基本功专练(1)与勾股定理有关的计算及应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

基本功专练（一）与勾股定理有关的计算及应用 (时间：40分钟满分：60分) 1.(7分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点3.(8分)如图，在△ABC中，E为边AB上 D,AC=20,BC=15,BD=9,求AB的长， 的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥ CE,垂足为D.已知AD=7,CD=24,AB= 20,BC=15.试说明：AB⊥BC. 4.(8分)如图，一辆小汽车在一条道路上沿 2.(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B= 直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车 90°，连接AC,∠ACD=90°，AB=1.5,BC= 速检测仪A处正前方12m的C处，过了 2,CD=2.5,以AD为边向外作正方形 1.5s,小汽车到达B处，此时测得小汽车 ADEF,求正方形ADEF的面积. 与车速检测仪间的距离AB为20m. (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段的速度约是多 少？（结果精确到0.1m/s) 检测仪 1 5.(10分)如图，在离水面高度为8m的岸7.(10分)我国古代数学家赵爽利用弦图证 上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借 的长为17m,此人以1m/s的速度收绳， 助图形的拼接证明勾股定理.他发现只需 7s后船移动到点D的位置，船向岸边移 将两张全等的直角三角形纸片与一张满 动了多少米？（假设绳子是直的） 足一定要求的长方形纸片（如图①所示）， 拼成如图②所示的图形，利用面积的不变 性也可证明勾股定理a2十b2=c2.下面是 小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助 小明续写证明过程 b 图① 图② 证明：连接BE 由题意，得∠AEF=∠BAC,∠AEF+ ∠EAF=90°， 所以∠BAE=∠BAC+∠EAF=∠AEF+ 6.(10分)如图，在△ABC中，AB=13,AC= ∠EAF=90°. 12,AC⊥BC,D为△ABC内一点，且CD= 3,BD=4. (1)求BC的长； (2)求图中阴影的部分（四边形ABDC)的 面积 ·2针对训练 1.A2.C3.B4.EF∥CD平行于同一条直线的两条直线平行 5.解：AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80,.∠DAB=号∠BAC=40.:DE∥AB,∴∠ADE=∠DAB=40 6.证明：(1)∠1+∠2=180°，∠2=∠AFC,∴.∠1+∠AFC=180°..AB∥CD.(2)AB∥CD,.∠B=∠DCE.,∠B=∠D, ∠D=∠DCE..AD∥BE.∠DAE=∠E. 提分小卷 基本功专练（一）与勾股定理有关的计算及应用 1.解：在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2=BC-BD2=152-92=144,所以CD=12.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC -CD2=202-144=256,所以AD=16.所以AB=AD+BD=25. 2.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2十BC=1.52+22=6.25.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2十CD2= 6.25十2.52=12.5.所以正方形ADEF的面积为12.5. 3.解：因为AD⊥CE,所以∠D=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=AD2+CD2=72+242=625.因为AB2+BC=202+ 152=625,所以AB2+BC=AC.所以△ABC是直角三角形，且∠B=90°.所以AB⊥BC. 4.解：(1)根据题意，得ACLBC,所以∠C=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC=202-122=256,所以BC= 16m.(2)这辆小汽车在BC段的速度约是16÷1.5≈10.7(m/s),答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7m/s. 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2-AC=172-82=225.所以AB=15m.由题意，得CD=17-1×7=10(m).在 Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2=CD2-AC=102-82=36.所以AD=6m.所以BD=AB-AD=9m.答：船向岸边移动了9m. 6.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC=132-122=25.所以BC=5.(2)因为CD2+BD2=32+4=25,BC= 25,所以CD+BD2=BC.所以△BCD为直角三角形，且∠BDC=90.所以Sa=SAc-SAm=号AC·BC-专BD·CD =2×12X5-号×4×3=24. 7,.解：补充证明过程如下：因为Saae=Sc十SAA十SE=合ab十名ab十K6-a）=,SE=SAe十SAe= 合c+26叶a6-a)=c+8-c,所以=名c+-7c.整理，得a2+8=. 易错章测（一） 1.C【易错点拨】忽略勾股数的前提是正整数而致错. 2.C【易错点拨】要对主要方向敏感，正东、正北成90° 3.D 4.C【易错点拨】对直角三角形的判定理解不透彻而致错. 5.C【易错点拨】注意直接用AC=AD+CD,BC=BD2+CD进行转化，不要复杂化问题. 6.D 7.225或63【易错点拨】题干未指明斜边，需要分类讨论. 8.1509.20 10.30【易错点拨】注意审题，绕礼盒侧面2周，不是1周. 11.解：因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°.在Rt△ADC中，CD2=AD2+AC=625,所以CD=25.所以BD=BC-CD=32-25=7. 12.解：(1)因为AC+BC=802+602=10000,AB=10000,所以AC+BC=AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 所以AC⊥BC.(2)48 13.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC-AB2=202-122=256,所以AC=16.(2)设AP=x,则BP=CP=AC-AP =16-x.在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB2+AP2=BP2,即122十x2=(16-x)2,解得x=3.5.所以AP=3.5. 14.解：(1)出发3s后，AE=AC-CE=40-4×3=28(m),AF=AB-BF=30-3×3=21(m).在Rt△AEF中，EF2=AE+AF =282+212=1225,所以EF=35m.因为35>25，所以出发3s后，遥控信号不会相互干扰.(2)设出发ts后，两赛车与点A的距离 之和为35m.由题意，得AE=(40-4t)m,AF=(30-3t)m.当AE+AF=35m时，40-4t+30-3t=35,解得t=5.所以AE= 20m,AF=15m.在Rt△AEF中，AE十AF2=202+152=625.所以EF=25m.所以当两赛车与点A的距离之和为35m时，遥控 信号将会相互干扰. 15.解：(1)4(2)由题意，得BP=2tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB=90°时，点P与点C重合， 则BP=BC=4cm,所以2t=4,解得t=2.②当∠BAP=90°时，如图，CP=BP-BC=(2t-4)cm,AC =3cm.在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2=32+(2t-4)2,在Rt△BAP中，AP2=Bp2-AB2=(2t)2- 5,所以3+(2一2=(202-5，解得1-孕综上所述，当△ABP为直角三角形时：的值为2或智。 B 【易错点拨】题中未明确给出三角形的直角时，需要进行分类讨论 -42