小专题1 与正方形有关的常考题型&小专题2 特殊平行四边形中的折叠问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

小专题一 与正方形有关的常考题型 类型1 正方形中相交垂直问题模型 方形A1B1C1O的一个顶点，OA交AB于点 万法指得 E,OC交BC于点F. 已知正方形ABCD中， (1)求证：△AOE2△BOF: 如图①，若AF⊥BE,则AF=BE; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方 如图②，若EF⊥GH,则EF=GH, 形A1B1C1O绕点O转动，两个正方形重 叠部分的面积等于多少？为什么？ 图① 图② 1.（教材P21例1变式)如图，在正方形ABCD 中，E,F分别在BC,CD上，BE=CF,AE与 BF之间有怎样的关系？请说明理由. 【变式1】如图，在正方形ABCD中，点O是 对角线AC,BD的交点，过点O作射线OM, 【变式】如图，在正方形ABCD中， ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF= E,F分别在CD,BC边上，AE与 90°，OC,EF交于点G,有下列结论： DF相交于点P,∠APD=90°， ①△DOF≌△COE;②CF=BE;③四边形 那么AE和DF的数量关系是 DE和CF的数量关系是 CEOF的面积为正方形ABCD面积的； 类型2正方形中过对角线交点的垂直 ④OF2+OE=EF.其中正确的是( 问题模型 A.③④ B.①②③ 方法指得 C.①②④ D.①②③④ 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,正方形A1B1CD的顶点D1与点O重合，则 △AOE≌△BOF. (变式1题图) (变式2题图) 【变式2】如图，在正方形ABCD中，点O是 对角线AC,BD的交点，过点O作OE⊥OF, 2.(教材Ps习题T4变式)如图，正方形ABCD 分别交AB,BC于点E,F.若AE=4,CF= 的对角线AC和BD相交于点O,O又是正 3,则EF的长为 17名师测控·数学九年级上册配BSD版 类型3正方形中轴对称问题模型 【变式】如图，四边形ABCD是正方形，E是 方法指导 边BC上任意一点，∠AEF=90°，且AE= 如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，则 EF,则∠ECF的度数为 AABE≌个CBE,∧ADE≌∧CDE 类型5正方形中半角问题 3.如图，在正方形ABCD中，∠DAF=15°，AF 方法指得 在正方形ABCD中，如图，∠EAF=45°，延长 交对角线BD于点E,交CD于点F,连接 FB到点G,使BG=DE,则△ABG≌△ADE,△AEF CE,求∠BEC的度数. ≌△AGF. 5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE= 类型4正方形中“外角平分线”问题模型 BE十GD成立吗？为什么？ 方法指得 在正方形ABCD中，点E在直线BC上，EF交 外角∠DCG的平分线（图①）或其所在直线（图②）于 点F,AE⊥EF,则有AE=EF 图① 图② 4.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC 上任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角 ∠DCG的平分线C℉于点F.求证：AE=EF 第一章特殊平行四边形18 小专题二特殊平行四边形中的折叠问题 类型1折叠后顶点落在另一个顶点上 类型3折叠后顶点落在对角线上 1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点4.如图，若菱形ABCD的 B重合，点C落在点C'处，折痕为EF.若 边长为2cm,∠A=B ∠EFC=125°，则∠ABE的度数为( 120°，将菱形ABCD折 A.15° B.20° C.25° D.30° 叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O ) 处，折痕为EF,则EF的长为 cm. 类型4沿对角线折叠 5.(教材Ps习题T15变式)如图①，将一张矩形 纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点 (第1题图) (第2题图) C落到点E处，BE交AD于点F 类型2折叠后顶点落在一边上 2.如图，正方形ABCD的边长为8，将正方 形折叠，使顶点D落在BC边上的点E 处，折痕为GH.若BE=EC,则线段CH 图① 图② 的长是 (1)求证：△BDF是等腰三角形： A.3 B.4 C.5 D.6 (2)如图②，过点D作DG∥BE,交BC于点 3.如图，正方形ABCD的边长为12，将正方形 G,连接FG交BD于点O. 