专题02 特殊四边形的解题模型（知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学九年级上册考前冲刺

专题02 特殊四边形的解题模型 （知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 解题模型1：含60°角的菱形 1 解题模型2：正方形中的风车模型 2 解题模型3：与特殊平行四边形有关的最值模型 2 解题模型4：半角模型 3 解题模型5：正方形十字架模型 4 解题模型6：垂美四边形 4 解题模型7：中点四边形 5 优选题型 考点讲练 5 题型1：中点四边形 5 题型2：十字架模型 7 题型3：梯子模型 12 题型4：对角互补模型 13 题型5：中位线 18 题型6：与正方形有关的三垂线 19 题型7：正方形与45°角的基本图 22 解题模型1：含60°角的菱形 基础 进阶 条件 四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交与点O，∠ABC=60° 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=60° 图示 结论 1)∠ABD=∠CBD=30°； 2) △ABC，△ACD为等边三角形 3)AB：AD：BD=1:1:； 4) 1) △AEF为等边三角形; 2) △ABE≌△ACF，△AEC≌△AFD. 解题模型2：正方形中的风车模型 条件 已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90° 图示 解题策略 利用正方形的性质（对角线互相平分且垂直，对角线与边的夹角是45°），通过“ASA”证明△OAE≌△OBF或△OBE≌△OCF. 结论 1) △OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF 2) BE+BF=AE+FC=AB 3) △EOF为等腰直角三角形 4) 5) 6) (当OE⊥AB时OE取最小值) 解题模型3：与特殊平行四边形有关的最值模型 类型一 矩形对角相等求最值 条件 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点D作直角边的垂线段，求EF长的最小值 结论 类型二 利用菱形/正方形的对称求最值（已菱形为例） 使用场景：在菱形ABCD 中，E，F分别是AC，CD 上的点，求线段长度和DE+EF的最小值. 图示： 解题策略: 连接BE，根据对称性，可知DE=BE，则DE+EF=BE+EF≥BF，根据“垂线段最短”确定当BF⊥CD时BF取最小值，再通过等面积法或勾股定理求出EF的长度.正方形对角线，连接顶点对称现 大招结论：连接BF，当BF⊥CD时BF取最小值. 解题模型4：半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 解题模型5：正方形十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 解题模型6：垂美四边形 已知 四边形中AC⊥BD 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP 图示 结论 S四边形ABCD=AC•BD 解题模型7：中点四边形 【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③ 【名师总结】 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 题型1：中点四边形 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（   ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（   ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（   ） (2)如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； (3)如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 题型2：十字架模型 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 6．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 7．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 8．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 题型3：梯子模型 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 11．（21-22九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 题型4：对角互补模型 13．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 14．（24-25八年级下·北京平谷·期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 15．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 16．（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 题型5：中位线 17．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，以等边的边为斜边在外作，，，将绕着点逆时针旋转得线段，平移线段使得点与重合，得到线段，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则线段的长为 ． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 19．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）梯形ABCD中，，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是 ． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，在△ABC 中，D在边AB上． （1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC2 = AD· AB； （2）若E为CD 中点，∠ACD =∠ABE，AB = 3，AC=2，求BD的长．        题型6：与正方形有关的三垂线 21．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为 ．    24．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 题型7：正方形与45°角的基本图 25．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 26．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 27．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 28．（21-22八年级下·湖北咸宁·期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊四边形的解题模型 （知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 解题模型1：含60°角的菱形 1 解题模型2：正方形中的风车模型 2 解题模型3：与特殊平行四边形有关的最值模型 2 解题模型4：半角模型 3 解题模型5：正方形十字架模型 4 解题模型6：垂美四边形 4 解题模型7：中点四边形 5 优选题型 考点讲练 5 题型1：中点四边形 5 题型2：十字架模型 17 题型3：梯子模型 28 题型4：对角互补模型 31 题型5：中位线 43 题型6：与正方形有关的三垂线 50 题型7：正方形与45°角的基本图 58 解题模型1：含60°角的菱形 基础 进阶 条件 四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交与点O，∠ABC=60° 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=60° 图示 结论 1)∠ABD=∠CBD=30°； 2) △ABC，△ACD为等边三角形 3)AB：AD：BD=1:1:； 4) 1) △AEF为等边三角形; 2) △ABE≌△ACF，△AEC≌△AFD. 解题模型2：正方形中的风车模型 条件 已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90° 图示 解题策略 利用正方形的性质（对角线互相平分且垂直，对角线与边的夹角是45°），通过“ASA”证明△OAE≌△OBF或△OBE≌△OCF. 结论 1) △OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF 2) BE+BF=AE+FC=AB 3) △EOF为等腰直角三角形 4) 5) 6) (当OE⊥AB时OE取最小值) 解题模型3：与特殊平行四边形有关的最值模型 类型一 矩形对角相等求最值 条件 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点D作直角边的垂线段，求EF长的最小值 结论 类型二 利用菱形/正方形的对称求最值（已菱形为例） 使用场景：在菱形ABCD 中，E，F分别是AC，CD 上的点，求线段长度和DE+EF的最小值. 