第8讲 天体运动模型（模型与方法）（全国通用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第8讲 天体运动模型 【模型一 开普勒行星运动定律】 类型1：开普勒三定律的理解和应用 【模型二 万有引力定律的理解】 类型1：忽略自转的万有引力定律的应用 类型2：不能忽略自转的万有引力定律的应用 【模型三 宇宙航行】 类型1：人造地球卫星及其参量 类型2：宇宙速度及卫星变轨问题 类型3：双星模型 类型4：多星模型 涉及万有引力定律的自然天体及人造天体问题,包括天体表面重力与天体自转、重力加速度、人造卫星的运行与变轨、双星系统等问题,称为天体模型。除了万有引力定律,此模型还对牛顿运动定律、圆周运动、功与能等知识点进行了考查,是高中物理一个重要的基础性模型,多年来一直是在高考热点中进行考查的一个必考模型。 【模型一 开普勒行星运动定律】 类型1：开普勒三定律的理解和应用 1．内容 定律 内容 图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.＝k，k是一个与行星无关的常量 2.应用 3.天体运动的处理方法 （1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 （2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 （3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球静止卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A． B． C． D． “鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律 同理，对地球的静止卫星根据开普勒第三定律 又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 联立可得 【变式1-1】（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 【答案】C 【详解】根据开普勒第三定律可知 其中，， 代入解得 故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。 故选C。 【变式1-2】（2025·浙江温州·一模）地球绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。地球近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为。不考虑其他天体的影响，则地球在近日点和远日点的线速度大小之比约为（　　） A．1.53 B．1.03 C．0.97 D．0.73 【答案】B 【详解】根据开普勒第二定律，地球在绕日椭圆轨道上运行时，单位时间扫过的面积相等。设近日点和远日点的线速度分别为和，距离分别为 和 。由面积速度相等可得 因此，线速度之比为 故近日点与远日点的线速度大小之比约为1.03。 故选B。 【变式1-3】（2025·山东淄博·三模）2025年4月24日，神舟二十号飞船发射成功。从地面发射后，经转移椭圆轨道1再进入天宫空间站圆轨道2。飞船在椭圆轨道的近地点A和远地点B的速度大小分别为v1、v2，天宫空间站运行周期为T。仅考虑地球对飞船的引力，则飞船从A运动到B的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据开普勒第二定律可知 根据开普勒第三定律有 飞船从A运动到B的时间为 解得 故选A。 【模型二 万有引力定律的理解】 类型1：忽略自转的万有引力定律的应用 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 2．表达式：F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。 3．适用条件 （1）公式适用于质点间的相互作用。 （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 （3）不能得出：当时，物体、间引力趋于无穷大。因为当时两个物体无法看做质点。 4．对万有引力定律的理解： 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上 宏观性 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计 5．万有引力与重力的关系 如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=。而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。 越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 = mg。 6.万有引力应用的解题思路 【典例2】（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 【变式2-1】（2025·河北保定·三模）某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的（　　） A．10倍 B．30倍 C．100倍 D．300倍 【答案】D 【详解】设中心天体质量，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有 解得 由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有 即该星球质量约为地球质量的300倍。 故选D。 【变式2-2】（2025·山西吕梁·三模）2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星Gliese12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese12b体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在Gliese12b表面与地球表面水平抛出，若水平抛出的高度和初速度均相同，则物体第一次落地时水平距离之比约为（　　） A．4∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4 【答案】C 【详解】根据万有引力提供向心力，得 可得星体表面的重力加速度 Gliese12b和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则Gliese12b表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1 又根据 可得在Gliese12b表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2， 根据 可得相同初速度时平抛的水平距离之比为1∶2。 故选C。 【变式2-3】（2025·江西南昌·三模）我国“天问一号”成功探测火星。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。若在火星和地球表面，让小球做自由落体运动，从相同高度下落，小球在火星上的落地时间与在地球上的落地时间之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据 可得 根据 可得 可得 故选D。 类型2：不能忽略自转的万有引力定律的应用 1.不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图。 ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg2。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 2.物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN = 0,有mg=mω2R 所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km) a=g=9.8m/s2，rad/s,, 上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 3.地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T =24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即 根据质量与密度的关系,有 所以,地球的密度应为 即最小密度为ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。 【典例3】（2025·福建泉州·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A． B． C． D． 在地球极地处，万有引力等于重力 地球对月球的万有引力提供向心力 在月球极地处 在月球赤道处 联立，解得 【变式3-1】（2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对物块，由牛顿第二定律有 解得物块受到的支持力 根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为。 故选C。 【变式3-2】（2025·海南三亚·模拟预测）宇宙中某固体星球的自转周期为T、半径为R，如若该星球的自转角速度变为原来的2倍时，会导致该星球刚好要瓦解，不考虑其它天体影响，已知万有引力常量为G。则（　　） A．该星球的质量为 B．该星球的同步卫星轨道半径为 C．星球赤道上质量为m的物体对水平地面的压力为 D．环绕该星球做匀速圆周运动的卫星的最大线速度为 【答案】B 【详解】A．该行星自转角速度变为原来2倍，根据可知，周期将变为，由题意可得 解得 故A错误； B．静止卫星的周期等于该星球的自转周期，由万有引力提供向心力有 联立解得 故B正确； C．行星地面物体的重力和支持力的合力提供向心力，则 联立解得 由牛顿第三定律可知，质量为m的物体对行星赤道地面的压力为 故C错误； D．赤道上的物体做圆周运动的线速度大小为 赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，根据v=ωr可知，同步卫星的线速度大于赤道上物体的线速度，而同步卫星的速度小于环绕该星球做匀速圆周运动的卫星的最大线速度，所以最大线速度大于，故D错误。 故选B。 【变式3-3】（多选）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．自转周期为 D．自转周期为 【答案】AD 【详解】AB．在月球北极点时，物体受到的“重力”与万有引力大小相等 解得，故A正确，B错误； CD．由于在月球赤道上该物体的“重力”为mg0，则有 解得月球自转的周期，故C错误，D正确。 故选AD。 【模型三 宇宙航行】 类型1：人造地球卫星及其参量 1.人造地球卫星的运行轨道 (1)卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道。 (2)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 (3)卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星运行轨道的圆心。在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态。 (4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面垂直(如极地卫星),还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。 2.人造地球卫星的参量规律 卫星在轨道上运行时，卫星的轨道可视为圆形，这样卫星受到的万有引力提供了卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为ω,周期为T,向心加速度大小为a。 3.极地卫星、近地卫星、同步卫星 卫星类型 近地卫星 同步卫星 极地卫星 卫星特征 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径（r ≈R地） 地球同步卫星是指周期和地球自转周期相同的卫星由于卫星所需的向心力由地球的引力提供,所以卫星轨道平面一定过地心,其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,因其相对地面静止,也称静止卫星 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 轨道半径 R（地球半径） R+h（h＝3.6×107m） 向心力 G＝mg＝m 线速度 v＝＝＝7.9 km/s（绕地运行的最大运行速度） v＝3.1×103m/s 向心加速度 a＝g a＝gh＝0.23 m/s2（同步卫星的向心加速度等于该处的重力加速度） 周期 T＝＝2π≈84 min（卫星运行最小周期） T = 24h＝8.64×104s 【典例4】（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 根据题意，由万有引力提供向心力有 解得，，， 由于轨道半径 可得，，， 【变式4-1】（2025·浙江湖州·一模）如图所示，地球静止轨道卫星甲和沿椭圆轨道运行的卫星乙在同一平面上绕地球转动。甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等。A、B分别是椭圆的近地点和远地点，P点为两轨道的交点。则（　　） A．当乙从A点第一次运动到B点，甲刚好转动一周 B．某一时刻甲、乙的速度大小相同 C．甲、乙在P点时加速度大小不同 D．甲的机械能一定比乙的机械能大 【答案】B 【详解】A．甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等，则甲的圆轨道半径与乙的椭圆轨道半长轴相等，根据开普勒第三定律 可得两卫星运动周期相同，当乙从A点第一次运动到B点，只过了半个周期，甲没有转动一周，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 解得线速度 可知卫星半径越大，线速度越小。 卫星乙在B点加速，能变轨到以B点到地球球心为半径的圆轨道上运动，卫星甲的速度大于以B点到地球球心为半径的圆轨道的运行速度，可知卫星甲的速度大于卫星乙在B点速度。同理根据变轨，卫星乙在A点速度大于以A点到地球球心为半径的圆轨道上运行速度，即卫星乙在A点速度大于卫星甲的速度，即甲的速度比乙在A点速度小，比乙在B点速度大，某一时刻速度大小将相等，故B正确； C．根据牛顿第二定律 可得 即同一位置时，甲、乙加速度大小相同，故C错误； D．甲、乙质量未知，机械能大小无法比较，故D错误。 故选B。 【变式4-2】（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为，故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力有 解得，， 故可得周期之比为； 线速度大小之比为； 向心加速度大小之比为； 故BC错误，D正确 故选D。 【变式4-3】（2025·甘肃·高考真题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。 故选A。 类型2：宇宙速度及卫星变轨问题 1．卫星三种“速度”的比较 比较项目 概念 大小 说明 运行速度 指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝ 大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9 km/s 发射速度 指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度 v≥7.9 km/s 卫星在发射过程中要克服地球引力做功，卫星的预定轨道高度越高，所需发射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 由不同卫星的发射要求决定 关系 发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2 km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚 2．三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇宙速度 7.9km/s 物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第一宇宙速度又叫环绕速度。在地面上发射人造卫星的速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地运动 第二宇宙速度 11.2km/s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，第二宇宙速度又叫脱离速度 当11.2km/s≤v＜16.7km/s，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星” 第三宇宙速度 16.7km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度又叫逃逸速度 v≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间 3.同步卫星的发射 （1）变轨原理及过程 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”； ②当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度相同； [来源:学科网ZXXK] ③当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。 （2）两类变轨比较 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m[来源:学科网ZXXK] 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 原因分析 当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行。 (1)当v增大时，卫星所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由知其运行速度要减小。 (2)当v减小时，卫星所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由知其运行速度将增大。(卫星的回收就是利用了这一原理) （3）变轨过程各物理量分析（重点） 【典例5】（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 【变式5-1】（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】B 【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 整理得 A错误； B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 故选B。 【变式5-2】（2022·浙江·高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【答案】C 【详解】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误； C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由 可得 可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误； 故选C。 【变式5-3】（2025·吉林长春·一模）2024年11月15日，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟八号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆轨道1，并以周期稳定运行，之后飞船从1号轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，约3小时后，飞船与空间站组合体完成交会对接，并在3号轨道上以周期稳定运行。已知万有引力常量为G，地球半径为R，1号圆轨道距地面高度，3号圆轨道距地面高度，则（　　） A． B．货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速 C．货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为 D．根据题目条件可以求出地球密度的表达式为 【答案】D 【详解】A．设地球质量为，空间站，在3号轨道，由万有引力提供向心力有（） 可得 所以，故A错误； B．货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火加速做离心运动，故B错误； C．由A选项分析可知，在轨道1上的飞船线速度 故货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为，故C错误； D．结合题意和以上分析，在1号轨道有 由地球质量 联立以上解得地球密度，故D正确。 故选D。 类型3：双星模型 1．双星 （1）定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。它们在宇宙中往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。 （2）双星的特点 ①“向心力等大反向”——各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。所以有＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②“周期、角速度相同”——两颗星做匀速圆周运动的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③“距离不变”——两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，r1＋r2＝L。 ④“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成反比。 ⑤若在双星模型中，图中L、m1、m2、G为已知量，双星的运动周期T＝2π。 ⑥若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G已知，双星的总质量m1＋m2＝，即双星系统 的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。 （3）在处理双星问题时要特别注意以下几个问题： ①由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 ②由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，可得，即固定点离质量大的星较近。 ③万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 ④当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 （4）模型条件： ①两颗星彼此相距较近。 ②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③两颗星绕同一圆心做圆周运动。 （5）解答双星问题应注意“两等”“两不等” ①双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。 ②“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。 【典例6】（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 【变式6-1】（2025·重庆·三模）双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在与双星系统轨道在同一平面上的点A观测双星的运动，得到a、b到OA连线的距离x与观测时间t的关系图像如图所示，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．a、b的线速度之比为3∶4 B．a的角速度大于b的角速度 C．a的质量为 D．b的质量为 【答案】C 【详解】B．两颗恒星做圆周运动的周期相同，根据，a的角速度等于b的角速度，故B错误； A．当a、b连线与OA垂直时，两颗恒星到OA连线的距离最远，这个最远距离就是两个恒星运动的轨道半径，所以两颗恒星做圆周运动的轨道半径分别为， 根据得，故A错误； CD．根据图像，和时，两颗恒星到OA连线的距离等于0，表明两颗恒星与A点在同一条直线上，所以两个恒星做圆周运动的周期为 根据牛顿第二定律得， 解得，，故C正确，D错误。 故选C。 【变式6-2】（2025·天津·一模）近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动，如图甲所示，月球绕地球运动的周期为。为了更精准测量地月系统，认为地月系统是一个双星系统，如图乙所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为。若地球、月球质量分别为m地、m月，两球心相距为r，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．图甲中，地球的密度可表示为 B．图甲中月球绕地球运动的周期等于图乙中月球绕O点运动的周期 C．图乙中地月双星轨道中O点到地心距离为 D．图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比 【答案】C 【详解】A．图甲中，根据万有引力提供向心力 设地球的半径为R，地球的体积为 图甲中，地球密度为 故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力 解得图甲中月球绕地球运动的周期为 地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为，地月双星轨道中O点到月球圆心距离为，则 可得 且 解得、、 则 可知图甲月球绕地球运动的周期大于图（b）中月球绕O点运动的周期，故BD错误，C正确。 故选C。 【变式6-3】（多选）（2025·湖南·一模）宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，且，，万有引力常量为G。则（　　） A．星球A、B做圆周运动的线速度之比为1:3 B．星球A、B做圆周运动的角速度之比为3:1 C．星球B做圆周运动的周期为 D．若质量较大的A星球会“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”的最初阶段，A、B运动的周期变大 【答案】AC 【详解】AB．对双星系统，彼此之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，有， 可得 A、B做圆周运动的角速度相同，半径与质量成反比，由，知线速度之比为，故A正确、B错误； C．根据 又，则，故C正确； D．由于质量在两星球间转移，总质量不变，由，则周期不变，故D错误。 故选AC。 类型4：多星模型 （1）多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 （2）“多星”问题 ①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 ②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 ③注意利用几何知识求半径。 （3）三星模型： ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：×2×cos 30°＝ma其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 （4）“四星”模型 ⅰ．其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动。 ①如图所示， 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ⅱ．另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动。 ②如图所示： 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 【典例7】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得 α = 30° 则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 【变式7-1】（2024·湖南长沙·二模）据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，AB = CD，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设AB = CD = a，由几何关系可知，图甲中对角线上两颗星的距离为 图甲中每颗星受力情况如图所示 由万有引力公式 可得 则每颗星所受合力为 由合力提供向心力有 解得 根据题意，由几何关系可知，图乙中，两个三角形顶点上的星间的距离为 图乙中三角形顶点上的星受力情况如图所示 由万有引力公式 可得 则三角形顶点上的星所受合力为 由合力提供向心力有 解得 故 故选B。 【变式7-2】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是（　　） A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为 C．四颗星表面的重力加速度均为G D．四颗星的周期均为 【答案】B 【详解】A．根据对称性可知四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，如图所示 故A正确； B．由图可知轨道半径 故B错误； C．在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 得四颗星表面的重力加速度均为 故C正确； D．由万有引力提供向心力可知 解得四颗星的周期均为 故D正确。 本题选说法错误的，故选B。 【变式7-3】（多选）（2024·四川成都·一模）如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为，中心天体质量为，环绕天体质量均为，已知，则（　　） A．乙、丙图中环绕天体的周期之比为 B．乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度 C．甲图中的角速度大于丙图中的角速度 D．乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为 【答案】CD 【详解】A．根据万有引力定律，对乙图所示的模型有 可得 对丙图所示的模型有 可得 则有 故A错误； B．角速度之比等于周期的反比，乙图中环绕天体的周期比丙图中的大，故乙图中环绕天体的角速度比丙图中的小，故B错误； C．根据万有引力定律，对甲图所示的模型有 解得 对丙图所示的模型有 解得 由于，则甲图中的角速度大于丙图中的角速度，故C正确； D．乙、丙两图半径相同，线速度之比为周期的反比，故线速度之比为，故D正确。 