1.2 一定是直角三角形吗-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

参考答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1.D2.D3.C4.8 5.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=102-62=64,所以AD=8.在Rt△ACD中，DC=AC-AD=172-82 =225,所以CD=15.所以BC=BD+CD=6+15=21. 6.9【变式题】22 7.解：因为∠BAD=90°，所以BD=AD2+AB2=42+32=25.因为∠CBD=90°，所以CD2=BD2+BC=25+52=50.所以正方形 DCEF的面积为50. 8.16或349.510.D11.4 12.解：)在R△ABC中，由勾股定理，得A=AC+BC=15+8=289,所以AB=17.(2)因为CDLAB,.所以S=号AC, BC=AB,CD.所以CD=ACBC-l2 AB 17 13.解：设BD=x,则CD=14一x.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2一BD=152一x2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD2=AC-CD2=132-(14-x)2.所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.所以AD2=152-92=144.所以AD=12.所以 S6C=号BC·AD=84. 14.解：(1)因为四边形ABCD是“垂美四边形”，所以AC⊥BD.所以△ABO是直角三角形.在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB2= AO+BO=22+32=13.同理，得BC=B02+C0=32+42=25,CD2=C0+DO=42+52=41,AD2=A03+D0=22+52= 29.(2)由(1)，得BC+AD2=(BO+CO)+(AO+DO)=(BO+AO)+(CO+DO)=AB2+CD.因为AB=6,CD=10,所 以BC十AD2=62+102=136.(3)“垂美四边形”的两组对边的平方和相等. 第2课时验证勾股定理及其简单应用 1.B2.4913 AC BC AB3.2.44.D 5.解：因为每一块地砖的边长为20cm,所以AB2=(20×4)2+(20×3)2=802+602=1002,BC=(20×5)2十(20×12)2=1002+ 2402=2602.所以AB=100cm,BC=260cm.所以AB+BC=100+260=360(cm).答：鸽子吃完小朋友洒在点B,C处的鸟食，最少 需要走360cm. 6.D 7.解：(1)在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB2=AO2+BO=202+152=252,所以AB=25cm.(2)由题意，得A'O=AO-AA'=20 -13=7(cm),A'B'=AB=25cm.在Rt△A'OB'中，由勾股定理，得A'B2=A'O2+B'O2,所以252=72+B'O2.所以B'O=24cm. 所以BB=B'O-BO=24-15=9(cm). 8.解：(1)①a+b②(a+6)2=4X号ab+2a2+B=2(2)因为∠BAC+∠ACB=90,∠BAC=∠ECD,所以∠ECD+∠ACB =90,所以∠ACE=-180°-（∠ECD+∠ACB)=90,.用两种不同的方法表示梯形ABDE的面积，可得2(a十6）(a十6)=2×合b +c2,所以a2+2ab+=2ab+2.所以a2+=2. 9.解：不能通过.理由如下：如图，在0C上取点F,使OF=×1.6=0.8m,过点F作EF1CD于点F,交半圆于 D 点E,交AB于点M,连接OE,则OE=1m,MF=AD=2.3m.在Rt△OEF中，由勾股定理，得EF=OE-OF= 12-0.82=0.62,所以EF=0.6m.所以EM=EF+MF=0.6+2.3=2.9(m).因为2.9<3，所以不能通过该工厂 大门. 2一定是直角三角形吗 1.C2.A3.直角4.直角三角形 5.解：(1)503218(2)以AB,BC,AC三条线段为边能构成直角三角形.理由如下：因为AC+BC=18+32=50,AB2=50,所 以AC十BC=AB2.所以以AB,BC,AC三条线段为边能构成直角三角形. 6.解：(1)在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2十AD=4十32=25，所以BD=5.(2)△BCD是直角三角形.理由如下：由 (1),知BD2=25.所以BD2+CD2=25+122=169.因为BC=169,所以BD2+CD2=BC.所以△BCD是直角三角形. 7.C8.5,12,13(答案不唯一)9.A10.12011.11,60,61 12.解：△AEF为直角三角形.理由如下：因为DF=子CD,所以CP=十CD.因为四边形ABCD为正方形，且边长为4a,所以AB= BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D=90,所以CP=a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE=合BC=2a.在R△ABE 中，由勾股定理，得AE=AB2+BE=(4a)2+(2a)2=20a2.在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2=CE2+CF2=(2a)2十a2=5a2. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(3a)2=25a2,所以AE2+十EF=AF2.所以△AEF为直角三角形. 13.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CM⊥AC,垂足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因 为∠ACD=90°，所以AC+CD2=AD2.因为AC+BC=AB2,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB中， (DC=BC, AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB是直角三角形. AD-AB, 3勾股定理的应用 1.符合2.①③3.A4.C 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得x2十62=(18-x)2,解得x=8.答：折断处离地面的高度为8尺 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2=AO十OB2=22+1.52=6.25,所以AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m.(2)由题 意，得CD=AO十0.4=2.4m,BC=AB=2.5m.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC-CD2=2.52-2.42=0.49.所以BD =0.7m.所以OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 7.158.4 9.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC2=AB2,所以82十(16-x)2=x2,解得x= 10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB'=10+7=17(dm).在 Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB2-AC=172-82=225,所以B'C=15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB= B'C-BC=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 10.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF=4cm,再测量EF的长度.若EF=5cm,则边BC 垂直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） 专题一勾股定理与面积问题【回归教材】 1.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=82+62=100,所以AC=10m.因为AC+CD2=102+242= 676,AD=676,所以AC+CD2=AD,所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以S蒂n=SAD-S6Ae=?AC.CD -号AB·BC=合×10X24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m㎡. 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=32+42=25,所以AC=5m.因为AC+AD2=52+122=169, CD=169,所以AC+AD=CD,所以△ADC是直角三角形，且∠CAD=90.所以SD=SaAc十Sc=号AB·BC+ 之AD·AC-号×3×4+合×12×5=36(m2).答：这块绿化地的面积是36m. 3.B4.645.66.20267.B 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 1.解：设OA=OB=x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺，OE=OA-EA=(x-4)尺.在Rt△OEB中， 由勾股定理，得OB2=OE2十EB2,即x2=(x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索OB的长为14.5尺. 2.华3是42566号【变式题27.10 问题解决策略：反思 【趣味情境引入】解：如图，作点B关于直线l的对称点B',连接AB,与直线交于点C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和 最短 B 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB,与直线l交于点P,则点P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短. B2一定是直角三角形吗 基础过关 ◆◆逐点击破 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB= 知识点1直角三角形的判定 4,BC=13,CD=12,AD=3. 1.以下列长度的线段为三角形的三边，能构成 (1)求线段BD的长； 直角三角形的一组是 ( (2)判断△BCD的形状，并说明理由. A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 2.(易错题)在△ABC中，三边长a,b,c满足 (a十c)(a-c)=b,则△ABC的形状是( ) A.以a为斜边长的直角三角形 B.以b为斜边长的直角三角形 C.以c为斜边长的直角三角形 D.不是直角三角形 3.如图，以△ABC的两边BC, AC为边分别向外作正方形， 它们的面积分别是S1,S2.若 S1=2,S2=3,AB2=5,则 知识点2勾股数 △ABC的形状是 三角形 7.下列各组数中，是勾股数的是 4.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足(a A.3,4,-5 5)2+(b-12)2+|c-13|=0,则△ABC的 B写 形状是 C.10,8,6 D.1.2,2,2.5 5.(教材P12习题T3变式)如图，在正方形网 8.半开放性题新趋势（教材P11习题T2变式） 格中，每个小正方形的边长都是1. 将勾股数3,4,5扩大2倍，3倍，4倍，…，可 (1)填空：AB2= BC2= 以得到勾股数6,8,10；9,12,15；12,16， AC2= 20;…,我们把3,4,5这样的勾股数称为基 (2)判断以AB,BC,AC三条线段为边能否 本勾股数，请你也写出一组基本勾股数： 构成直角三角形，请说明理由. 能力提升 ◆>》整合运用 9.(2024一2025·南昌期中)一个三角形的三 边长分别为a,b,c,下列条件不能判断它是 直角三角形的是 ) A.a:b:c=8:16:17 B.a2-b2=c2 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=13:5:12 5数学八年级上册配BSD版 10,方程思想新理念一个三角形的三边长之比思维拓展 >强化素养 是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 13.逻辑推理新趋势小明在学习完本节知识 后，对直角三角形的判定提出了新的方法， 11.规律探究新趋势(2025·扬州中考)清代扬 以下是他作业本上的证明过程： 州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提 已知：如图，在△ABC中，AC2+BC2=AB2. 出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提 求证：△ABC是直角三角形 出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现 证明：作CM⊥AC,垂足为C,在CM上截取CD= 了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法 BC,连接AD. 则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12， 因为∠ACD=90°， 13;③7,24,25；④9,40,41；…根据上述规律， 所以AC2十CD2=AD(勾股定理).…① 写出第⑤组勾股数为 因为AC+BC=AB,CD=BC(已知)， 12.(教材P11随堂练习T2变式)如图，在正方 所以AD2=AB2.…② 形ABCD中，正方形的边长为4a,E是BC 所以AD=AB.…③ 即△ADB是等腰三角形.…④ 的中点，F是CD上一点，且DF=CD,判 所以AC⊥DB(等腰三角形三线合一).…⑤ 断△AEF的形状，并说明理由. 所以△ABC是直角三角形.…⑥ (1)阅读小明的证明过程，他从第 步开始出现错误（填序号），这一步错误 的原因是 (2)按照小明作辅助线的方法，写出正确的 证明过程， 提示 请完成基本功专练（一） 第一章勾股定理6