黑龙江龙东地区部分学校2025-2026学年上学期 九年级数学期中试卷

2025－2026年九年级上学期综合练习（一）数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的判别式的值为（　　） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 5. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 6. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 10. 如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______________．（请按从小到大的顺序排列） 13. 若关于的一元二次方程有实数根，且，则的取值范围是______． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 15. 如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 三、解答题（满分72分） 17. 计算下列各题： （1）解方程： （2）解方程： 18. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． （1）几秒后四边形的面积是？ （2）若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点逆时针旋转得，其中，，分别和，，对应，作出； （2）作出关于点成中心对称的； （3）请计算出绕原点逆时针旋转的过程中点经过的路径长． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 21. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． （1）求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2025－2026年九年级上学期综合练习（一）数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（每题3分，满分18分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（满分72分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2）， 【19题答案】 【答案】（1） 如图所示． （2） 如图所示． （3） 【20题答案】 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1）该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为 （2）该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元 【23题答案】 【答案】（1） （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【24题答案】 【答案】（1）， （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【25题答案】 【答案】（1） （2）最大值为； （3）存在，的坐标为或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $