答题模板03 函数概论-幂函数6题型（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

答题模板03：幂函数 题型01 幂函数的定义域、图像 题型02 幂函数性质求值、参数 题型03 幂函数单调性解不等式 题型04 幂函数比较大小 题型05 幂函数的单调性求参、不等式恒成立问题 题型06 幂函数单调性奇偶性综合 本节导航 题型01 幂函数的定义域、图像 （2025高一上·全国·专题练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）典例1    A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: ①②③④对应四个幂函数的图象 结论: ①对应的幂函数是 思路 探求 根据①对应的函数图象特点分析. 书写 表达 由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 题后 反思 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程． 一般幂函数特征： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． （25-26高一上·全国·课前预习）一般地，形如 （为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.变式1 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】略 【详解】略 （2025高一上·全国·专题练习）幂函数的定义域是（ ）变式2 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【详解】，，即的定义域为. 故选：B. （2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ）变式3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、一次函数的图像和性质、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 题型02幂函数性质求值、参数 （25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知幂函数为偶函数，则（    ）典例2 A．4 B． C．2 D．1 四步 内容 理解 题意 条件: 幂函数为偶函数 结论: 求a 思路 探求 根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求解. 书写 表达 由幂函数定义得，解得或， 当时，，定义域为，不为偶函数，不满足题意； 当时，，定义域为，且，故为偶函数. 故选：C 题后 反思 由奇偶性求参数、根据函数是幂函数求参数值 幂函数的定义只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数． （25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，则 ．变式1 【答案】/ 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的性质求出，进而求解. 【详解】由题，可得，解得， ，则. 故答案为：. （25-26高三上·山西太原·阶段练习）（多选）已知函数是幂函数，则（   ）变式2 A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. （25-26高一上·贵州黔西·阶段练习）幂函数在区间上单调递增，则等于 .变式3 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】先根据函数是幂函数得出或，再根据幂函数的单调递增得出即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，所以或， 当时，在区间上单调递减，不合题意； 当时，在区间上单调递增，符合题意； 则. 故答案为：. 题型03幂函数单调性解不等式 （25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减 结论: 满足的实数的取值范围 思路 探求 结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 书写 表达 因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 题后 反思 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值． 幂函数的单调性解不等式一般步骤： →→→→→ （25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ．变式1 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式． 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． （25-26高三上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的解集为 .变式2 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、判断五种常见幂函数的奇偶性、由幂函数的单调性解不等式 【分析】设幂函数，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再分析函数的单调性与奇偶性，利用单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】依题意设幂函数，因为已知幂函数的图象过点， 所以，解得，所以， 显然是偶函数，且在上单调递增， 所以， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. （2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　）变式3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 题型04幂函数比较大小 （25-26高三上·广东中山·阶段练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ）典例4 A．， B．， C．， D．， 四步 内容 理解 题意 条件: 函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数 结论: 由幂函数的单调性比较大小 思路 探求 根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 书写 表达 ∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 题后 反思 根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． （23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. （25-26高一上·河北邢台·阶段练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ）变式1 A．为增函数 B．为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】由已知点的坐标先求出函数解析式，然后结合幂函数的性质检验各选项即可判断． 【详解】设幂函数，由于图象经过点， 所以，即， 所以， 故在定义域上单调递增，A正确； 为非奇非偶函数，B不符合题意； 当，解得，故C正确； 当时， ， 故，即成立，D正确． 故选：ACD （25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）（多选）设，，则下列不等式成立的是（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】由幂函数的单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为，则，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为函数在单调递增，所以，故B错误； 对于C，因为函数在单调递增，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减，所以，故D正确； 故选：AD （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）已知正数满足，则下列不等式一定成立的有（　　）变式3 A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、作差法比较代数式的大小 【分析】依题意得，再由作差法依次判断选项即可． 【详解】函数在上单调递增，依题意得， 得， 对于A项，因为，则一定成立，故成立，故A正确； 对于B项，，因为，所以，得，得，故B项正确； 对于C项，， 因为，但与1无法确定大小关系，所以C项错误； 对于D项，，因为，则，所以，故D项错误． 故选：AB 题型05幂函数的单调性求参、不等式恒成立问题 （25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数．典例5 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 四步 内容 理解 题意 条件: 已知为幂函数 结论: (1)求的解析式；(2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围；②若恒成立，求实数的取值范围． 思路 探求 （1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 书写 表达 （1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 题后 反思 根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、函数不等式恒成立问题 1. 由幂函数的定义与性质列式即可求幂函数的解析式。 2. 定义法证明函数单调性的步骤：取值、做差变形、定号、得出结论。 3. 将恒成立问题和有解问题转化成最值问题，参变量分离以后即可求解。 （24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知幂函数在单调增，.变式1 (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围； (3)求关于x的不等式解集.(其中). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意：，或 又因为在单调增，，. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，. （3）不等式转化为，则. 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. （25-26高一上·广西河池·阶段练习）已知幂函数，且．变式2 (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果； （2）利用函数的奇偶性与单调性可得，求解即可. 【详解】（1）函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； （2）由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． （25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增.变式3 (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、函数不等式恒成立问题、由幂函数的单调性求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 题型06 幂函数单调性奇偶性综合 （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．典例6 (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，使得，则实数的取值范围是． 四步 内容 理解 题意 条件: 幂函数是偶函数，且在上单调递增 结论：(1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，使得，则实数的取值范围是． 思路 探求 由幂函数的定义与性质列式即可解; 利用偶函数的性质，结合单调性可解; 将恒成立问题和有解问题转化成最值问题，参变量分离以后即可求解. 书写 表达 （1）由题意知，解得或. 当时，不是偶函数，不合题意; 当时，是偶函数，合题意，故. （2）因为为偶函数，且在上单调递增， 由得，解得， 故不等式的解集为. （3）若使得，即 只需存在使得，当时取得最小值5，即 ，即使得成立， 只要，或时取得最大值9， 所以. 题后 反思 由函数奇偶性解不等式、求幂函数的解析式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 利用幂函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域. （25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称.变式1 (1)求点的坐标； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2). 【知识点】根据函数的单调性解不等式、判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数图象的变换 【分析】（1）变形函数的解析式，求出函数的唯一对称中心，再利用平移变换求出点的坐标. （2）由（1）的信息解利用因式分解法解不等式即可. 【详解】（1）函数， 显然曲线是函数的图象沿轴向左平移1个单位，再向下平移个单位而得， 由，得函数是奇函数，其图象关于点对称， 而都是R上的增函数，函数是R上的增函数， 又函数的图象不是直线，因此点是函数的图象的唯一对称中心， 则曲线关于点成中心对称，且点是曲线的唯一对称中心， 所以点的坐标为. （2）由（1）知，不等式， 则，解得，所以不等式的解集为. （25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且．变式2 (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． （24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 .变式3 【答案】 －2 －1 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数是幂函数求参数值、函数不等式恒成立问题 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别 【分析】将原函数分离常数后可得其由反比例函数平移而来，即可得解. 【详解】， 故该函数可由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 故B正确、A、C、D错误. 故选：B. 2．（25-26高三上·河南商丘·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义，利用代入法进行求解即可. 【详解】设，由题意可知，，所以，则， 所以． 故选：C 3．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案. 【详解】由幂函数的概念可得，解得或. 当时，，定义域为，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为，符合题意，所以， 所以. 故选：C 4．（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，结合幂函数的性质比较大小. 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又因函数在上为增函数，由，可得， 故. 故选：B 5．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数求参数，再由函数定义域确定最终参数值. 【详解】由， 所以或，则或， 又的定义域为，即，所以. 故选：A 6．（25-26高三上·安徽·阶段练习）（多选）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项. 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 7.（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）（多选）已知实数a，b，c满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据不等式性质及条件判断A、D；根据题意得，结合不等式的性质判断B；结合题意，利用函数的单调性判断C. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，由于且，故，所以， 故，B正确； 对于C，因为，且函数在R上单调递增，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D错误. 故选：BC 8.（25-26高三上·江西·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则 . 【答案】4 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据函数是幂函数得出参数，再代入计算求出函数值. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或， 又因为函数的定义域为， 当时，定义域为不符合题意； 当时，符合题意； 所以，则。 故答案为：4. 9．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 10．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过点和点则 . 【答案】3 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】依次代入点和点即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：3 12．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）若幂函数在上是增函数，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 13．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知函数. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数 【分析】（1）直接求解即可； （2）由得即可求解. 【详解】（1）函数，则； （2）若，则，所以. 14．（25-26高三上·甘肃临夏·阶段练习）已知函数． (1)是否存在实数a，，使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）利用幂函数的单调性结合值域建立方程，根据一元二次方程的解确定即可； （2）构造函数，利用其单调性去函数符号解不等式即可. 【详解】（1）假设存在实数a，，使得在区间上的取值范围为． ∵函数的定义域为，且函数在上单调递增， ∴，，即方程在上有两个不相等的实数根． 方程，整理得． ∵，∴方程无实数根． ∴假设不成立，即不存在实数a，， 使得在区间上的取值范围为． （2）设函数． ∵函数，在区间上都单调递增， ∴函数在区间上单调递增． 又∵， ∴等价于， 即． ∴，即，解得， 故不等式的解集为． 15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；;当时，不等式解集为. 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题； （2）根据一元二次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板03：幂函数 题型01 幂函数的定义、图像 题型02 幂函数性质求值、参数 题型03 幂函数单调性解不等式 题型04 幂函数比较大小 题型05 幂函数的单调性求参、不等式恒成立问题 题型06 幂函数单调性奇偶性综合 本节导航 题型01 幂函数的定义、图像 （2025高一上·全国·专题练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）典例1    A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: ①②③④对应四个幂函数的图象 结论: ①对应的幂函数是 思路 探求 根据①对应的函数图象特点分析. 书写 表达 由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 题后 反思 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程． 一般幂函数特征： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． （25-26高一上·全国·课前预习）一般地，形如 （为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.变式1 （2025高一上·全国·专题练习）幂函数的定义域是（ ）变式2 A． B． C． D． （2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ）变式3 A． B． C． D． 题型02幂函数性质求值、参数 （25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知幂函数为偶函数，则（    ）典例2 A．4 B． C．2 D．1 四步 内容 理解 题意 条件: 幂函数为偶函数 结论: 求a 思路 探求 根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求解. 书写 表达 由幂函数定义得，解得或， 当时，，定义域为，不为偶函数，不满足题意； 当时，，定义域为，且，故为偶函数. 故选：C 题后 反思 由奇偶性求参数、根据函数是幂函数求参数值 幂函数的定义只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数． （25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，则 ．变式1 （25-26高三上·山西太原·阶段练习）（多选）已知函数是幂函数，则（   ）变式2 A． B． C．是偶函数 D．当时， （25-26高一上·贵州黔西·阶段练习）幂函数在区间上单调递增，则等于 .变式3 题型03幂函数单调性解不等式 （25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减 结论: 满足的实数的取值范围 思路 探求 结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 书写 表达 因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 题后 反思 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值． 幂函数的单调性解不等式一般步骤： →→→→→ （25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ．变式1 （25-26高三上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的解集为 .变式2 （2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　）变式3 A． B． C． D． 题型04幂函数比较大小 （25-26高三上·广东中山·阶段练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ）典例4 A．， B．， C．， D．， 四步 内容 理解 题意 条件: 函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数 结论: 由幂函数的单调性比较大小 思路 探求 根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 书写 表达 ∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 题后 反思 根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． （23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·河北邢台·阶段练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ）变式1 A．为增函数 B．为偶函数 C．若，则 D．若，则 （25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）（多选）设，，则下列不等式成立的是（   ）变式2 A． B． C． D． （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）已知正数满足，则下列不等式一定成立的有（　　）变式3 A． B． C． D． 题型05幂函数的单调性求参、不等式恒成立问题 （25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数．典例5 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 四步 内容 理解 题意 条件: 已知为幂函数 结论: (1)求的解析式；(2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围；②若恒成立，求实数的取值范围． 思路 探求 （1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 书写 表达 （1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 题后 反思 根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、函数不等式恒成立问题 1. 由幂函数的定义与性质列式即可求幂函数的解析式。 2. 定义法证明函数单调性的步骤：取值、做差变形、定号、得出结论。 3. 将恒成立问题和有解问题转化成最值问题，参变量分离以后即可求解。 （24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知幂函数在单调增，.变式1 (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围； (3)求关于x的不等式解集.(其中). （25-26高一上·广西河池·阶段练习）已知幂函数，且．变式2 (1)求； (2)若，求实数的取值范围． （25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增.变式3 (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 题型06 幂函数单调性奇偶性综合 （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．典例6 (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，使得，则实数的取值范围是． 四步 内容 理解 题意 条件: 幂函数是偶函数，且在上单调递增 结论：(1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，使得，则实数的取值范围是． 思路 探求 由幂函数的定义与性质列式即可解; 利用偶函数的性质，结合单调性可解; 将恒成立问题和有解问题转化成最值问题，参变量分离以后即可求解. 书写 表达 （1）由题意知，解得或. 当时，不是偶函数，不合题意; 当时，是偶函数，合题意，故. （2）因为为偶函数，且在上单调递增， 由得，解得， 故不等式的解集为. （3）若使得，即 只需存在使得，当时取得最小值5，即 ，即使得成立， 只要，或时取得最大值9， 所以. 题后 反思 由函数奇偶性解不等式、求幂函数的解析式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 利用幂函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域. （25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称.变式1 (1)求点的坐标； (2)求不等式的解集. （25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且．变式2 (1)求； (2)若，求的取值范围． （24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 .变式3 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南商丘·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 4．（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三上·安徽·阶段练习）（多选）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 7.（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）（多选）已知实数a，b，c满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·江西·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则 . 9．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 10．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 11．（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过点和点则 . 12．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）若幂函数在上是增函数，则实数 ． 13．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知函数. (1)求； (2)若，求的值. 14．（25-26高三上·甘肃临夏·阶段练习）已知函数． (1)是否存在实数a，，使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． (2)求不等式的解集． 15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $