答题模板01 函数的性质-单调性6题型（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

答题模板01：函数的性质-单调性 题型01 利用定义证明函数的单调性 题型02 求单调区间并判断单调性 题型03 抽象函数的单调性、根据单调性解不等式 题型04 利用单调性求函数的最值 题型05 根据函数单调性求参数 题型06 根据分段函数单调性求参数 本节导航 题型01 利用定义证明函数的单调性 证明函数在区间(0,+∞)上是增函数.典例1 四步 内容 理解 题意 条件:函数,x∈(0,+∞)结论:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数 思路 探求 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2⇨h(x1)>h(x2)⇨函数h(x)在区间(0,+∞)上是增函数 书写 表达 设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2 , 因，有，，， 则，因此， 所以函数在上为增函数． 注意书写的规范性:①x1,x2取值任意且分大小;②变形是解题关键. 题后 反思 利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形,且变形的结果是几个因式乘积的形式. 利用定义证明函数单调性的步骤 判断函数在上的单调性.变式1 【解析】设是任意两个正数，且， 当时，，又， 所以，即, 所以函数在 上是减函数； 当时，，又, 所以，即， 所以函数在 上是增函数． 综上可知，函数在上是减函数，在 为增函数． 用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．变式2 【解】设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝． 因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数． （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足．变式3 (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减证明见解析，在上的值域为 【知识点】已知f（g（x））求解析式、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）首先令求出的表达式，再直接求出表达式的值即可证明； （2）根据单调性的定义即可证明的单调性，再求出、即可得到函数在上的值域． 【详解】（1）由，令，则，则有， ，即， ，， 所以． （2）设，则， 因为，，所以，即在上单调递减， 又，，故值域为． 题型02 求单调区间并判断单调性 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？典例2 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在区间[－5,5]上的函数图像如图；结论:求函数的单调区间 思路 探求 根据图象求单调区间 书写 表达 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数． 题后 反思 函数单调区间的两种求法 ①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 函数y=|x|(1-x)在区间A上是减函数,那么区间A是 ( )变式1 A.(-∞,0) B. C.[0,+∞) D.(-∞,0) 【解析】选D. 再结合二次函数图象可知函数y=|x|(1-x)的减区间是(-∞,0), （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ．变式2 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 题型03抽象函数的单调性、根据单调性解不等式 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）函数满足对一切x，有，且；当时，有．典例3 (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数满足对一切x，有，且；当时，有； 结论: (1)求的值；(2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 思路 探求 (1)根据题意，带特殊值，求函数值； (2)按照单调性的定义,构造f(x2)-f(x1),再判断符号； (3)将2化为f(x0)的形式,再利用单调性解不等式. 书写 表达 （1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 题后 反思 抽象函数的单调性证明还是围绕构造定义式展开思维，结合函数的单调性解不等式 关于抽象函数的单调性证明 (1)证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义,要围绕构造定义式展开思维. (2)构造定义式的依据是已知的抽象函数的性质关系式,需要灵活进行自变量的赋值、拆分、组合,直到构造出f(x1)-f(x2),再利用已知条件展开化简. 若f(x)的定义域为(0,+∞),当0<x<1时,f(x)<0,且对一切x,y>0,满足f() =f(x)-f(y).变式1 (1)证明函数f(x)是增函数. (2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()<2. 【解析】(1)因为当0<x<1时,f(x)<0, ∀x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,则,，所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)是增函数. (2)因为f(6)=1,所以2=1+1=f(6)+f(6), 所以不等式f(x+3)-f()<2,等价为不等式f(x+3)-f()<f(6)+f(6). 所以f(3x+9)-f(6)<f(6),即f()<f(6), 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以 解得-3<x<9,即不等式的解集为(-3,9). （24-25高一上·云南·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 .变式2 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据定义判断函数单调性，再根据单调性解不等式. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数，都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：. （25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，且，当时，．变式3 (1)求，的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并给出证明． (4)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 (4) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）利用（1）中结果得，再结合条件，即可求证； （3）利用单调函数的定义，令，，结合条件，得到，再结合（2）中结果，即可求解； （4）根据函数，利用（3）中结果，得的单调性，从而将问题转化成解不等式，即可求解. 【详解】（1）令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． （2）由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． （3）在上单调递减．证明如下， 任取，且，令，， 则，得． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． （4）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减． 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得．故不等式的解集为． 题型04利用单调性求函数的最值 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．典例4 (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 四步 内容 理解 题意 条件: f(x)＝，x∈[3,5] 结论: (1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值． 思路 探求 利用定义证明函数的单调性,利用单调性求最值. 四步 内容 书写 表达 (1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝. 注意书写的规范性:①差式分解到位,是判断符号的关键;②单调性是确定最值的依据. 题后 反思 求函数的最值时首先要关注函数的单调性,由单调性确定取最值时的自变量值. 1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2.函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c) 中较小(大)的一个. (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． （25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ）变式1 A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. （25-26高一上·北京·阶段练习）已知函数，其中a，b为常数，且，．变式2 (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)最大值为，最小值为. 【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）直接由已知的函数值计算可得； （2）直接根据函数的单调性的定义证明可得； （3）由（2）知函数在上是减函数，再判断函数在上是增函数，进而可得函数的最大值和最小值. 【详解】（1）由，，得，解得. 故. （2）设任取，且，由（1）得，所以，. 因，得.又因，，，即； 所以，即. 所以函数在区间上是减函数. （3）设任取，且，，. 因，得.又因，，，即. 所以，即.所以函数在区间上是增函数. 再由（2）可知函数在区间上是减函数，在上是增函数. 所以时，，又，，. 所以时，. 故函数在区间上最大值为，最小值为. （25-26高一上·广东·阶段练习）已知函数，且．变式3 (1)求a； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）将代入函数，求解即可. （2）利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解. （3）由（2）知，得到函数在上为单调递增函数，进而求得函数的最值. 【详解】（1）因为函数，且，可得，解得. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，且，可得，，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）由（2）知，函数在上为单调递增函数， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型05根据函数单调性求参数 （25-26高二上·云南·阶段练习）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（   ）典例5 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，若对于任意的、，且，都有成立 结论: 求的取值范围． 思路 探求 构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 四步 内容 书写 表达 因为对于任意的，且，都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 题后 反思 构造新函数，根据函数的单调性求参数值 （25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，且．变式1 (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【知识点】已知函数类型求解析式、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由，列出方程求解即可； （2）由减函数的定义即可求证； （3）由函数单调性去“”即可求解. 【详解】（1）因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即.   故函数的解析式为， （2）对，且，. 其中，，.                      因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3）因，有意义， 所以，，解得 因为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，定义域为．变式2 (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】（1）设，则， 化简得：， 因为，所以，，，那么，即， 所以函数在上单调递增； （2）因为，即，则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. （3）因为在上单调递增，且，所以可得， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则或， 时，，取； 时，，取； 综合可得或. （25-26高一上·湖北·阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且．变式3 (1)若在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据二次函数图象的单调性和对称轴，列出不等式，求出参数范围即可； （2）根据题意，构造新的函数，根据二次函数恒成立，列出不等式组，求出参数范围； 【详解】（1）由可知二次函数对称轴为， 当在区间上不单调时，得，解得， 即实数的取值范围是. （2）设，由，得，解得， 则， 由在区间上，的图象恒在的图象上方， 可得在区间上恒成立，化简得在区间上恒成立， 设函数，可知函数开口向上，对称轴为，则在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值为， 所以，即实数m的取值范围为. 题型06根据分段函数单调性求参数 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ）典例6 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件:满足对定义域内任意实数，都有成立 结论:求实数a的取值范围 思路 探求 根据分段函数的单调性直接可得. 四步 内容 书写 表达 因为对定义域内任意实数，都有成立，所以在定义域上单调递增. 当时，，所以的图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 函数要在上单调递增，得. 当时，，函数要在上单调递增，得. 根据分段函数的单调性可得，，解得. 故选：A. 题后 反思 判断分段函数的单调性需注意分段点大小情况，从而根据分段函数的单调性求参数. （2025高一上·广东·专题练习）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　）变式1 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数在各段上的单调性结合分段点的高低得关于参数的不等式，从而可求其范围. 【详解】根据题意，因为在上满足， 则在上单调递减， 而， 则有，解得， 即实数的取值范围为． 故选：B． （25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ）变式2 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即得. 【详解】依题意，需使，解得， 即的取值范围为. 故选：B （25-26高一上·福建·阶段练习）已知函数满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（   ）变式3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可； 【详解】由题意得，对于任意实数，都有成立， 不妨设，则，所以在上单调递减， 所以，解得． 故选：C. 1．（25-26高三上·海南海口·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先判断的单调性,再根据函数的单调性将转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】 ， 当时,,则在时,单调递增； 当时,,根据幂函数单调性可知,在时,单调递增； 又在处,， ,是定义域为单调增函数， ， ，即 ， 解得:， 故不等式的解集为:. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 3．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】由条件可得在上单调递减，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以在上单调递减， 则，即，所以. 即实数的取值范围是. 故选：A 4. 函数的单调递减区间为________． 【答案】(－∞，－3] 【解析】该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为 x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数． 5．（25-26高一上·甘肃平凉·阶段练习）已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. 【详解】有题意：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意当时，都有， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)= f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1． (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式； (3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】　(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1 ， f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0, ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R上是增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴不等式即为 又∵f(x)在R上是增函数，∴3m2-m-2＜2，解得 因此不等式的解集为{m|}； (3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1. ∵f(nx-2)+f(x-x2)＜2，即f(nx-2)+f(x-x2)-1＜1，∴f(nx-2+x-x2)＜f(0)． 由(1)知nx-2+x-x2＜0恒成立，∴x2-(n+1)x+2＞0恒成立．∴ Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0, 8．（25-26高一上·河南·阶段练习）已知函数． (1)用函数单调性定义证明：在上单调递减，在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)最大值为和最小值为. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用定义法，作差法来证明函数的单调性； （2）利用函数的单调性和端点值来求最大值和最小值. 【详解】（1）设，且， 则 ， 因为，且，所以， 即，所以，即， 所以在上单调递减； 又设，且， 则 ， 因为，且，所以， 即，所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为， 所以， 又由于在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和最小值为. 9．（25-26高一上·湖北·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）根据，结合函数单调性定义证明即可； （3）由，结合（2）中的结论列不等式组求解即可. 【详解】（1）令，则，故； （2）在上为减函数，理由如下： 设， 则， 因为， 所以， 所以，即在上为减函数； （3），所以， 因此 因此，解得， 所以，不等式的解集为. 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】（1）设，则， 化简得：， 因为，所以，，，那么，即， 所以函数在上单调递增； （2）因为，即，则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. （3）因为在上单调递增，且，所以可得， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则或， 时，，取； 时，，取； 综合可得或. 11．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数满足对任意的，，，当时，，. (1)求和的值. (2)判断在上的单调性并证明. (3)求不等式的解集. 【答案】(1). (2)在上单调递减；证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）结合函数的性质，利用赋值法求函数值. （2）利用函数单调性的定义，证明函数在给定区间上的单调性. （3）利用（1）、（2）的结论，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）令，则，所以， 令，，得，所以 令，，得，所以， 令，，得，所以. （2）在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减. （3）由（1）知， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以， 即，解得， 即不等式的解集是. 12．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数（，），且的解集为. (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)求在区间（）上的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）依题意，为关于的方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，求出函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得； （2）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为的解集为，则，为关于的方程的两根， 所以，解得， 所以； 由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上单调递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上单调递减， 此时； 综上所述：． 13．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)命题恒成立；命题，使得，若与不同时为真命题，求的取值范围； (3)若，讨论函数的最小值（其中）. 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) (3)答案见解析 【知识点】根据或且非的真假求参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，先计算真真时，的取值范围，然后取其补集，即可得到结果； （3）由条件可得的解析式，然后结合二次函数的性质，讨论对称轴的范围，即可得到结果. 【详解】（1）函数在区间上单调递减. 证明：，且，有     所以，又由，得. 于是，即， 所以，函数在区间上单调递减. （2）当命题为真命题时，在时恒成立，所以， 由（1）知当时，，所以， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是. （3）时，由（1）知令， ， 令，对称轴， 当即时，，即， 当即时，即， 当即时，即. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板01：函数的性质-单调性 题型01 利用定义证明函数的单调性 题型02 求单调区间并判断单调性 题型03 抽象函数的单调性、根据单调性解不等式 题型04 利用单调性求函数的最值 题型05 根据函数单调性求参数 题型06 根据分段函数单调性求参数 本节导航 题型01 利用定义证明函数的单调性 证明函数在区间(0,+∞)上是增函数.典例1 四步 内容 理解 题意 条件:函数,x∈(0,+∞)结论:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数 思路 探求 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2⇨h(x1)>h(x2)⇨函数h(x)在区间(0,+∞)上是增函数 书写 表达 设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2 , 因，有，，， 则，因此， 所以函数在上为增函数． 注意书写的规范性:①x1,x2取值任意且分大小;②变形是解题关键. 题后 反思 利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形,且变形的结果是几个因式乘积的形式. 利用定义证明函数单调性的步骤 判断函数在上的单调性.变式1 用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．变式2 （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足．变式3 (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 题型02 求单调区间并判断单调性 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？典例2 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在区间[－5,5]上的函数图像如图；结论:求函数的单调区间 思路 探求 根据图象求单调区间 书写 表达 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数． 题后 反思 函数单调区间的两种求法 ①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 函数y=|x|(1-x)在区间A上是减函数,那么区间A是 ( )变式1 A.(-∞,0) B. C.[0,+∞) D.(-∞,0) （25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ．变式2 题型03抽象函数的单调性、根据单调性解不等式 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）函数满足对一切x，有，且；当时，有．典例3 (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数满足对一切x，有，且；当时，有； 结论: (1)求的值；(2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 思路 探求 (1)根据题意，带特殊值，求函数值； (2)按照单调性的定义,构造f(x2)-f(x1),再判断符号； (3)将2化为f(x0)的形式,再利用单调性解不等式. 书写 表达 （1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 题后 反思 抽象函数的单调性证明还是围绕构造定义式展开思维，结合函数的单调性解不等式 关于抽象函数的单调性证明 (1)证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义,要围绕构造定义式展开思维. (2)构造定义式的依据是已知的抽象函数的性质关系式,需要灵活进行自变量的赋值、拆分、组合,直到构造出f(x1)-f(x2),再利用已知条件展开化简. 若f(x)的定义域为(0,+∞),当0<x<1时,f(x)<0,且对一切x,y>0,满足f() =f(x)-f(y).变式1 (1)证明函数f(x)是增函数. (2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()<2. （24-25高一上·云南·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 .变式2 （25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，且，当时，．变式3 (1)求，的值． (2)证明：． (3)判断在上的单调性，并给出证明． (4)求不等式的解集． 题型04利用单调性求函数的最值 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．典例4 (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 四步 内容 理解 题意 条件: f(x)＝，x∈[3,5] 结论: (1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值． 思路 探求 利用定义证明函数的单调性,利用单调性求最值. 四步 内容 书写 表达 (1)f(x)是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝. 注意书写的规范性:①差式分解到位,是判断符号的关键;②单调性是确定最值的依据. 题后 反思 求函数的最值时首先要关注函数的单调性,由单调性确定取最值时的自变量值. 1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2.函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c) 中较小(大)的一个. (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． （25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ）变式1 A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 （25-26高一上·北京·阶段练习）已知函数，其中a，b为常数，且，．变式2 (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． （25-26高一上·广东·阶段练习）已知函数，且．变式3 (1)求a； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 题型05根据函数单调性求参数 （25-26高二上·云南·阶段练习）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（   ）典例5 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，若对于任意的、，且，都有成立 结论: 求的取值范围． 思路 探求 构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 四步 内容 书写 表达 因为对于任意的，且，都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 题后 反思 构造新函数，根据函数的单调性求参数值 （25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，且．变式1 (1)求出的值并写出函数的解析式； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． （25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，定义域为．变式2 (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． （25-26高一上·湖北·阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且．变式3 (1)若在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围． 题型06根据分段函数单调性求参数 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ）典例6 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件:满足对定义域内任意实数，都有成立 结论:求实数a的取值范围 思路 探求 根据分段函数的单调性直接可得. 四步 内容 书写 表达 因为对定义域内任意实数，都有成立，所以在定义域上单调递增. 当时，，所以的图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 函数要在上单调递增，得. 当时，，函数要在上单调递增，得. 根据分段函数的单调性可得，，解得. 故选：A. 题后 反思 判断分段函数的单调性需注意分段点大小情况，从而根据分段函数的单调性求参数. （2025高一上·广东·专题练习）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ）变式2 A． B． C． D． （25-26高一上·福建·阶段练习）已知函数满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（   ）变式3 A． B． C． D． 1．（25-26高三上·海南海口·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 函数的单调递减区间为________． 5．（25-26高一上·甘肃平凉·阶段练习）已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是 . 6．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为 7．已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)= f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1． (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式； (3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．（25-26高一上·河南·阶段练习）已知函数． (1)用函数单调性定义证明：在上单调递减，在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 9．（25-26高一上·湖北·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)解不等式：． 10．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 11．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数满足对任意的，，，当时，，. (1)求和的值. (2)判断在上的单调性并证明. (3)求不等式的解集. 12．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数（，），且的解集为. (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)求在区间（）上的最小值. 13．（25-26高一上·广东中山·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)命题恒成立；命题，使得，若与不同时为真命题，求的取值范围； (3)若，讨论函数的最小值（其中）. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $