问题解决策略：反思-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D=90,所以CP=a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE=合BC=2a.在R△ABE 中，由勾股定理，得AE=AB2+BE=(4a)2+(2a)2=20a2.在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2=CE2+CF2=(2a)2十a2=5a2. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(3a)2=25a2,所以AE2+十EF=AF2.所以△AEF为直角三角形. 13.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CM⊥AC,垂足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因 为∠ACD=90°，所以AC+CD2=AD2.因为AC+BC=AB2,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB中， (DC=BC, AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB是直角三角形. AD-AB, 3勾股定理的应用 1.符合2.①③3.A4.C 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得x2十62=(18-x)2,解得x=8.答：折断处离地面的高度为8尺 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2=AO十OB2=22+1.52=6.25,所以AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m.(2)由题 意，得CD=AO十0.4=2.4m,BC=AB=2.5m.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC-CD2=2.52-2.42=0.49.所以BD =0.7m.所以OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 7.158.4 9.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC2=AB2,所以82十(16-x)2=x2,解得x= 10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB'=10+7=17(dm).在 Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB2-AC=172-82=225,所以B'C=15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB= B'C-BC=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 10.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF=4cm,再测量EF的长度.若EF=5cm,则边BC 垂直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） 专题一勾股定理与面积问题【回归教材】 1.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=82+62=100,所以AC=10m.因为AC+CD2=102+242= 676,AD=676,所以AC+CD2=AD,所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以S蒂n=SAD-S6Ae=?AC.CD -号AB·BC=合×10X24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m㎡. 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=32+42=25,所以AC=5m.因为AC+AD2=52+122=169, CD=169,所以AC+AD=CD,所以△ADC是直角三角形，且∠CAD=90.所以SD=SaAc十Sc=号AB·BC+ 之AD·AC-号×3×4+合×12×5=36(m2).答：这块绿化地的面积是36m. 3.B4.645.66.20267.B 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 1.解：设OA=OB=x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺，OE=OA-EA=(x-4)尺.在Rt△OEB中， 由勾股定理，得OB2=OE2十EB2,即x2=(x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索OB的长为14.5尺. 2.华3是42566号【变式题27.10 问题解决策略：反思 【趣味情境引入】解：如图，作点B关于直线l的对称点B',连接AB,与直线交于点C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和 最短 B 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB,与直线l交于点P,则点P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短. B 【一模多变】1.1302.53.134.15 【拓展变式】13 【方法运用】1.202.53.254.100 第一章章末复习 思维导图 a2+b2=c2a2+b=c2正整数 考点整合 1.B2.D3.A4.C5.B6.25 7.解：因为CA⊥AB,所以∠CAO=90°.设OB=OC=xcm,则AO=AB-OB=(16-x)cm.在Rt△ACO中，AC2+OA2=OC,所以 82+(16-x)2=x2,解得x=10.所以OB=OC=10cm.所以量角器的半径OB的长为10cm. 8.C9.m 10.解：1)Ssm=7X5-号×2X4-合×1X2-号×3X4-1X3-号×1X7=要.(2)连接BD.由勾股定理，得CD=1+ 22=5,BC=22+42=20,BD2=32+42=25,所以CD2+BC心=BD2.所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. 11.解：(1)海港C受台风影响.理由如下：过点C作CD⊥AB于点D.因为AC2十BC=3002十4002= 250000,AB2=250000,所以AC+BC=AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，所以SAABC =号AC·BC=号CD·AB所以CD-AC BC=240km.因为240<250，所以海港C受台风影响 AB (2)如图，当EC=FC=250km时，台风正好影响海港C.在Rt△CDE中，DE=CE2-CD=4900,所以AEDF DE=70km.所以EF=2DE=140km.140÷20=7(h).答：台风影响海港C持续的时间为7h. 第二章实数 1认识实数 1.A2.B3.C4.7无理数 5.解：有理数有0,3.14，号，-2，-号，2027.无理数有元，2.123456789101112…（小数部分由连续的正整数组成）.正实数有 3.14x,号2.12345678910112（小数部分由连续的正整数组成），2027. 6.B7.D8.(1)88(2)±69.B10.B11.< 12.解：-一3引=-3，十(+2)=2，在数轴上表示如图所示.由数轴可知，-4<-1-3引<-弓<0<十（十2）<元 2-101234 4-3到30+2) 4201345 (第12题图) (第17题图) (第18题图) 13.D14.C15.D16.(1)②⑨(2)④⑤⑥(3)①③⑥⑦(4)①②⑦⑧⑨(5)④⑤⑥ 17.解：(1)(2)如图所示.（答案不唯一） 18.解：(1)17无理数(2)如图所示.（答案不唯一）(3)如图，点A即为所求. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.A2.B3.C4.0(答案不唯一)5.1 6解：《1因为-49，所以49的算术平方根是7，即V西=.（②）因为（号》厂-奇，所以后的算术平方根是号即√=号.(8）因 为0.32=0.09，所以0.09的算术平方根是0.3，即√0.09=0.3.(4)0的算术平方根是0.(5)6的算术平方根是√6. 7.C8.D9.B10.5 11.解：将R=5,t=1,Q=45代入Q=IPRt,得P×5×1=45,即P=9.所以I=√=3. 12.D13.014.615.60 16.解：(1)原式=√64+36=√100-10.(2)原式=0.2+10-1=0.2+0.1=0.3. 17.解：(1)在Rt△ABC中，AB=8m,AC=10m,根据勾股定理，得BC=√AC一AB=6m.答：此时风筝离地面的高度BC为 6m.(2)在Rt△ABM中，AB=8m,BM=BC+CM=15m,根据勾股定理，得AM=√B+AB=17m.17-10=7(m).答：引线 3问题解决策略：反思 【趣味情境引入】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中 隐含着一个有趣的数学问题—将军饮马.如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再 回到点B宿营，他在河岸1上哪一点处饮马才能使每天走的路程之和最短呢？利用前面所学的 知识帮他解决问题. 【情境变形】如图，某天河边直线1上有一段区域（线段EF)因为河岸决堤被围起来了，将军不能 靠近该区域饮马。 【发现问题】此时按照常规轴对称方法解题，易知最短路径要经过限制区线段EF,此路线不可行. 【提出问题】你能构造出新的最短路径吗？请试着画出来 【回顾反思】数学模型也要根据“障碍”灵活调整.最短路径问题不仅要实现“数学层面最短”，还 要符合实际约束条件，不能机械套用模型.就像开车导航，原本最短路线堵车，需绕行其他道路. 【一模多变】平面图形→立体图形，化曲为直解决“障碍” 1.如图，台阶阶梯每一层长50cm,宽40cm,高20cm.一只蚂蚁从点A爬到点B,最短路程是 cm. 单位：cm 20 50 A ● 4cm P (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1.如果一 只蚂蚁从点A爬到点B,那么最短路程为· 3.如图，长方体的长为4cm,宽为2cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一 圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为cm. 4.(2024-2025·九江柴桑区期中)如图，一个圆柱的高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底 面A处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为cm.(π取3) 11数学八年级上册配BSD版 【拓展变式】两点都在外壁→一内壁一外壁 (2024一2025·萍乡期末)如图，圆柱形容器的高为12cm,底面周长为10cm.在容器 内壁距离容器底部3cm的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容 器上沿3c与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短路程为 cm. (不计壁厚) 【反思归纳】解决立体图形的最短路径问题时，常用到下面几种基本模型： 基本模型： 阶梯： 展开 长方体：展开方式多种，一般沿最长棱展开路径最短 可- 圆柱 ①沿外表面，从点A→点B ②从外表面点A→内壁点B 【方法运用】 1.如图，长方体的底面是边长为8的正方形，侧面都是长为16的长方形，D是BC的中点，在长方体 下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行的最短路程是 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有 路径中，最短路径的长是 3.数学文化新趋势我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图，把枯木看作一个圆柱，该圆柱 的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处， 则葛藤的最短长度为尺 4.如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中AB=80cm,高AD=60cm,水深ED=40cm,在鱼 缸内水面上紧贴内壁点P处有一鱼饵，P在水面线EF上，且EP=60cm.若一只小虫想从鱼 缸外的点D沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁点P处吃鱼饵，则小虫爬行的最短路程为 cm. 第一章勾股定理12