专练(一)一元二次方程的解法与应用&专练(二)根的判别式和根与系数的关系-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 宁夏专版）

1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以使其顶点恰好落在原点，解析式变为y= 一合，14.解：(1)直线AD的函数解析式为y=x一1：抛物线的函数解析式为y x2+2x-3;(2)设点P的坐标为(m,m-1)(-2<m<1),则Q(m,m2十2m-3),l=y -0=m-1)-m+2m3).化简，得1=-m-m+2=-(m+）+号.：-1 2 <0,此抛物线的开口向下.：对称轴为直线m=一合∴当m=一合时，1有最大值， 为号即当m=一2时，PQ最长。 阶段微测试（五） 1.C2.D3.D4.B5.D6.C7.C8.C9.-110.x1=-2,x2=111.4 12.2013.解：(1)当x=0时，y=1..不论m为何值，函数y=mx2-6x十1的图象都 经过y轴上的一个定点(0,1)：(2)①当m=0时，函数y=-6x十1的图象与x轴只有 一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx一6x十1的图象与x轴只有一个交点，则方程 mx2一6x十1=0有两个相等的实数根，.△=（一6）2一4m=0,解得m=9.综上所述，若 函数y=x2一6x十1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.14.解：(1)根 据题意，得=(x一8)(24一x)一60=一x2十32x-252;(2)①根据题意，得4=-x2十32x 252解得6答：该广品第年的售价是16元件：@根我题意，得2经。13解 得11≤x≤16.设第二年的利润是0'万元，则'=(x-6)(24-x)-4=-x2十30x 148=一(x-15)2+77.-1<0,∴.此抛物线的开口向下.11≤x≤16，且对称轴为 直线x=15,∴.当x=11时，w有最小值，0小=(11-6)×(24-11)-4=61.答：第二 年利润最少为61万元. 阶段微测试（六） 1.C2.C3.C4.B5.B6.C7.A8.A9.<-3-3小010.y1<2 <y11.212.一113.解：(1)由抛物线y=ax2+k的形状及开口方向与抛物线y =一2相同，得a=一之由抛物线y=a十的顶点坐标是(0,2)，得k=2:(2)抛 1 物线)=一之x+2如图. 14.解：建立如图所示的平面直角 -L5 坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2,由题意，得点(2，一2)在此抛物线上，则一2 =aX2,解得a=-号∴y=-名.依题意，当)=-1，即-名=-1时，解得x =士√2..此时水面的宽度为2√2m..水面宽度减少了(4一2√2)m.15.解：(1)一2 -3(2)由(1)可知y=x-2z-3C0,-3.Sx=号X13-(-1DX1-3 =6.设点D的坐标为(m,m2-2m-3》.:Sam=2Sac号×ABXb=2X6, 即宁×4X1m-2m-3=2X6m-2m-3引=6.易得二次函数的最小值为-4， ∴m2-2m-3=6,解得m=1十√10，或m=1-√10..点D的坐标为(1十10,6)或 (1-√10,6)：(3)点P的坐标为(4,5).[解析：设P(n,n2-2n-3)(n<-1或n>3).当 点P在点A左侧时，即n<一1时，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离， ∴S△Ae<S△PB,不符合题意.当点P在点B右侧时，即n>3时，·S△Ar=S△PB, BC∥AP.由点B,C的坐标可得直线BC的函数解析式为y=x一3.∴直线AP的函 数解析式为y=x十1.将点P(n,n-2n-3)代入，得n一2n一3=n十1，解得n=4,或n =-1(舍去)..十1=5，.点P的坐标为(4,5)] 阶段微测试（七） 1.D2.D3.B4.C5.C6.C7.C8.A9.旋转平移轴对称10.90° 11.412.①②⑤13.解：(1)线段AB:如图(2)线段A1B2如 --1--L-) 图：(3)连接ABBB,如图，Sa,=4X4-号×2X2-号×2X4-×2X4=16-2 第37页（共48页） -4一4=6.14.解：由△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°得到△ECD,可得AB= CE=3,AD=ED,∠ADE=60°，.△ADE为等边三角形，.∠DAE=60°，.∠BAD= ∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，AD=AE=AC+CE=2+3=5. 阶段微测试（八） 1.D2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.A9.31°10.2√311.(6,0) 12.5213.证明：连接BC.:AB是⊙0的直径，∠ACB=90,即∠ACF+∠BCD 2 =90°.CD⊥AB,∠B十∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF,C是AE的中点，AC= CE,.∠B=∠CAE,∴∠ACF=∠CAE,.AF=CF.14.解：(1)AB⊥CD,CD= 16,.CE=DE=8.设OB=OD=x,则OE=x-4.在Rt△OED中，由勾股定理，得 OD=OE2+DE,即x2=(x-4)2+82,解得x=10..⊙O的直径是20；(2)：∠M= ∠D,∠DOE=2∠M,∠DOE=2∠D,∴.在Rt△OED中，∠D+∠DOE=∠D+ 2∠D=90°，.∠D=30°. 阶段微测试（九） 1.C2.D3.A4.D5.B6.B7.B8.B9.圆上10.311.32°12.(-4， √7)13.解：连接OE,OF.:⊙O是△ABC的内切圆，与三边的切点分别是E,F,D, .∠AEO=∠AFO=90°.：∠A=90°，∴.四边形AEOF是矩形.又：OE=OF=1, ∴.四边形AEOF是正方形，∴.AE=AF=OE=OF=1.设BE=x,则BD=BE=x.又 AF=1,AC=4,∴.CD=CF=3.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB+AC=BC, 即(x十1)2+4=(x十3)2，解得x=2..AB=x+1=3,BC=x+3=5.14.解：(1).AB 是⊙O的直径，∠ADB=90°，∴AD⊥BC.又AB=AC,DB=DC,即D是BC的 中点；(2)：AB=AC,∠B=∠C.又：∠B=∠E,∴∠C=∠E,.DE=DC.:DC= DB,DE=4,∴.DB=DE=4.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB=√AD+DB= √/2+车=25，⊙0的半径为25=5. 阶段微测试（十） 1.D2.D3.A4.C5.B6.C7.B8.D9.210.511.54°12.2 13.解：(1)连接OD.:DF是⊙O的切线，D为切点，∴.OD⊥DF,.∠ODF=90° ,BD=CD,OA=OB,∴.OD是△ABC的中位线，.OD∥AC,∴.∠CFD=∠ODF= 90,DF⊥AC;(2)3π14.解：(1)连接OD.·DF是⊙0的切线，∠ODF=90°， .∠ADO+∠BDF=90°..OA=OD,.∠OAD=∠ODA,.∠OAD+∠BDF=90°. ∠C=90°，∴∠OAD十∠B=90°，∴∠B=∠BDF,∴.BF=DF;(2)连接OF.设半圆 O的半径为r,则OD=OA=r..AC=4,BC=3,CF=1,.OC=4一r,DF=BF=3-1 =2.由勾股定理，得0D+DF=0F=OC+CF,2+22=(4-r)2+12,r=3 8· 故半圆0的半径为 阶段微测试（十一） 1.D2.D3.B4.B5.C6.B7.A8D9.不公平0.11.3 13,解：(1)设袋中蓝球的个数为云，：从中任意摸出一个球是白球的概率为 12.8 1 2 2+1+x 2，解得x=1.一袋中蓝球的个数为1，(2)根据题意，可以画出如下 1 的树状图：第一炎兵兵美菜由树状图可以看出，所有可能出现的 白 第二次白黄蓝白黄蓝白白蓝白白黄 结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中两次都摸到白球的结果有2种，所以 P(两次都摸到白球)=2=6·14.解：1)50144°(2)D组的人数为50X10%= 5(人)，C组的人数为50-20-10-5=15（人），补全条形统计图如图； 25人数 (3)D组有三名男生，即有两名女生，设除小志外的另外两名男生 2 20 18 0 ABCD实验 分别为a,b,除小勤外的女生为c,列表如下： 、男生 女尘 小志 a 6 小勤 (小志，小勤) (a,小勤) (b,小勤) c (小志，c) (a,c) (b,c) 由表可以看出，可能出现的结果有6种，并且它们出现的可能性相等，其中抽到小志和 小勤的结果有1种，所以P(抽到小志和小勤)=6 第38页（共48页） 重点题型专练答案 专练（一）一元二次方程的解法与应用 1.解：(1)移项，得2(x-1)2=18.二次项系数化为1，得(x一1)2=9.由此可得x-1= 士3，x1=4,x2=-2;(2)去括号，得x2-1十2x十4=9.移项、合并同类项，得x2十2x= 6.配方，得x2+2x十1=6十1，即(x十1)2=7.由此可得x十1=士√7，x1=-1十√7，x =-1一√7：(3)整理，得(x十2)2一2(x十2)=0.因式分解，得(x十2-2)(x十2)=0，即 x(x十2)=0.于是得x=0,或x十2=0，=0，x2=-2;(4)移项，得(2x-1)2-(3- x)2=0.因式分解，得(2x一1-3十x)(2x一1十3-x)=0,即(3x一4)(x十2)=0.于是得 3江一4=0，或x十2=0，=号=-2.2.解：1)设y与x之间的函数关系式为y =十6k≠01，由所给函数图象可得30k士怎50'解得二1故y与工之间的函 150k+b=30, b=180. 数关系式为y=-x十180：(2)根据题意，得(-x+180)(x-100)=1200,解得x1= 120,x2=160.:要在价格上有竞争优势，x=120.答：当销售单价为120元时，小张 每天获得的利润达1200元，同时在价格上有竞争优势. 专练（二）根的判别式和根与系数的关系 1.解：x1十x2=4,x1x2=1.(1)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1十x2)十9=1-3X4+9 -2:(2)(x1-)2=(1十)2-41=4-4X1=12:(3)+4=+道= (x十x)一2x1工=4一2X1=14.2.解：(1)根据题意，得△=(-2)2一4(-k-2) ait2 >0,解得k>一3；(2)答案不唯一，如取k=一2，则一元二次方程为x2一2x=0,解得x1 =0,x2=2.3.解：(1)m≠0，.方程x2十（3一m)x一3=0为一元二次方程，则△ =(3一m)2一4m×(一3)=(m十3)2..(m十3)2≥0，∴.此方程总有两个实数根；(2)由 求根公式得x三一3-m士m十31，=此方程的两个实数根都 21m 为正整数，.整数m的值为一1或3.4.解：(1)方程x2十3x十m=0有实数根， ∴4=32-4X1Xm≥0，解得m<号；(2)：是方程2十3x十m=0的两个根， 3 十w=-子=-3，x4=m.3(x十x)+xx=-7,小3X（-3)+m=一7，解 得m=2.即m的值是2. 专练（三）二次函数的图象和性质(1) 1.D2.y=(x十1)2+1x=-1(1)172(2)51(3)2≤y≤103.解：(1)如 图；（列表略） 1V4 (2)抛物线y=一(x十1)2+4先向右 8 6 5 y=-(x+1)+4 ！y=-(x-2)2+7 4书2中p343 平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线y=一(x一2)2十7.（平移 方法不唯一)4.解：(1)OC=3,∴.C(0,3).把C(0,3)代入y=a(x-1)(x-3),得3a =3,解得a=1.∴.抛物线的解析式为y=(x-1)(x-3),即y=x2-4x十3；(2)当y= (x-1)(x-3)=0时，可得x1=1,x2=3,则点B(3,0),A(1,0),.AB=3-1=2, SAm=之AB·光=号×2X3=3.5.解：二次函数y=(-aP+2a-3的图象开 口向上，顶点坐标为(a,2a一3)，对称轴为直线x=a.(1)函数图象的顶点在x轴上， ∴2a-3=0,解得a=号：(2)：函数的最小值是-12a-3=-1,解得a=1:(3)由 题意，得函数图象的对称轴为直线x=3,∴.a=3. 专练（四）二次函数的图象和性质(2)一最值问题 1.解：(1)把A(0,-2)代入y=a(x-1)2-3,得a-3=-2,解得a=1.∴.抛物线的函 数解析式为y=(x-1)2一3；B(1,-3);(2)设点A关于x轴的对称点为C,则C(0,2). 连接CB,交x轴于点P,连接AP,AB,此时△PAB的周长最小.设直线CB的解析式 第39页（共48页）重点题型专练 专练（一） 1.解下列方程： (1)2(x-1)2-18=0; (2)(x+1)(x-1)+2(x+2)=9; (3)(x+2)2=2x+4; (4)(2x-1)2=(3-x)2. 元二次方程的解法与应用 2.电商时代使得网购更加便捷和普及.小张 响应国家号召，自主创业，开了一家网店， 他购进一种成本为100元/件的新商品， 在试销中发现：销售单价x(元)与每天销 售量y(件)之间满足如图所示的关系， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当销售单价x为何值时，小张每天获 得的利润达1200元，同时在价格上有 竞争优势？ y/件 130150x/元 ·23· 专练（二） 根的判别式和根与系数的关系 1.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x十1=3.已知关于x的方程m.x2十(3-m)x-3= 0的两个根.求下列各式的值： 0.(m为实数，m≠0) (1)(x1-3)(x2一3)； (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)(x1-x2)2; (2)如果此方程的两个实数根都为正整 (3)2+ 数，求整数m的值. 1x2 4.关于x的一元二次方程x2十3x+m=0 有实数根 2.已知关于x的一元二次方程x2一2x (1)求m的取值范围： k一2=0有两个不等的实数根 (2)若，2是方程的两根，且3(x十2)十 (1)求k的取值范围； x1x2=一7，求m的值. (2)给k取一个负整数值，解这个方程. ·24·