专题02 勾股定理与折叠问题（6大模型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02 勾股定理与折叠问题 题型一 长方形中折痕过对角线模型 题型二 长方形中折痕过一顶点模型 题型三 长方形中折痕过任意两点模型 题型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 题型一 长方形中折痕过对角线模型（共2小题） 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知长方形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二 长方形中折痕过一顶点模型（共4小题） 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知长方形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在长方形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 题型三 长方形中折痕过任意两点模型（共5小题） 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知长方形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在长方形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：’是直角三角形。 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长是． 故选：C． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 9．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 题型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（共8小题） 【模型解读】 （1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 12．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，，然后设，在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：中，，，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴，， 设，则有， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 13．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠问题以及勾股定理，利用勾股定理是解决问题的关键． 利用勾股定理求出，根据折叠的性质求出，，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得：， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，进而求得的长． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查直角三角形的折叠问题，由勾股定理得，由折叠得，，可求出，设，则， 在中由勾股定理得，解得，即可求出． 【详解】解：在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 19．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 题型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（共3小题） 【模型解读】 （1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合； （2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. （3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，. 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 22．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 题型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（共8小题） 【模型解读】 （1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结. （2）沿直线翻折使得点与边上的点重合； 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 24．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 25．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 27．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 28．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式．设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由折叠的性质可知． ∵， ∴． ∵F是边的中点，， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴的长为5． 故答案为：． 29．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理与折叠问题 题型一 长方形中折痕过对角线模型 题型二 长方形中折痕过一顶点模型 题型三 长方形中折痕过任意两点模型 题型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 题型一 长方形中折痕过对角线模型（共2小题） 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知长方形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 题型二 长方形中折痕过一顶点模型（共4小题） 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知长方形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在长方形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 题型三 长方形中折痕过任意两点模型（共5小题） 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知长方形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在长方形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’。 折在长方形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：’是直角三角形。 7．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 10．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（共8小题） 【模型解读】 （1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 12．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 13．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，，，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 19．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 题型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（共3小题） 【模型解读】 （1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合； （2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. （3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，. 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 21．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 22．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 题型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（共8小题） 【模型解读】 （1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结. （2）沿直线翻折使得点与边上的点重合； 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 24．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 28．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 29．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 30．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $