小专题1 配方法的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

思维拓展 0.a=3,b=-5,c=9.△=b2-4ac=(-5)2-4X3X9= 14.(1)完全平方公式[或a2士2ab+=(a士b)2](2)等 -83<0.方程无实数根：(2)方程化为6x2-13x+6=0.a 式的基本性质(3)三x1=√7-2,2=一√7-2 =6,b=-13.c=6.△=2-4ac=(-13)2-4×6×6=25 小专题一配方法的应用 >0.方程有两个不等的实数根x=一b士一4@c 2a 1.D2.D3.C4.355.解：a2+b=10a+8b 41,∴.a2-10a+25+b-8b+16=0..(a-5)2+(b-4)2 二《一浩医1告，即-是-号：3)方程化 2×6 =0..a-5=0,b-4=0..a=5,b=4..c是△ABC中 为2x2+2x-4=0.a=2,b=2,c=-4.△=-4ac= 最长的边，∴.5≤c<9..当c=5时，△ABC的周长取得最 小值，最小值为a+b十c=5+4+5=14.6.A7.解：小 (W2)2一4×2×（一4）=34>0.方程有两个不等的实数根 聪的判断正确.a2-4a+5=(a2-4a十4)十1=(a-2)2+1. x=- b士-4ac=一厄±34=-D±/3，即m= 2a 2×2 4 .(a一2)≥0，∴.(a-2)2+1>0,即该方程的二次项系数 不为0..无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程. -√2+√3 4 ,=2-34 4 14.解：(1)方程有两个 8.证明：x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+（y-4y+ 不相等的实数根.理由如下：.n=1一3，a=1,b=,c= 4)+11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11.故不论x,y取任何 n,.△=b}一4ac=m2-4n=m2-4(m3)=(m一2)2+ 实数，多项式x2十y一2x一4y+16的值总为正数.9.B 8.(m-2)2≥0，.△=(m-2)2+8>0..方程有两个不 10.A11.解：3.x2-5x-1-(2x2-4x-7)=x-x+6 相等的实数根；(2).方程有两个相等的非零实数根，∴.△ =(一2)+孕>0，∴不论x为何值时，3x-5x-1 =nm2一4=0.若m=2,则n=1,方程为x2十2x十1=0， (2x-4x-7)>0总成立.，.代数式3x2-5x-1的值总 解得x1=x2=一1（答案不唯一）. 大于2.x2-4x-7的值.12.C13.C14.1515.解： 思维拓展 (1)1小3(2)2大7(3)设垂直于墙的一边长为 15.解：(1)☐ABCD是菱形，AB=AD..△=(-m)2 xm,则平行于墙的一边长为(20一2x)m.∴.花园的面积为 -4(受-)=-2m+1=(m-1)=0∴m=1.当 x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x2-10x+25)+50= -2(x一5)2+50.∴.当花园与墙相邻的一边长为5m时， m=1时，☐ABCD是菱形.把m=1代入原方程，得x2一x 花园面积最大，最大面积是50m.16.解：(1)①4 十子-0.解得A==子“菱形ABCD的边长是2： ②(a-5)(a-7)③-4-9(2)△ABC是等边三角 (2)·AB=2,.x=2是原方程的一个根.把x=2代入原 形.理由如下：.a2+2b-2b(a十c)+2=0,∴.a2+2b2一 2ab-2bc+c2=0,∴.(a2-2ab+b)+(62-2bc+c2)=0, 方程，得4-2m+受-=0，解得m=号.把m=号代入 ∴.(a-b)2+(b-c)2=0.(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，∴.(a -b)2=(b-c)2=0,.a-b=0,b-c=0,∴.a=b=c, 原方程，得-多十1=0.解得石=2，m=之.∴AD ∴.△ABC是等边三角形 .∴ABCD的周长是2×(2+)=5. 21.2.2公式法 21.2.3 因式分解法 基础过关 基础过关 1.A2.B3.A4.15.方程有两个不等的实数根 6.A7.C8.253-29.解：(1)a=1,b=-6,c= 1.B2.A3.解：(1)因式分解，得x(2x-5)=0.于是 4.△=6-4ac=(一6)2-4×1×4=20>0.方程有两个不 得=0，或2一后=0，=0，=号：(2整理，得3y0y 等的实数根x=一b士F二4c=二（-)片V2@=3士 2a 2×1 一2)-4(y-2)=0.因式分解，得(y-2)(3y-4)=0.于 V5,即x1=3+5,x2=3-√5；(2)a=2,b=-3,c=-1.△ 是得y一2=0，或3y-4=0,y=2,y=号 4.(1)① =2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0.方程有两个 (2)④⑥(3)③⑤(4)②5.解：(1)移项，得x2+2x= 不等的实数根x=二b吐一4=二(-3)士应 323.配方，得x2+2x+12=323+12,(x+1)2=324.由此 2×2 可得x+1=士18.=一19,2=17；(2)整理，得7x(3 生亚，即1=3+亚，=3亚：3)方程化为2 x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x+2)=0.于是 -2√/5x+10=0.a=1,b=-25,c=10.△=6-4ac= 得3-1=0，或7x+2=0,n=33=-号：(3)a=1,6 (-2√5)2-4×1×10=-20<0.方程无实数根.10.D -5,c=-1.△=8-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29> 【变式】k≥-1 能力提升 0.方程有两个不等的实数根x=二b士=4@c 11.B12.1-7 13.解：(1)方程化为3a2-5a十9= （-》±四=5±⑧，即=5+，四， 2×1 、 第2页（共42页）小专题一配方法的应用 类型1利用配方法求字母或代数式的值 是正确的？并简述理由. 1.把一元二次方程x2十6x十4=0化成(x+ m)2=n的形式，则(m一n)2的值为( A.6 B.2 C.9 D.4 2.若关于x的一元二次方程x2一6.x十k=0通 过配方法可以化成(x十)2=p(p≥0)的形 式，则及的值不可能是 A.3 B.6 C.9 D.10 3.若a2+16a+b2一4b+68=0,则a的值 8.求证：不论x,y取任何实数，多项式x2+y2 是 ( 一2x一4y+16的值总为正数. A.16 B.-16C.64 D.-64 4.若(x2+2x+5)(y2+6y+12)=12,则 √10-5.x-4y= 5.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a+ b=10a+8b-41,且c是△ABC中最长的 边，求△ABC周长的最小值. 类型3利用配方法比较二次多项式的大小 9.已知P=号m-1,Q=m- m(m为任意实 数)，则P与Q的大小关系为 A.P-Q B.P<Q C.P=Q D.不能确定 10.（马鞍山模拟)已知a,b,c为实数，且b十c= 5-4a+3a,c-b=1-2a+a,则a,b,c之 间的大小关系是 () 类型2利用配方法判断二次多项式的符号 A.a<b<c B.b<a≤c 6.不论x为何实数，多项式x2一2x十3的 C.b≤c<a D.c<a≤b 值 11.请用配方法说明：不论x为何值，代数式 A.总是正数 3.x2-5x-1的值总大于2x2一4x-7的值. B.总是负数 C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数 7.已知关于x的方程(a2-4a十5)x2+2ax十 4=0.小聪认为，无论a为何实数，这个方程 都是一元二次方程；而小明认为，方程的类 型要取决于字母a的取值.你认为谁的判断 7名师测控·数学九年级上册配RJ版 类型4利用配方法求最值 式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的 12.关于代数式x2一4x十9的说法正确的 应用. 是 ( ) 例如：①用配方法因式分解：a2+6a十8. A.有最小值9 B.有最大值5 解：原式=a十6a十9一1 C.有最小值5 D.无最大值和最小值 =(a+3)2-1 13.关于多项式一x2十6x十7的说法正确的 =(a+3-1)(a+3+1) 是 =(a+2)(a+4). A.有最大值7 B.有最小值7 ②求x2+6x十11的最小值 C.有最大值16 D.有最小值16 解：原式=x2+6.x十9+2 14.（易错题)已知实数m,n满足m一=1，则 =(x+3)2+2. 代数式m2+22+6m+8的最小值是 .(x+3)2≥0，.(x+3)2+2≥2， 15.配方法可以用来解一元二次方程，还可以用 即x2十6x+11的最小值为2. 它来解决很多其他问题，例如：因为3a≥0， 请根据上述材料解答下列问题： 所以3a2+1≥1，即3a十1有最小值1，此 (1)填空： 时a=0.同样，因为一3(a十1)≤0，所以 ①在横线上添上一个常数项使之成为 -3(a+1)2+6≤6，即-3(a+1)2+6有最 完全平方式：a+4a+ 大值6，此时a=一1. ②用配方法因式分解：a一12a十35= (1)当x=时，代数式2(x-1)2+3有 最（填写“大”或“小”）值为； ③当x= 时，代数式x2+8x+ (2)当x= 时，代数式一x2十4x+3有 7取最小值，为 ； 最（填写“大”或“小”）值为； (2)已知a,b,c是△ABC的三边，且满足 (3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面 a2+2b-2b(a+c)+c2=0,判断此三 所用栅栏的总长度是20m,当花园与墙 角形的形状，并说明理由。 相邻的一边长为多少时，花园的面积最 大？最大面积是多少？ 16.阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到 局部完全平方式，再进行有关运算和解题， 这种解题方法叫做配方法.配方法在代数 第二十一章一元二次方程8