第一章特殊平行四边形训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 训练 一、单选题 1．下列判断错误的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形 D．两对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 2．如图，在正方形中，与交于点，以为斜边向外作，连结，若，，则（   ） A．8 B． C． D．10 3．如图，在边长为4的正方形中，E是边上的一点．若，Q为对角线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 6．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 8．如图，在长方形中，依次画出正方形、正方形、正方形若要确定线段的长，只需知道（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 9．如图，在菱形中，对角线和相交于点O．若，，则菱形的周长为（    ）． A．5 B．10 C．20 D．40 10．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（    ） A．一定不是平行四边形 B．一定是菱形 C．可能是轴对称图形 D．当时，它为矩形 二、填空题 11．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ． 12．如图矩形中，对角线，相交于点，，则 度． 13．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，则的面积为 ． 14．如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，．则的最小值是 ． 15．如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为 ，菱形ABCD的面积为 ． 三、解答题 16．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，点D落在点B处，使点C落在点处，折痕为．求证：． 17．如图，在菱形中，，． (1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 18．如图，平行四边形中，、分别是、上的点，，． (1)若、分别是、的平分线，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，且周长为，求平行四边形的面积； (3)若四边形是菱形，且平行四边形的周长是整数，直接写出最大周长． 19．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，点F是的中点，求的长． 20．在正方形中，点E是边上一动点（不含端点B、C）． (1)如图1，，，连接． ①求证：； ②求证：． (2)如图2，N为的中点，连接，求证：； (3)如图3，若，直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形 训练2025—2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A D A D D C C 1．D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； B、一条对角线平分内角的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； C、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； D、两对角线互相垂直且平分的四边形不一定是矩形，错误，符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 证明，可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 3．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，首先解得，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线对称，故的长即为的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形为正方形，且边长为4，， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴周长， 当在同一直线上时，可有， 即的长为的最小值， ∴周长的最小值． 故选：B． 4．A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，过点G作直线于点M，交于点N，证明和全等得，再证明进而可证明和全等得，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，即可解答． 【详解】解：连接，过点G作直线于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴ ∴， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ， ， ， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：，且， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要运用全等三角形的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理来求解．先根据全等三角形性质得出四边形边和角的关系，判断四边形形状，再通过设未知数结合已知条件列方程组求出直角边长度，最后用勾股定理求出四边形边长进而得到面积． 【详解】解：∵如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形， ∴，，， ，， ∴四边形是菱形，，， ∴ ∴四边形是正方形， ∵，， ∴设，， ∴， 解得， 在中，，， ∴， ∴四边形的面积是 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 8．D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x，则，，，进而得，，由得，则，继而得，据此即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x， ，，， ，， 在长方形中，，， 由，得， ， ， 若要确定线段的长，只需知道线段的长即可． 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识，正确把握菱形的性质是解题关键． 直接利用菱形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长是：． 故选：C． 10．C 【分析】根据三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定解答即可． 本题考查的是中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的判定，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A错误； 当时， ∴四边形是菱形， ∴B，D都是错误的， 当四边形是菱形时，可以是轴对称图形， ∴C正确； 故选：C． 11．20 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质．根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，，且， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形， ， ． 故答案为：20． 12． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求出的长是本题的关键．先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】解：设与交于点，作于点， 点A的坐标为，点C的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得， 解得，即， ， 在中，，， 由得， ， 在中，由勾股定理得， ， 点的坐标为， 故答案为：． 13．12 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 先利用中位线定理求出，再由的面积等于矩形面积进行求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：12． 14． 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．通过作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值就等于的长度，然后利用勾股定理求出． 【详解】解：作点关于的对称点，连接． 是的中点，正方形边长为， ，那么在的延长线上，且， ． 在直角三角形中，，． ． ， 根据两点之间线段最短，的最小值就是的长度， 的最小值是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了菱形是中心对称图形的性质以及全等三角形的判定和性质，构造正确的辅助线是解题的关键． 根据菱形是中心对称图形可得，进而可证，故；根据菱形是中心对称图形可得，，故 【详解】解：如图，连接 是对角线的交点，且菱形是中心对称图形， 点和点关于点中心对称，点和点关于点中心对称， ． ， (SAS)． ． 菱形是中心对称图形，点是对称中心， 过对称中心的直线把菱形分为面积相等的两部分 ， 故答案为：①② 16．见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可得，，，进而证明，可证． 【详解】证明：在长方形中，，，． 由折叠的性质可得，，， ，，， ， ． 17．(1)见解析 (2)证明见解析，周长为 【分析】本题考查了作垂线，矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据垂线作法直接作垂线即可； （2）截取线段，连接，根据菱形的性质结合可证得四边形是平行四边形，再结合（1）作法可得，从而证得平行四边形是矩形，再根据锐角三角函数和菱形的性质即可求得矩形的长与宽，从而求得四边形的周长． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求作的高． （2）解：如图，截取线段，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 由（1）作法知：， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∴，， ∴矩形的周长为：． 18．(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形三边之间的关系，勾股定理是解决问题的关键． （1）根据平行四边形得，，则，再根据角平分线定义得，，进而得，则，由此即可得出结论； （2）若四边形是矩形且周长为，则，进而得，在中，由勾股定理求出得，然后再根据平行四边形的面积公式可得平行四边形的面积； （3）若四边形是菱形时，则，证明得，进而得平行四边形的周长为，因此当为最大时，平行四边形的周长为最大，在中，，，由三角形三边之间的关系得，然后根据平行四边形的周长是整数的最大整数为，据此可得平行四边形周长的最大值． 【详解】（1）证明：如图1所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形时，如图2所示： ， 四边形周长为， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得： 平行四边形的面积为： （3）若四边形是菱形时，如图3所示： ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长是：， 当为最大时，平行四边形的周长为最大， 在中，，， 根据三角形三边之间的关系得：， ， 平行四边形的周长是整数， 必为整数， 的最大值为， 平行四边形周长的最大值为：． 19．(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由三角形内角和定理和平角的性质可求解； （2）由可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，，， ，，， ∴∠ECA=∠DCB， ，， ； （2）证明：连接， 在和中， ， ，， ， 是直角三角形， ， ； （3）解：如图2，过点作于， ，，，， ， ， 点是的中点， ， 都是等腰直角三角形，，， ， ， ． 20．(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据正方形的性质，结合同角的余角相等，即可得证；②在上取点G，使，连接，证明，即可得出结论； （2）延长到，使．连接，证明，得到，进而得到，得到，证明，推出为等腰直角三角形，三线合一，推出，，即可得证； （3）作，交的延长线于点，过E作于，则，得到当D、E、K三点共线时，的值最小，垂线段最短，得到当时，的值最小，此时的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）证明：①在正方形中，，． ∵， ∴． ∴． ∴．即：， ②在上取点G，使，连接， ∵，，． ∴，． ∴． 又∵， ∴ ∴． （2）延长到，使．连接． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 在四边形中，． ∴． ∴ 由（1）知，． ∴． ∴，． ∴， ∴ ∵，． ∴，． ∴，． （3） 作，交的延长线于点，过E作于，则． ∴． ∴当D、E、K三点共线时，的值最小， ∵在上， ∴当时，的值最小，此时的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握正方形的性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$