图示： 解题策略: 连接BE，根据对称性，可知DE=BE，则DE+EF=BE+EF≥BF，根据“垂线段最短”确定当BF⊥CD时BF取最小值，再通过等面积法或勾股定理求出EF的长度.正方形对角线，连接顶点对称现 大招结论：连接BF，当BF⊥CD时BF取最小值. 解题模型4：半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 解题模型5：正方形十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 解题模型6：垂美四边形 已知 四边形中AC⊥BD 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP 图示 结论 S四边形ABCD=AC•BD 解题模型7：中点四边形 【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③ 【名师总结】 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 题型1：中点四边形 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①×②×③√ (2)见解析 (3)①2；② 【思路引导】（1）①根据菱形、正方形的性质判断即可； ②根据菱形的判定和性质判断即可； ③根据中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的判定和性质得到，即可证明平行四边形是矩形，进而判断即可； （2）连接，，根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“等对”四边形； （3）①连接，根据正方形的性质得到，，可得，证明，进而证明，得到，即可求出的长； ②过点E作，过点M作，可知四边形是平行四边形，进而得到，当D，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【规范解答】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误， 故答案为：×； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误， 故答案为：×； ③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 矩形对角线相等， 故答案为：√； （2）证明：连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“等对”四边形； （3）①解：连接，在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当D，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴，即， 作交于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 【考点剖析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（   ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（   ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（   ） (2)如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； (3)如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①见解析；② (3) 【思路引导】（1）根据定义，逐一分析，即可解答； （2）①取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；②过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，通过证明得到，在中利用勾股定理即可求解； （3）分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可得，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，即可求得答案． 【规范解答】（1）解：（1）∵点E，F，G，H依次是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 当时， ， ∴平行四边形是矩形，即平行四边形有可能是“博学四边形”，故①错误； 当时，， ∴平行四边形是菱形， 即对角线相等的四边形是“博思四边形”，故②正确； 当四边形是正方形时，则有，， ∴，， ∴平行四边形是正方形． ∴正方形一定是“博闻四边形”，故③正确； 故答案为：①×；②√；③√． （2）①证明：如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形，即原四边形是“博闻四边形”； ②解：过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，如图， 则有， ∴， 由①及题意得，，，， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接，连接交于O，连接、， ∵ 四边形是“博闻四边形”，M，N分别是，的中点， ∴ 四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ N，F分别是的中点， ∴， ∴， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）①知：， 在和中 又∵M，N分别是直角三角形斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的最小值是2， ∴， 解得， ∴． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中点四边形”的定义并运用是本题的关键． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【规范解答】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【规范解答】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 题型2：十字架模型 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 6．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【思路引导】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【规范解答】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 7．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 【答案】(1) (2)猜想．证明见解析 (3) 【思路引导】（1）根据同角的余角相等得．再由证明即可得到； （2）两种方法：通过辅助线构造证得，或通过辅助线构造证得，再由即可证明结论． （3）通过延长，使，构造，进而得到，结合求出答案． 【规范解答】（1）解：当四边形是正方形，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：思路一：如图，在上取一点M，使，则，    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 思路二：如图，在延长线上取点N，使，则，    根据菱形的性质，， ∴， 又∵，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，使，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了特殊四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，等边三角形和等腰三角形的性质等知识点． 8．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 题型3：梯子模型 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】(1) (2)梯子的底端B在水平方向滑动了 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【规范解答】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 11．（21-22九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 【答案】梯子顶端下滑的距离是3米． 【思路引导】利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解； 【规范解答】解：在直角△AOB中，OB=（m）． 设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x， 在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225； 解得：x=0（舍）或x=3． 答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等； 【考点剖析】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【答案】 【思路引导】取的中点，连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得，在中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得，据此解题． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型4：对角互补模型 13．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 14．（24-25八年级下·北京平谷·期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． (1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； (2)在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）由“完美四边形”定义可求解； （2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论； 想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论； ②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解． 【规范解答】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补， 正方形是“完美四边形”． 故答案为：④； （2）解：①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 15．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【思路引导】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证； （2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证； （3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 【规范解答】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°， ∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中， ， ∴△MND≌△QND（SAS）， ∴MN=QN， ∵QN=AQ+AN=BM+AN， ∴BM+AN=MN； （2）：. 理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP， 则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°， ∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中， ， ∴△MND≌△MPD（SAS）， ∴MN=MP， ∵BM=MP+BP， ∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴△BMG是等边三角形， ∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND， 根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN， ∴MN=MH， ∴GH=MH-MG=MN-BM=AN， 即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中， ， ∴△ANE≌△GHE（AAS）， ∴AE=EG=2.1， ∵AC=7， ∴AB=AC=7， ∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8， ∴BM=BG=2.8． 故答案为：2.8 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点． 16．（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 【答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米． 【思路引导】（1）利用外角的性质可求解； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积； （2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解． 【规范解答】解：（1）如图1，延长BC交AD于E， ∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC， ∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°， 故答案为：115°； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE， 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠BCE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE， ∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE， ∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，   ∵BD=BE=6，∠DBE=90°， ∴S△BDE=×BE×BD=18， ∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18； （4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD， ∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°， ∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF=BD=DF， ∵∠ADC=30°， ∴∠ADB+∠BDC=30°， ∴∠BFA+∠ADB=30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°， ∴∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠FAD=90°， ∴DF=， ∴BD=(米)． 答：对角线BD的长度为米． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型5：中位线 17．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，以等边的边为斜边在外作，，，将绕着点逆时针旋转得线段，平移线段使得点与重合，得到线段，连接，点分别为线段的中点，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】连接，先证出四边形是平行四边形，根据三角形的中位线定理可得，再利用勾股定理求出，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，最后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：如图，连接， 由平移的性质得：， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分，，， ∵点是的中点， ∴点也是的中点， 又∵点是的中点，， ∴（三角形的中位线定理）， 由旋转的性质得：，， 在，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、二次根式的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，综合性强，正确找出点的运动轨迹是解题关键．分别取的中点，连接，先根据矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理可得的长，再根据三角形的中位线定理可得当点在上运动时，点在上运动，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后利用勾股定理可得，由此可求出的长，最后在中，利用勾股定理计算即可得． 【规范解答】解：如图，分别取的中点，连接， ∵矩形中，，，为的中点， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点为的中点，点是的中点， ∴， 又∵点是的中点，为的中点， ∴， 同理可得：， ∴点在同一条直线上，即当点在上运动时，点在上运动， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：A． 19．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）梯形ABCD中，，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是 ． 【答案】 【思路引导】连接AE，并延长交CD于K，利用“AAS”证得△AEB≌△KED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分别为△AKC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案． 【规范解答】连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK， ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点． ∴BE=DE， 在△AEB和△KED中， ， ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线， ∴EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)， ∵EG为△BCD的中位线， ∴EG=BC， 又FG为△ACD的中位线， ∴FG=AD， ∴EG+GF=(AD+BC)， ∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3， ∴EG+GF=3，FE=， ∴△EFG的周长是3+=． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，作出常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，在△ABC 中，D在边AB上． （1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC2 = AD· AB； （2）若E为CD 中点，∠ACD =∠ABE，AB = 3，AC=2，求BD的长．        【答案】（1）证明见解析；（2）． 【思路引导】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解； (2)过C作CF∥EB交AB的延长线于F，转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB和AC的值即可求解． 【规范解答】(1)在和中， ，∠A=∠A， ∴∽， ∴， ∴ ； (2)过C作CF∥BE交AB的延长线于F，    由于为中点， ∴BF=BD，∠F=∠ABE， ∵， ∴，∠A=∠A， ∴∽， ∴， ∴， ∵，，则，， ∴， 解得：BD=． 【考点剖析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是作出合适的辅助线构建相似三角形． 题型6：与正方形有关的三垂线 21．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据可以证明，然后即可得到，再根据勾股定理可以得到的长，然后根据相似三角形的判定和性质可以得到和的面积之比，然后即可得到的面积与四边形的面积之比． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积与四边形的面积之比是：， 故选：D． 【考点剖析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为 ．    【答案】13 【思路引导】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【规范解答】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：13． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 24．（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 (3) 【思路引导】（1）在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形，再利用证明≌，得； （2）连接，根据，得，则四边形的面积为正方形的面积； （3）作于，由，可得，再利用证明≌，得，可知，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点的坐标，从而解决问题． 【规范解答】（1）证明：在上取点，使，连接， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ； （2）解：四边形的面积不变，为， 连接， ， ∴， ， 四边形的面积为正方形的面积， 四边形的面积为； （3）解：作于， ， ， ， 由得，， ，， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 同理得，直线的解析式为， 当时， ， ， ， ． 【考点剖析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式等知识，求出点的坐标是解决问题（3）的关键． 题型7：正方形与45°角的基本图 25．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【规范解答】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 26．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)， 【思路引导】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求． （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论． （3）把绕点逆时针旋转，使与重合，点B对应点为点F，连接和即可求解． 【规范解答】（1）解：，，理由如下： 四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， ， ， ， ． （2），证明如下： 如下图，把绕点逆时针旋转，与重合， ，， ，， ， ； ； 在和中， ， ∴；    ∴； ∵； 即． （3）如图1.解：∵，， ∴， 把绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点； ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中， ， ； ； ；    在和中， ， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， ∵是等腰直角三角形； ∴， ， 同理把绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，；    ； ，； ； 在直角中，； ∴ ∴， 由旋转的性质可知，； 是等腰直角三角形； ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键． 27．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，即可求得，，再由可得． 【规范解答】（1）∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵AE平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【考点剖析】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 28．（21-22八年级下·湖北咸宁·期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【思路引导】（1）由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠PAM=∠NAM=45°，利用SAS即可证明△APM≌△ANM； （2）由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，再由（1）的结论得到PM=MN，根据勾股定理即可证明； （3）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△，则△AMN≌△，利用全等三角形的性质可得出=MN，由∠C=90°，∠CMN=45°可得出CM=CN，设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，进而可得出=a-b，NF=b+a，在Rt△中，利用勾股定理可求出，进而可得出． 【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠EAF=45°． ∴∠BAM+∠NAD=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PA=NA，∠PAB=∠NAD， ∴∠PAB+∠BAM=45°， ∴∠PAM=∠NAM=45°， 在△APM和△ANM中，， ∴△APM≌△ANM(SAS)； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°， ∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°， ∴， ∵△APM≌△ANM， ∴PM=MN， ∴； （3）解：．理由如下： 将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△．如图： 过点作⊥CD于F，连接， 同（1）可证△AMN≌△， ∴=MN． ∵∠C=90°，∠CMN=45°， ∴CM=CN． 设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c， ∴=AD-=AD-AB=a+c-（b+c）=a-b， NF=DN+DF=DN+=DN+BM=b+a． 在Rt△中，， ∴． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用SAS即可证明△APM≌△ANM；（2）证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；（3）通过构造直角三角形，利用勾股定理找出． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $