C.(2D-1980 2 【例】（教材P探究1变式）有一人患了流 D.z,+D-1980 感，经过两轮传染后共有144人患了流感. 2 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； 2.白云航空公司有若干个飞机场，每两个 (2)如果不及时控制，三轮传染后，患流感 飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟 的有多少人？ 了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场， 3.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如 果一共碰杯55次，那么参加酒会的有 人 4.已知一个两位数，个位上的数字比十位 上的数字少4，这个两位数的十位数字 和个位数字交换位置后，新两位数与原 两位数的积为1612，求原两位数. ⊕对训练 1.某班学生毕业时，每个同学都要给其他 同学写一份留言纪念，全班同学共写了 1980份留言，如果全班有x名学生，根 据题意，下列方程正确的是 A.x(x-1)=1980 B.x(x+1)=1980 。7。 第2课时平均变化率与利润问题 知识梳理♪ 设原来的量为a,经过两次变化后的量为b,平均变化率为x,则a,b,x的数量关 平均变化率问题 系为 营销问题 (1)利润=售价一成本；(2)利润率=利润÷成本×100% 典例得入 数的年平均增长率为x,则可列出关于x 的方程为 ( ) 【例】商场购进的某种新商品每件的进价为 120元，在试销期间发现，当每件商品的售 A.4.2(1+x)2=2B.4.2(1+2x)=2 价为130元时，每天可销售70件；当每件 C.2(1+2x)=4.2D.2(1+x)2=4.2 商品的售价高于130元时，每涨价1元，日 2.某品牌童装平均每天可售出20件，每件 销售量就减少1件，据此规律，请回答下列 盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该 问题. 品牌采取了降价措施.在每件盈利不少于 25元的前提下，经过一段时间的销售，发 (1)当每件商品的售价为140元时，每天可 销售 件商品，商场每天可盈利 现销售单价每降低1元，平均每天可多售 出2件.若要保证每天的销售利润为 元； (2)设每件售价定为x元，则商品每天可销 1050元，则每件童装应降价 A5元 售 件，每件可盈利 B.6元C.7元D.9元 元； 3.甲商品的进价为每件20元，商场确定其 (3)在销售正常的情况下，每件商品的售价定 售价为每件40元.经调查，该商品每降 为多少时，商场每天盈利可达到1500元？ 价0.2元，每月可多销售10件，已知该 商品的售价为每件40元时，每月可销售 500件，若该商场希望该商品每月能盈 利11200元，且尽可能扩大销售量，则 该商品在原售价每件40元的基础上应 如何调整？ 针对训练 1.2024年春节联欢晚会为海内外受众奉 上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文 化大餐”.截至2月10日2时，总台春晚 中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次. 据统计，2022年首次推出的“竖屏看春 晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次 ·8 第3课时几何图形的面积问题 知识梳理 设矩形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽为x,则 几何图形问题 B S阴影二 S影 解题策略 将不规则图形割补为规则图形 典例得入 ⊕对训练♪ 【例】（教材P2探究3变式）如图是一个矩形 1.如图，在长为32m,宽为20m的长方形 花园，花园的长为100m,宽为50m,在它的 地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部 四角各建有一个同样大小的正方形观光休 分)，余下部分种植草坪，要使小路的面 息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大 积为100m,则小路的宽为 道，其余部分（图中阴影部分）种植不同的花 32m 草.已知种植花草部分的面积为3600m, 20m 设正方形观光休息亭的边长为xm 2.如图，某中学课外兴趣活动小组准备围 建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长 18m),另外三边用长32m的篱笆围成. (1)阴影部分的长为 m,阴影部分 若苗圃园的面积为96m,求垂直于墙 的宽为 m;(用含x的代数式 的一边长 表示) 18m (2)求正方形观光休息亭的边长. 苗圃园 。9。随堂反馈答案 21.2.2 公式法 第二十一章 元二次方程 知识梳理 21.1 一元二次方程 不等相等 品无 知识梳理 典例导入 整式一个2≠相等 【例】解：(1)根据题意，得△=[一(2m十5)]2-4(m一1)(m 典例导入 【例】解：(1)根据题意，得m=2且m十2≠0，解得m=2: +4)≥0且m-1≠0，解得m≥-号且m≠1：(2)由)， (2)由(1)，得该一元二次方程为4x2+5x+1=0,∴.二次 得m的最小整数值为-5，∴.方程化为6.x2一5.x十1=0.a =6,b=-5,c=1.△=b2一4ac=(一5)2-4×6×1=1>0. 项系数为4，一次项系数为5，常数项为1：(3)-1，-】 针对训练 方程有两个不等的实数根工=一b士厅一4ac 2a 1.C2.C3.D4.55.解：(1)根据题意，得x(x十1) =5.化为一般形式为x2+x一5=0：(2)根据题意，得2y2 二（洁即==方 1 2×6 =3.化为一般形式为2y2-3=0. 针对训练 21.2解一元二次方程 1D2.B3C4日 5.解：(1)a=2,b=5,c=3.△= 21.2.1配方法 62一4ac=52一4×2×3=1>0.方程有两个不等的实数根 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 =士匹--，即=-1 2a 2×2 一p√币 号：(2)方程化为2-3x+3=0.a=1,b=-3,c=3 典例导入 △=-4ac=(-3)2-4X1×3=-3<0.方程无实数根. 【例】解：(1)③(2)解方程(x一2)2=4，根据平方根的意 21.2.3 义，得x一2=士2.∴.x1=4,2=0. 因式分解法 针对训练 知识梳理 1.C2.A3.1(答案不唯一，m≥0即可)4.解：(1)整 00 理，得2=票根据平方根的意义，得x= 针对训练 3= 1.C2.B3.C4.B5.解：(1)因式分解，得x(5x+3) 号4=-寻：(2)整理，得(x-5)=36.根据平方根的意 =0.于是得x=0,或5x十3=0.=0，m=-号：(2)移 义，得x-5=士6.m=11,x2=-1;(3)整理，得(x 项，得(x一3)2=49.∴.x-3=士7.∴.x1=10,x2=-4:(3) 1)2=5.根据平方根的意义，得x一1=士√5.∴.x1=1+ 整理，得(x-1)2一2(x-1)=0.因式分解，得(x-1)(x √5，x2=1-√5. 1-2)=0,即(x-1)(x-3)=0.于是得x-1=0,或x-3 第2课时用配方法解一元二次方程 =0.x1=1,2=3;(4)a=2,b=-3,c=1.△=-4ac= 知识梳理 (-3)2-4×2×1=1>0.方程有两个不等的实数根x= (a士b)2一半 -b吐B=4ac=-(-一3)±五=3士.即1=1，= 2a 2×2 典例导入 【例】解：(1)等式的基本性质(2)③(3)正确的解答过 2… 程如下：移项，得2x2一8x=18.二次项系数化为1，得x *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 -4x=9.配方，得x2-4x+22=9十22，(x-2)2=13.由 知识梳理 此可得x-2=士/13.x=2+√13,2=2-/13. b c 针对训练 aa 1.D2.C3.A4193(2品5解：1)移 典例导入 【例】解：(1)-2一8(2)-7一4(3)由题意，得x 项，得x2+12x=一27.配方，得x2+12x+62=-27+6, +x2=-2,x1x2=a-1.,21+22-x1x2=2(x1+2) (x+6)2=9.由此可得x十6=士3.x=-9,x2=一3；(2) -x1x2=5,.2X(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 移项，得3-6r=5.二次项系数化为1，得-2x=号 针对训练 配方，得-2x+1=号十1P,(x-1)2=号由此可得x 1.D2.B3.A4.B5.解：由题意，得x1+x2=2, xx2=一3.(1)原式=x1x2-(x1十x2)+1=-3-2+1= 1=士25a=1+295=1-25 2 一4，(2)原式=+2=-2 3 第37页（共42页） 21.3实际问题与一元二次方程 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 第1课时传播、握手与数字问题 知识梳理 知识梳理 (0,0)(0,0)00增大减小减小增大 针对训练 xx(1+x)(1+x)2(x-1)7x(x-1)106+a 1.B2.D3.< 典例导入 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的 【例】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据 图象和性质 题意，得1+x+x(1+x)=144.解得m=11,2=一13 (不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了11 第1课时 二次函数y=ax2十k的图 个人；(2)144+144×11=1728（人）.答：三轮传染后，患 象和性质 流感的有1728人. 知识梳理 针对训练 (0,k)(0,k)kk增大减小减小增大 1.A2.53.114.解：设原两位数的十位数字为x,则 典例导入 个位数字为x一4.根据题意，得(10x十x一4)×[10(x一4) 【例】解：(1)7 -117 (2)如图所示： 十x]=1612.整理，得x2-4x一12=0.解得1=6，x2= y (3)抛物线的开口向上，对称轴为 一2（不合题意，舍去）.∴.x一4=2.答：原两位数为62. 第2课时平均变化率与利润问题 知识梳理 a(1土x)2=b 典例导入 【例】解：(1)601200(2)(200-x)(x-120)(3)根 -3-22345x 据题意，得(200-x)(x-120)=1500,整理，得x2-320x +25500=0.解得x1=150,x2=170.答：每件商品的售价 y轴，顶点坐标为(0，一1)：(4)当x>0时，y的取值范围 定为150元或170元时，商场每天盈利可达到1500元. 是y>-1. 针对训练 针对训练 1.D2.A3.解：设该商品每件降价x元，则每件的销售 1.B2.C3.C4.y>2 利润为40-x-20=(20-x)元，每月可售出500+10× 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象 0.2-(500+50x)件.根据题意，得(20-x)(500+50x)= 和性质 知识梳理 11200.整理，得x2-10.x+24=0.解得x1=4,2=6. 要尽可能扩大销售量，∴x=6.答：该商品在原售价每 (h,0)(h,0)00增大减小减小增大 件40元的基础上应降价6元， 典例导入 【例】(1)y=-3(x+2)2(2)下x=-2(-2,0) 第3课时几何图形的面积问题 (3)<-2>一2一2大0 知识梳理 针对训练 (a-x)(b-x)(a-2x)(b-2x) 1.D2.右33.y1<24.解：(1)抛物线y=2(x 典例导入 1)2的顶点为A,∴.点A的坐标为(1,0).在y=2(x一1) 【例】解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100 中，令x=0,则y=2,∴.点B的坐标为(0,2)：(2)由(1)， -2x)(50-2x)=3600.整理，得x2-75.x十350=0.解得 得B(0,2),则OB=2.设P(t,0),则AP=t-1.S△pmB x1=5,x2=70(不符合题意，舍去).答：正方形观光休息亭 的边长为5m. =2AP·0B=2,7×|1-1川×2=2解得1=3，或1 针对训练 =-1.点P的坐标为(3,0)或（一1,0）. 1.2m2.解：设垂直于墙的一边长为xm,则平行于墙的 第3课时 二次函数y=a(x一h)2十k 边长为(32-2x)m.根据题意，得x(32-2x)=96.整理， 得x2-16.x+48=0.解得x01=12,x2=4.当x=12时，32 的图象和性质 -2x=8<18,符合题意.当x=4时，32-2x=24>18,不 知识梳理 符合题意，舍去.答：垂直于墙的一边长为12m (h,k)(,k)kk增大减小减小增大 第二十二章二次函数 典例导入 【例】解：(1)函数图象的开口向下，对称轴为直线x=一1， 22.1二次函数的图象和性质 顶点坐标为（一1，一4）：(2)由(1)知函数图象的开口向下， 22.1.1二次函数 顶点坐标为（一1，一4），.当x=一1时，函数有最大值 针对训练 一4：(3)：函数图象的对称轴为直线x=一1，开口向下， 1.C2.D3.(1)a≠2(2)2 .当x>一1时，y随x的增大而减小 第38页（共42页）