沿着EF折叠，使点D落在点G处，点A落 ①判断四边形BFDG的形状，并说明 在BC边上的点N处，连接AN.已知BN= 理由； 5.求△AEN的面积. ②若AB=6,AD=8,求FG的长， 19名师测控·数学九年级上册配BSD版矩形..AO=CO=DOEO,DC=AE.∠AOE■0°，AE■4，∴.△AOE是等边三角 思维拓展 (2)四边形BDCF是菱形.理由如下：，△ADE≌△FCE,,.AD=FC.,∠ACB=90, 形，.AO=E0=AE=4,∴.AC=8,,∠ADC=90,∴.AD=AC-DC=45 10.解：(1)如图，过点E作EP⊥CD于点P,Q⊥BC于点Q,则∠QP 点D是AB的中点，.AD=BD=CD=亏AB..BD=FC,又AB∥CF.四边形 思维拓展 =∠EPD=90°.四边形AD为正方形，.∠BCD=90°，∠DCA 12.鲜：(1)1a-/13+6-2+(c-3)2=0,a-13≥0，/-2≥0，(c-3)2≥ ∠CA,·∠QEP=9O,EQ=EP.又，四边形DEFG为矩形，∴.∠DEF BDCF是平行四边形.又：BD=CD,∴.四边形BDCF是菱形.5.C6.47.证明 0,a-√/13=0，b-2=0,-3=0,.a=/13,6=2,c=3.:+2=2+3=13= =9O,∴.∠QEP=∠DEF,.∠QEP-∠FEP=∠DEF-∠FEP,即 ∠QEF=∠PED. (1)ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD,.∠ABC=∠ECB,:CE=DC a,.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，，PM⊥AB,PN⊥AC,,.∠AMP= ∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中，EQ=EP, '.△EQFA△EPD ∠ABF=∠ECF, ∠ANP=90,.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90,.四边形AMPN是矩形，(2)存在 ∠EQF=∠EPD. ,CE=AB,在△ABF和△ECF中，∠AFB=∠EFC,∴△ABF≌△ECF(AAS) 连接AP.:四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最短.此时 (ASA),.EF=ED,,矩形DEFG是正方形：(2)在R1△ABC中，由勾服定理.得AC AB-EC. 5点=AB·AC=号BC·AP,∴2X3=AP,AP=6即MN的长度最 =AB+B=√EAB=22.又CE=E,.AE=CE=2,即E是AC的中点 (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.AB∥CE,AB=CE,,.四边形ABEC 3 DE⊥AC,点F与点C重合，此时△DG是等腰直角三角形，.四边形DG是正 是平行四边形.：AD=AE,.BC=AE,,四边形ABEC是矩形.8.C9.410.D 小值为 方形，.CG=CE/2,(3)分两种情况进行讨论：①当DE与AD的夹角为30时 11.8512.解：(1)在正方形ABCD中，∠ADC=90°，，GE⊥CD,.∠GC=90, ∴.∠ADC=∠(GEC,.AD∥GE,∴.∠DAG=∠EGH:(2)AH⊥EF,理由如下：连接G 3正方形的性质与判定 ∠EFC=120+②当DE与C的夹角为30时，∠EFC=30°.棕上所述，∠EF℃=120 或30 交EF于点(O.BD为正方形ABCD的对角线..∠ADG=∠CDG=45,又，DG 第1课时正方形的性质 小专题·与正方形有关的常考题型 DG,AD=CD,∴.△AI☑△CDG(SAS),∴.∠DAG=∠G.在正方形ABCD中 基础过关 L解：AE=BF且AE⊥BF.星由如下：四边形ABCD是正方形，，AB-BC,∠AB距 ∠ECF=90°，又，'GE⊥CD,GF⊥BC,.∠GEC=∠GFC=0',,四边形FCEG为矩 1.D2.D3.904.B5.A6.D7.B【变式160°8.29.解：(1)四边形 =∠C=90.又BE=CF,∴.△ABE≌△BF(SAS),'.∠BAE=∠CBF,AE=BF.又 形，∴.OE=(C,∴.∠(OC=∠DCG,.∠DAG=∠C.由(1)得∠DAG=∠GH, ABD,AGFE是正方形，，AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG,∠DAB+∠FEAD= ∠BAE+∠AEB=90,∴.∠CBF+∠AEB=90..∠BE=90,.AE⊥BF, .∠EGH=∠OEC,·∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°，∴.∠GHE AE=AG. 【变式】AE=DFDE=CF2.解：(1)四边形ABCD和四边形A:BCO是正方形 =180°-（∠FGH+∠GEH)=180-90'=90°，∴.AH⊥EF ∠EG+∠EAD.即∠EAB-∠GAD.在△EAB和△GAD中.∠EAB=∠GAD,∴△EAB .A0=0),∠AOB=∠A0C1=90°，∠(0AB=∠OC=45.∴.∠A(OE+∠EB=90. 常考题型演练 AB-AD. ∠BOF+∠EOB=90°.∠AOE=∠BOF..△AOE2△BOF(ASA):(2)两个正方形 ≌△GADSAS):(2),△EAB2△GAD,,EB=GD.四边形ABCD是正方形，AB 1.A2.B3D4.A5.46.27.2.58解：(1)如图 (2)AE 重叠部分的面积等于子d,理由如下：”△AOE2△OF,·S5%ME=SmF =3V2..BD⊥AC.AC=BD=√2AB=6,∠DOG=90,OA=OD=5BD=3.AG ∴S=Sa形十+Sa=S2十SE=Sa=SE带=子.【变式1D =3,.(G=0A十AG=6,'.GD=√OD+=3+6=35,.E=35. 能力提升 【变式2】53.解：：四边形ABCD是正方形，.BA=C,∠ADB=∠ABE=∠CBE CF.证明如下：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠EAO=∠F(O,∠AEO= 10.B11.A12.解：(1)BM=DN.证明如下：：四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD 5.又BE=BE,△ABE≌△CBE(SAS),∴∠BEA=∠BEC.∠BEA-∠ADE ∠CFO.,EF是AC的垂直平分线，.AO=(CO,.△AOE2△CF(AAS),.AE ∠BCD=∠DCN=90.又'CM=CN,.△BCM≌△DCN(SAS),.BM=DN: 十∠DAF=45+15=∞°，，∠BEC=60.4.证明：在AB上截取BM=BE,连接 CF. 9.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD,.∠DF=∠BE),:点O是对 (2)△BCM≌△DCV,∠BC=6防，.∠DNC=∠BMMC=65.∠DCN=90°，CM ME,四边形ACD是正方形.·∠B=∠DCB=O',AB=BC,·∠BME=∠BE DFO/BE0. =CN,∴∠CNM=45.∠MND=∠DNC-∠CNM=2o. =45,·∠AME=180一∠BME=180°-45=135.：CF是正方形外角∠DCG的平 角线BD的中点..(D=OB在△DXF和△E中，∠DF=∠BOE,.△D)≌ 思维拓展 分线，·∠DCF=45,.∠CF=∠CD+∠DCF=90°+45=135，"∠AEF=90°. OD=OB. 13.解：(1)PE+PF的值是定值.四边形ABCD为正方形，·AO=BO,AC⊥BD, ,.∠AEB+∠CEF=90.又∠AEB+∠AMAE=90,.∠MAE=∠CEF.AB △BOE(AAS,.DF=BE.DF∥BE,四边形BEDF是平行四边形.又DE= BC,BM=BE,.AB-BM=BC-BE,即AM=EC.∴.△AME≌△ECF(ASA),∴.AE ∴∠AOB=90C.∴在等腰直角三角形AOB中，易得AO-BO号a.?PF⊥BD,PE1 DF,.四边形DEBF是菱形：(2)由(I)得四边形DEBF是菱形，∴.(OE=OF,EF⊥BD =EF.【变式】135”5.解：(1)，四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠B=∠CDF =90.又BE=DF,.△CBE≌△CDF(SAS),.CE=CF:(2)GE=BE+GD成立 "OB=OD=2BD=4,.OE=√E一OB=√分一4=3，.EF=2OE=6,∴.菱形 AC,∴.∠PFO=∠PEO=90°，.∠EOF=∠PF)=∠PEO=0',.四边形PFOE为 理由如下：由(1)，得△CBEQ△CDF,,∠BCE■∠DCF,∴，∠BCE+∠ECD=∠DCF 矩形，∴.PE=OF,又：∠PBF=45,易得△PBF是等腰直角三角形，.PF=BF, +∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又∠GCE=45,∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE DEBF的面积为号BD×EF=之×8X6=24.10.解：1)：四边形ACCD为矩形，点 PE+PF=OF+BF=OB=号a:(2):∠EOF=∠PEO=∠PFO=90.四边形 0°-45'=45，∴.∠GCF=∠GCE,又'CE=CF,GC=GC,.△ECG2△FCGOSAS), D的坐标为(10,8)，'.AD=OC=10,D=AO=8,'矩形A(D沿AE折叠，使点D ..GE-GF.YGF-DF+DG...GE-BE+GD. PFOE为矩形，，PE=OF.又，∠PBF=∠ABO=45,易得△PBF是等腰直角三角 落在边OC上的点F处，AD=AF=1O,DE=EF,在R1△AOF中，由勾股定理，得 小专题二特殊平行四边形中的折叠问题 形，∴PF=那，PE-PF=O-BF=OB=号。 OF=/AF-A予=/10-8=6，..FC=OC-OF=10一6=4.设CE=x,则DE= 1.B2.A3.解：四边形ABCD是正方形，.∠B=0.由折叠的性质，得NE= EF=8一x,在R△CEF中，由每股定理，得EF=C十FC,即(8一x)=x十4，解 AE,设NE=AE=x,则BE=AB一AE=12一x,在R△EBN中，由勾股定理，得BN 第2课时正方形的判定 得x=3,即CE的长为3：(2)CE的长为3，点E的坐标为(10,3). 基础过关 +BE=NE,即+12-=，解得=婴AE=婴S=之AE·BN 第二章一元二次方程 1.A2.AC⊥BD3.A4.证明：四边形ABCD是正方形..AB=BC=CD=DA, 455.解：(1)由折叠的性质，得△BD≌△BDE,∴.∠DBC 1认识一元二次方程 ∠A=∠B=∠C=∠D=90.又AA'=BB=CC=D,∴DA=A'B=BC=CD 易得△AA'D'≌△BBA'≌△CCB'≌△DD'C‘(SAS)..DA'=A'B'=BC=CD', =∠DBE四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠DBC=∠FDB,·∠DBF 第1课时 一元二次方程 ,四边形A'B'C'D是菱形.由全等知∠ADA'=∠BA'B'.又：∠ADA'十∠AA'D= ∠FIDB,∴.DF=BF,∴.△BDF是等腰三角形：(2)①四边形BFDG是菱形.理由如下 基础过关 90°，.∠AAD+∠BA'B=90.∴.∠DAB'=180°-（∠AA'D'+∠BA'B)=90, ,四边形ABCD是矩形，∴.FD∥BG.又：DG∥BE,,四边形BFDG是平行四边形. 1.B2.D3.A4.一2y一3=05.解：(1)由原方程得到2r一r-1=0,二次项系 四边形ABCD'是正方形，5.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AO=(OC, DF=BF,.四边形BFDG是菱形：②在R:△ABD中，由勾股定理，得BD= 数为2，一次项系数为一1，常数项为一1：(2)由原方程得到x2一2x十3=0，二次项系数 即点O是AC的中点.，△ACE是等边三角形，.EOAC,即BD⊥AC,∴.四边形 /AB+AD■/6+8=10.四边形BFDG是菱形，.GF⊥BD.FG=2FO,OB 为1，一次项系数为一2，常数项为3.6.B7.301(1+x)尸=5008.解：根据题意列方 ABCD是菱形.，'△ACE是等边三角形，.∠EAC=60,,∠AEO=30°.，∠AED- 2BD=友设DF=BF=x,期AF=AD-DF=8一工在R△ABF中，由勾股定理，得 程，得x(x十4)=60，化成一般形式为x十4z一60=0.9.B 2∠EAD,.∠EAD=15°，.∠DAO=∠EAO-∠EAD=45.四边形ABCD是菱 能力提升 形，∠BAD=2∠DAO=90,.四边形ABCD是正方形.6.C A+AF-BF产，即6+(8-x)-2,解得x-要BF-克在R△F0B中，由勾 10.C1L,B2.(x一2)2+(x一4)产=x213.解：小南同学的解题过程有错.正确的 能力提升 胶定理，得0-BPO丽-√()--5∴FG-2P0-号 解题过程如下：根据题意，得 0十气2解得：或一·云m3甲加的 7.D8.2反9.解：(1)四边形BPCO为平行四边形.理由如下：四边形ABCD为平 m-1≠0， 21 行四边形0C=0M=zAC,OB=OD-空BD.以点B.C为圆心，空AC,亨BD长 第一章整合与提升 值为-3.14.(x-D号r(-1)-1)=28-x=28子-x-56 为半径画弧，两弧交于点P,OB=CP,BP=(OC,.四边形BP)为平行四边形： 高频考点突破 =01=1.56 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形.：四边形BP)是正方形， 1.B2.A3.(33)4.解：(1)C℉∥AB,∠CFE-∠DAE.,E为CD的中点， 思维拓展 ,.以O=CO,∠BC-90”,即AC⊥BD.,四边形ABCD是平行四边形，，，AC=2CO, DA=下F. 15.解：(1)(90-2.r)(70一2x)(90-2.x)70一2x)=1700(2)用到了数形结合的 BD=2B),,AC=BD,.当□ABCD的对角线满足AC⊥BD,AC=BD时，四边形 :DE=CE.在△ADE和△FCE中，∠AED=∠FEC,△ADE≌△FCE(AAS): 数学思想：(3)化为一般形式为x2一80r十1150■0：是一元二次方程：二次项系数为1， BP()为正方形 DE=CE. 一次项系数为一80，常数项为1150， 第4页（共48页） 第5页（共48页） 第6页（共48页）