故选CD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 天体运动模型 【模型一 开普勒行星运动定律】 类型1：开普勒三定律的理解和应用 【模型二 万有引力定律的理解】 类型1：忽略自转的万有引力定律的应用 类型2：不能忽略自转的万有引力定律的应用 【模型三 宇宙航行】 类型1：人造地球卫星及其参量 类型2：宇宙速度及卫星变轨问题 类型3：双星模型 类型4：多星模型 涉及万有引力定律的自然天体及人造天体问题,包括天体表面重力与天体自转、重力加速度、人造卫星的运行与变轨、双星系统等问题,称为天体模型。除了万有引力定律,此模型还对牛顿运动定律、圆周运动、功与能等知识点进行了考查,是高中物理一个重要的基础性模型,多年来一直是在高考热点中进行考查的一个必考模型。 【模型一 开普勒行星运动定律】 类型1：开普勒三定律的理解和应用 1．内容 定律 内容 图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.＝k，k是一个与行星无关的常量 2.应用 3.天体运动的处理方法 （1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 （2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 （3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【典例1】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球静止卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A． B． C． D． “鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律 同理，对地球的静止卫星根据开普勒第三定律 又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 联立可得 【变式1-1】（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 【变式1-2】（2025·浙江温州·一模）地球绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。地球近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为。不考虑其他天体的影响，则地球在近日点和远日点的线速度大小之比约为（　　） A．1.53 B．1.03 C．0.97 D．0.73 【变式1-3】（2025·山东淄博·三模）2025年4月24日，神舟二十号飞船发射成功。从地面发射后，经转移椭圆轨道1再进入天宫空间站圆轨道2。飞船在椭圆轨道的近地点A和远地点B的速度大小分别为v1、v2，天宫空间站运行周期为T。仅考虑地球对飞船的引力，则飞船从A运动到B的时间为（　　） A． B． C． D． 【模型二 万有引力定律的理解】 类型1：忽略自转的万有引力定律的应用 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 2．表达式：F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。 3．适用条件 （1）公式适用于质点间的相互作用。 （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 （3）不能得出：当时，物体、间引力趋于无穷大。因为当时两个物体无法看做质点。 4．对万有引力定律的理解： 普适性 万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一 相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上 宏观性 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计 5．万有引力与重力的关系 如图所示，在纬度为的地表处，物体所受的万有引力为F=。而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcos·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。 越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 = mg。 6.万有引力应用的解题思路 【典例2】（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 【变式2-1】（2025·河北保定·三模）某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的（　　） A．10倍 B．30倍 C．100倍 D．300倍 【变式2-2】（2025·山西吕梁·三模）2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星Gliese12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese12b体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在Gliese12b表面与地球表面水平抛出，若水平抛出的高度和初速度均相同，则物体第一次落地时水平距离之比约为（　　） A．4∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4 【变式2-3】（2025·江西南昌·三模）我国“天问一号”成功探测火星。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。若在火星和地球表面，让小球做自由落体运动，从相同高度下落，小球在火星上的落地时间与在地球上的落地时间之比约为（　　） A． B． C． D． 类型2：不能忽略自转的万有引力定律的应用 1.不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图。 ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg2。 ③在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 2.物体在赤道上完全失重的条件 设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即FN = 0,有mg=mω2R 所以完全失重的临界条件为(地球半径R=6400km) a=g=9.8m/s2，rad/s,, 上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。 3.地球不因自转而瓦解的最小密度 地球以T =24h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力,即 根据质量与密度的关系,有 所以,地球的密度应为 即最小密度为ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状态。 【典例3】（2025·福建泉州·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A． B． C． D． 在地球极地处，万有引力等于重力 地球对月球的万有引力提供向心力 在月球极地处 在月球赤道处 联立，解得 【变式3-1】（2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·海南三亚·模拟预测）宇宙中某固体星球的自转周期为T、半径为R，如若该星球的自转角速度变为原来的2倍时，会导致该星球刚好要瓦解，不考虑其它天体影响，已知万有引力常量为G。则（　　） A．该星球的质量为 B．该星球的同步卫星轨道半径为 C．星球赤道上质量为m的物体对水平地面的压力为 D．环绕该星球做匀速圆周运动的卫星的最大线速度为 【变式3-3】（多选）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．自转周期为 D．自转周期为 【模型三 宇宙航行】 类型1：人造地球卫星及其参量 1.人造地球卫星的运行轨道 (1)卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道。 (2)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 (3)卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星运行轨道的圆心。在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态。 (4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面垂直(如极地卫星),还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。 2.人造地球卫星的参量规律 卫星在轨道上运行时，卫星的轨道可视为圆形，这样卫星受到的万有引力提供了卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为ω,周期为T,向心加速度大小为a。 3.极地卫星、近地卫星、同步卫星 卫星类型 近地卫星 同步卫星 极地卫星 卫星特征 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径（r ≈R地） 地球同步卫星是指周期和地球自转周期相同的卫星由于卫星所需的向心力由地球的引力提供,所以卫星轨道平面一定过地心,其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,因其相对地面静止,也称静止卫星 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 轨道半径 R（地球半径） R+h（h＝3.6×107m） 向心力 G＝mg＝m 线速度 v＝＝＝7.9 km/s（绕地运行的最大运行速度） v＝3.1×103m/s 向心加速度 a＝g a＝gh＝0.23 m/s2（同步卫星的向心加速度等于该处的重力加速度） 周期 T＝＝2π≈84 min（卫星运行最小周期） T = 24h＝8.64×104s 【典例4】（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 根据题意，由万有引力提供向心力有 解得，，， 由于轨道半径 可得，，， 【变式4-1】（2025·浙江湖州·一模）如图所示，地球静止轨道卫星甲和沿椭圆轨道运行的卫星乙在同一平面上绕地球转动。甲的圆轨道直径与乙的椭圆轨道长轴相等。A、B分别是椭圆的近地点和远地点，P点为两轨道的交点。则（　　） A．当乙从A点第一次运动到B点，甲刚好转动一周 B．某一时刻甲、乙的速度大小相同 C．甲、乙在P点时加速度大小不同 D．甲的机械能一定比乙的机械能大 【变式4-2】（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【变式4-3】（2025·甘肃·高考真题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 类型2：宇宙速度及卫星变轨问题 1．卫星三种“速度”的比较 比较项目 概念 大小 说明 运行速度 指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝ 大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝7.9 km/s 发射速度 指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度 v≥7.9 km/s 卫星在发射过程中要克服地球引力做功，卫星的预定轨道高度越高，所需发射速度越大 宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 由不同卫星的发射要求决定 关系 发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v发＝11.2 km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v发＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚 2．三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇宙速度 7.9km/s 物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。第一宇宙速度又叫环绕速度。在地面上发射人造卫星的速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地运动 第二宇宙速度 11.2km/s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，第二宇宙速度又叫脱离速度 当11.2km/s≤v＜16.7km/s，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星” 第三宇宙速度 16.7km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度又叫逃逸速度 v≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间 3.同步卫星的发射 （1）变轨原理及过程 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达200km—300 km的圆轨道I上。围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”； ②当卫星穿过赤道平面A点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B时，恰为赤道上空36000km处，这条轨道称为“转移轨道”。沿轨道1和2分别经过A点时，加速度相同； [来源:学科网ZXXK] ③当卫星到达远地点B（远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。 同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。 （2）两类变轨比较 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m[来源:学科网ZXXK] 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 原因分析 当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行。 (1)当v增大时，卫星所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由知其运行速度要减小。 (2)当v减小时，卫星所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由知其运行速度将增大。(卫星的回收就是利用了这一原理) （3）变轨过程各物理量分析（重点） 【典例5】（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 【变式5-1】（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【变式5-2】（2022·浙江·高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【变式5-3】（2025·吉林长春·一模）2024年11月15日，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟八号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆轨道1，并以周期稳定运行，之后飞船从1号轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，约3小时后，飞船与空间站组合体完成交会对接，并在3号轨道上以周期稳定运行。已知万有引力常量为G，地球半径为R，1号圆轨道距地面高度，3号圆轨道距地面高度，则（　　） A． B．货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速 C．货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为 D．根据题目条件可以求出地球密度的表达式为 类型3：双星模型 1．双星 （1）定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。它们在宇宙中往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。 （2）双星的特点 ①“向心力等大反向”——各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。所以有＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②“周期、角速度相同”——两颗星做匀速圆周运动的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③“距离不变”——两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，r1＋r2＝L。 ④“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成反比。 ⑤若在双星模型中，图中L、m1、m2、G为已知量，双星的运动周期T＝2π。 ⑥若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G已知，双星的总质量m1＋m2＝，即双星系统 的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。 （3）在处理双星问题时要特别注意以下几个问题： ①由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。 ②由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，可得，即固定点离质量大的星较近。 ③万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。 ④当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 （4）模型条件： ①两颗星彼此相距较近。 ②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 ③两颗星绕同一圆心做圆周运动。 （5）解答双星问题应注意“两等”“两不等” ①双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。 ②“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。 【典例6】（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 【变式6-1】（2025·重庆·三模）双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在与双星系统轨道在同一平面上的点A观测双星的运动，得到a、b到OA连线的距离x与观测时间t的关系图像如图所示，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．a、b的线速度之比为3∶4 B．a的角速度大于b的角速度 C．a的质量为 D．b的质量为 【变式6-2】（2025·天津·一模）近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动，如图甲所示，月球绕地球运动的周期为。为了更精准测量地月系统，认为地月系统是一个双星系统，如图乙所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为。若地球、月球质量分别为m地、m月，两球心相距为r，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．图甲中，地球的密度可表示为 B．图甲中月球绕地球运动的周期等于图乙中月球绕O点运动的周期 C．图乙中地月双星轨道中O点到地心距离为 D．图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比 【变式6-3】（多选）（2025·湖南·一模）宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，且，，万有引力常量为G。则（　　） A．星球A、B做圆周运动的线速度之比为1:3 B．星球A、B做圆周运动的角速度之比为3:1 C．星球B做圆周运动的周期为 D．若质量较大的A星球会“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”的最初阶段，A、B运动的周期变大 类型4：多星模型 （1）多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 （2）“多星”问题 ①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。 ②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。 ③注意利用几何知识求半径。 （3）三星模型： ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：×2×cos 30°＝ma其中L＝2rcos 30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 （4）“四星”模型 ⅰ．其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动。 ①如图所示， 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ⅱ．另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动。 ②如图所示： 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 【典例7】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得 α = 30° 则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 【变式7-1】（2024·湖南长沙·二模）据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，AB = CD，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是（　　） A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为 C．四颗星表面的重力加速度均为G D．四颗星的周期均为 【变式7-3】（多选）（2024·四川成都·一模）如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为，中心天体质量为，环绕天体质量均为，已知，则（　　） A．乙、丙图中环绕天体的周期之比为 B．乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度 C．甲图中的角速度大于丙图中的角速度 D．乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $