第七章 证明 单元回顾与思考课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第七章 证明 单元回顾与思考 2024版北师大数学八年级数学上册 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 教学设计的基本环节： 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.明确定义、命题、公理、定理、推论的核心含义, 能举例说明各概念的本质特征 2.掌握命题的构成要素，能准确区分命题的条件与 结论，并将条件结论不明显的命题改写成 “如果…… 那么……” 的标准形式；​ 3.理解命题的分类标准，能辨析真命题与假命题， 明确反例的作用 —— 即通过举反例证明假命题的方法. 3.知晓证明的必要性与基本逻辑,掌握综合法证明的 一般步骤：画出图形→写出已知、求证→规范推理过程；​ 4.熟记本单元涉及的基本事实与定理,明确公理与定理的区别 1.能从语句中准确识别命题，排除非命题, 并快速判断命题的真假性；​ 2.针对假命题能构造有效反例，针对真命 题能说明判断依据. 3.能运用综合法按规范格式完成简单命题的证明,做到步步有据,推理过程符合逻辑规则；​ 4.能结合几何实例,灵活运用公理、定理设计证明思路,解决“已知→求证”的几何证明问题；​ 5.能对他人的证明过程进行评价,指出其中的逻辑漏洞或方法优劣. 逻辑推理素养 ​2.数学抽象与建模素养​ 3.科学态度与价值认同​ 知识网格 1.直观是重要的,但它有时也会欺骗人,你能找出这样的例子吗？ 2.请用自己的语言说说什么是定义、命题,并举例说明. 3.本书中作为证明出发点的基本事实有哪些？ 4.为什么需要证明？证明的一般步骤是怎样的？如何分析证明的思路？与同伴进行交流. 5.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会有怎样的结论？这两类命题的条件和结论有什么关系？ 6.梳理本章内容,用适当的方式呈现全章的知识结构,并与同伴进行交流。 知识网格 5 典例精选 知识点1:角的平分线与垂直的性质（逻辑推理与角度证明） 已知:如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,且OC⊥OE. 求证:∠DOE=∠BOE. 问题1:你能尝试分析每一个条件和证明的结论有怎样的关联吗？ 点O在直线AB上 ∠AOB是平角，∠AOC+∠BOE=90° 射线OC平分∠AOD ∠AOC=∠DOC，这可能是“等量代换” 的关键桥梁 OC⊥OE ∠COE=90°，即∠DOC+∠DOE=90° 6 典例精选 知识点1:角的平分线与垂直的性质（逻辑推理与角度证明） 已知:如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,且OC⊥OE. 求证:∠DOE=∠BOE. 证明： ∵ 射线OC平分∠AOD（已知）， ∴ ∠AOC=∠DOC（角平分线定义）. ∵ OC⊥OE（已知）， ∴ ∠COE=90°（垂直定义）， ∴ ∠DOC+∠DOE=90°，∠AOC+∠BOE=180°−90°=90°（平角定义、等式性质） 又∵ ∠AOC=∠DOC（已证）， ∴ ∠DOE=∠BOE（等角的余角相等） 7 典例精选 知识点2：平行线的判定（利用角度关系证明平行） 2.将正方形的四个顶点用线段连接,什么样的连法最短？研究发现,并非对角线最短,而是如图所示的连法最短（即用线段AE，DE，EF，BF，CF 把四个顶点连接起来）.已知图中∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°,你能证明AB∥EF吗？ 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形（已知）， ∴ ∠DAB=90°（正方形的性质）。 ∵ ∠DAE=30°,且∠DAB=∠DAE+∠EAB（角的和的定义）， ∴ ∠EAB=∠DAB−∠DAE=90°−30°=60°（等式的基本性质）. ∵ ∠AEF=120°（已知）， ∴ ∠EAB+∠AEF=60°+120°=180°（角的和差运算）. ∴ AB∥EF（同旁内角互补,两直线平行）. 典例精选 知识点3：平行线的性质与判定综合应用 3.已知:如图,AB∥CD,PM和QN分别是∠BPE和∠DQE内的两条射线,且∠BPM=∠DQN.求证：PM∥QN. 证明： ∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠BPE=∠DQE（两直线平行,同位角相等）. ∵ ∠BPM=∠DQN（已知）， ∴ ∠BPE−∠BPM=∠DQE−∠DQN（等式的性质）， 即 ∠MPE=∠NQE。 ∴ PM∥QN（同位角相等,两直线平行）. 平行线的性质 平行线的判定 典例精选 知识点4：无理数的运算与命题真假（反例法） 4.小丽发现:​是无理数,​是无理数,是无理.于是她猜想:两个无理数的和一定还是无理数.你认为她的猜想正确吗？为什么？ 小丽的猜想不正确. 理由:可以通过举反例来否定这个猜想.例如，取两个无理数​和− ​,它们的和为0,而0是有理数.或者举例这说明存在两个无理数,它们的和是有理数,因此“两个无理数的和一定还是无理数”这个猜想不成立. 典例精选 知识点5：命题的真假判断（反例法） 5.小华将=0,1,2分别代入代数式结果发现这个代数式的值都是0.于是他猜想:对于所有的自然数,代数式的值都是0.你认为小华的猜想正确吗？为什么？ 小华的猜想不正确. 理由:要判断一个关于“所有自然数”的猜想是否正确,不能仅通过有限的几个数验证,需要通过举反例来否定. 当=3时,代入代数式=0： 当=4时,代入代数式=24≠0 由此可见,当=4时,代数式的值不为0,所以小华的猜想不正确. 典例精选 知识点6：平行线的性质与判定的系统应用 6.如图,直线,b被直线c所截. （1）如果∥b,你能得到哪些角之间的等量关系？ 解：（1）若∥b,角的等量关系 ∵  ∥b（已知）， ∴ ∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8（两直线平行,同位角相等）； ∠3=∠5,∠4=∠6（两直线平行,内错角相等）； ∠3+∠6=180°,∠4+∠5=180°（两直线平行,同旁内角互补）； 同时,对顶角相等（如∠1=∠3,∠2=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8）,结合平行线性质可推导更多等量关系（如∠1=∠7等）. 典例精选 （2）证明∥b的条件 同位角相等：∠1=∠5,或∠2=∠6,或∠3=∠7,或∠4=∠8 （同位角相等,两直线平行）； 内错角相等：∠3=∠5,或∠4=∠6（内错角相等,两直线平行）； 同旁内角互补：∠3+∠6=180°,或∠4+∠5=180°（同旁内角互补,两直线平行）. 知识点6：平行线的性质与判定的系统应用 6.如图,直线,b被直线c所截. （2）写出能够证明∥b的条件（能写几个就写几个） 典例精选 知识点7：逻辑推理与实际问题 7.有三个纸箱,一个箱内装有橘子,一个箱内装有苹果,一个箱内混装了一些橘子和苹果.三个箱子外面分别贴有“橘子”“苹果”“混合水果”的标签,可是,工作人员不慎将所有标签都贴错了.请你只检查一个箱子即确定各箱子内的水果品种. 解：步骤1:选择检查贴有“混合水果”标签的箱子 因为“所有标签都贴错了”,所以贴“混合水果”的箱子一定不是混合水果，只能是纯橘子或纯苹果. 步骤2:假设从贴“混合水果”的箱子中取出一个水果 若取出的是橘子：则这个箱子实际装的是橘子. 那么贴“苹果”标签的箱子,由于标签全错,它不能装苹果,也不能装橘子,所以只能装混合水果.最后贴“橘子 标签的箱子就只能装苹果. 典例精选 若取出的是苹果： 则这个箱子实际装的是苹果.那么贴“橘子”标签的箱子,由于标签全错，它不能装橘子,也不能装苹果（苹果已确定）,所以只能装混合水果. 最后贴 “苹果” 标签的箱子就只能装橘子. 综上,只需检查贴有“混合水果”标签的箱子,根据其中水果的品种,就能通过“标签全错”的逻辑,确定另外两个箱子的实际水果品种. 7.有三个纸箱,一个箱内装有橘子,一个箱内装有苹果,一个箱内混装了一些橘子和苹果.三个箱子外面分别贴有“橘子”“苹果”“混合水果”的标签,可是,工作人员不慎将所有标签都贴错了.请你只检查一个箱子即确定各箱子内的水果品种. 知识点7：逻辑推理与实际问题 巩固拓展 知识点8:（学科融合）平行线性质在光学中的应用 8.如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时,∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4.试判断AB与CD的位置关系,你是如何思考的？ 要判断AB与CD的位置关系,我们可以通过平行线的性质和角度的等量代换来推导. 证明：AB∥CD 利用镜面平行的性质 ∵ MN∥EF（已知,两面镜面互相平行）， ∴ ∠2=∠3（两直线平行,内错角相等） 巩固拓展 知识点8:（学科融合）平行线性质在光学中的应用 8.如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时,∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4.试判断AB与CD的位置关系,你是如何思考的？ 2.结合角相等的条件 已知 ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换）. 3.推导∠ABC与∠BCD的关系 ∵ ∠ABC=180∘−∠1−∠2, ∠BCD=180∘−∠3−∠4（平角的定义）， 又∵ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴ ∠ABC=∠BCD（等式的性质）. 巩固拓展 知识点8:（学科融合）平行线性质在光学中的应用 8.如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时,∠1=∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4.试判断AB与CD的位置关系,你是如何思考的？ 4.判定直线平行 ∵ ∠ABC=∠BCD（已证）, ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 综上,AB与CD的位置关系是AB∥CD​. 思想方法 1.逻辑推理思想 在几何证明和逻辑分析中,通过已知条件,按照公理、定理逐步推导结论,体现了严谨的逻辑推理过程. 2.分类讨论思想 在分析“两个无理数的和是否为无理数”时通过举不同的反例,考虑不同情况来否定猜想;在纸箱标签问题中,也隐含了对取出水果种类的分类讨论. 3.转化思想 将几何中的平行问题转化为角的关系问题,把复杂的位置关系转化为可计算、可推导的角度关系,体现了转化的思想. 4.反例思想 在判断小华和小丽的猜想是否正确时,通过找出不符合猜想的具体例子,从而否定“所有情况都成立”的猜想,这是反例思想的典型应用. 5.数形结合思想 在几何问题中,结合图形来分析角与直线的关系,将数与形结合起来,使问题更直观、易解. 当堂检测 1.下列命题中，是定理的是( ) A A. 对顶角相等 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 三边分别相等的两个三角形全等 当堂检测 2.对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假命 题的反例是( ) C A. ， B. C. ， D. 当堂检测 3.直线，，， 的位置如图所示，如果 ， ， ， 那么 ( ) D B. C. D. 当堂检测 4.图1为北斗七星的位置图，如图2， 将北斗七星分别标为，， ， ，，，，将，，， ， （1）求 的度数. 解：， . . ，首尾顺次连接，恰好经过点，且点，， 在同一条直线上. 已知， ， . 当堂检测 （2）计算 的度数是_____. （3）连接，当与 满 解：当 时， . 理由：， . ， . . 足怎样数量关系时， ？请说明理由. 反思总结 1.本节课在复习的过程中，主要回顾解决了哪些问题？ 2.如何展开证明思路，你有怎样的经验和同学分享？ 3.对于命题种类的划分，你知道的有哪些?请举例分析. . 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P197页 第7题 二、素养类作业 课本P198页 第11题 三、挑战类作业 书写一篇300字左右的八年级数学上期学习感悟 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $