第03讲 一元一次不等式组（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第03讲 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等组的概念 知识点2：解一元一次不等式组 知识点3：一元一次不等式组的应用 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的整体，叫做一元一次不等式组 满足三个条件： 所有不等式都是一元一次不等式 + 含同一个未知数 + 至少 2 个不等式 【题型1：一元一次不等式组的定义】 【典例1】下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 【题型2：解一元一次不等式组】 【典例2】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式1】解不等式组 【变式2】解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 【变式3】解不等式组 (1) (2) 【题型3：由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例3】若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知不等式组的解集是，则=（   ） A．2025 B．1 C．0 D．-1 【变式3】若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【题型4：由不等式组的整数解的情况求参数】 【典例4】若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式1】若关于不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【变式2】若关于的不等式组的整数解恰有2个，则的取值范围是 ． 【变式3】已知关于的不等式组有两个整数解，求的取值范围 . 【题型5：不等式组和方程组结合的问题】 【典例5】若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【变式2】已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【变式3】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【题型6：一元一次不等式组的应用-盈不足问题】 【典例6】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【变式1】八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【变式3】学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【题型7：一元一次不等式组的应用-方案问题】 【典例7】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 【变式1】某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【变式2】“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元． (1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？ (2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用． 【变式3】为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【题型8：一元一次不等式组的其他应用】 【典例8】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】某运行程序如图所示，从“输入m”到“结果是否大于71”为一次程序操作，若进行两次程序操作后输出了结果，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A．   B．   C．   D．   3．关于的不等式组恰有4个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．不等式组的解集为 ． 7．如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 8．A，B两种花卉的最佳生长温度t分别是和，若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为 ． 9．在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的x的取值范围是 ．    三、解答题 10．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 11．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 12．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等组的概念 知识点2：解一元一次不等式组 知识点3：一元一次不等式组的应用 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的整体，叫做一元一次不等式组 满足三个条件： 所有不等式都是一元一次不等式 + 含同一个未知数 + 至少 2 个不等式 【题型1：一元一次不等式组的定义】 【典例1】下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 【变式1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解： 1是一元一次不等式组． 故选：B． （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 【题型2：解一元一次不等式组】 【典例2】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组，分别求出两个不等式中的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交点，则不等式组无解． 求一元一次不等式组的解，一般要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集： 【变式1】解不等式组 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确地求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 【变式2】解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 数轴上表示如图所示： 因此，原不等式组的解集为． 【变式3】解不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【题型3：由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例3】若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求得a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为关于x的不等式组的解集是， 所以，即， 故选：D． 【变式1】若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．先解出每个不等式的解集，再根据题目所给的解集确定的范围． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 故选：B． 【变式2】已知不等式组的解集是，则=（   ） A．2025 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式组的解法是解题关键．首先解出两个不等式，根据题目所给的不等式组的解集确定的值，最后代入求值即可。 【详解】解：解第1个不等式得：， 解第2个不等式得：， 则不等式组的解集为， 由于不等式组的解集为， ，， ，， ． 故选：D． 【变式3】若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分别求出不等式①②的解集，根据不等式组的解集为得到，即m的范围． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵已知不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【题型4：由不等式组的整数解的情况求参数】 【典例4】若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集． 先将a当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有5个整数解，得到关于a的不等式组，解不等式组可得出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有5个整数解，依次为：19，18，17，16，15， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】若关于不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴整数解为、、， ∴， 故答案为：． 【变式2】若关于的不等式组的整数解恰有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，理解恰有2个整数解的意义是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据恰有2个整数解确定 m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是：． ∵不等式组有2个整数解， ∴整数解是3，4． ∴． 故答案是：． 【变式3】已知关于的不等式组有两个整数解，求的取值范围 . 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据已知即可得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可 【详解】解：依题意，得 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型5：不等式组和方程组结合的问题】 【典例5】若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 先解二元一次方程组，然后代入不等式即可求解． 【详解】解：， ①②，得：， ， ∴， 代入②，得：， ， ∴， ∴方程组的解为：， ∴ ， ∴， ∴． 【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【变式2】已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【题型6：一元一次不等式组的应用-盈不足问题】 【典例6】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【变式1】八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不到8棵意思是植树棵数在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵数位同学植树的棵树，植树的总棵数位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点． 【详解】解：植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：， 即． 故选：B． 【变式2】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 【变式3】学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 【题型7：一元一次不等式组的应用-方案问题】 【典例7】人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元； (2)方案①4台A类、8台B类；方案②3台A类、9台B类；方案③2台A类、10台B类． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，根据题意列方程组求解即可； （）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元， 由题意可得， 解得 答：类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元． （2）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台． 根据题意得 解得． 共有三种购买方案，购买方案如下：①4台A类、8台B类；②3台A类、9台B类；③2台A类、10台B类． 【变式1】某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)A型空调每台需元，B型空调每台需元 (2)见解析 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意，列出方程组求解； （2）设型空调购台，则型空调购台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方案． 【详解】（1）解：设型空调单价为元，型空调单价为元， 则， 解得：， 答：A型空调每台需元，B型空调每台需元； （2）解：设型空调购台，则型空调购台， 则， 解得：， 对应方案为： ①，，费用：（元）； ②，，费用：（元）； ③，，费用：（元）， 因此共有三种采购方案． 【变式2】“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元． (1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？ (2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用． 【答案】(1)A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元； (2)有三种购买方案：购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 当购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱最省钱，费用为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意列出方程组求解即可； （2）设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意列了不等式组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意得： ， 解得：， 答：A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元； （2）解：设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， ∴最省钱的方案为：当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为元． 【变式3】为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 【题型8：一元一次不等式组的其他应用】 【典例8】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 【变式1】运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 【变式2】对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：C． 【变式3】某运行程序如图所示，从“输入m”到“结果是否大于71”为一次程序操作，若进行两次程序操作后输出了结果，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由由程序运行一次的结果小于等于及程序运行两次的结果大于，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意，， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故选：C． 一、单选题 1．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键． 根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：， A、不等式组 的解集为，故A错误； B、不等式组的解集为，故B正确； C、不等式组的解集为，故C错误； D、不等式组的解集为，故D错误． 故选：B． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，及在数轴上表示不等式，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解为：， 故选：A． 3．关于的不等式组恰有4个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式组的整数解，解一元一次不等式组． 解不等式组，确定整数解，从而可得关于的不等式组，进而可得实数的取值范围． 【详解】解：由得， ∵关于的不等式组恰有4个整数解， ∴四个整数解为，，，， ∴ 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：D． 4．若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，通过不等式组的整数解求参数等，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组的整数解求参数即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为， ∵不等式组有4个整数解， ∴， 故选：D． 5．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 二、填空题 6．不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解法步骤，正确解出每个不等式以及根据“同小取小”求出公共解集．分别解每个不等式，再求出它们的公共解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为：． 故答案为：． 7．如果不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，不等式组中两个不等式的解集满足“大大小小找不到” 不等式组无解，据此可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 8．A，B两种花卉的最佳生长温度t分别是和，若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的应用，最佳温度范围是同时适合两种花卉的问题，即可求解；理解不等式组的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 最佳的生长温度t应控制的范围为， 故答案为：． 9．在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，的取值范围是． 故答案为． 三、解答题 10．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 【答案】；图见解析；非负整数解为0或1． 【分析】分别解出不等式①和②，在数轴上表示出来即可求得解集及非负整数解．本题关键是根据一元一次不等式的解法求解不等式，利用数轴即可求出不等式组解集． 【详解】由①得：，则； 将②得：，则； 不等式组的解集为，如图： 它的非负整数解为0或1． 11．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 12．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 【答案】(1)甲：180元，乙：220元 (2)有两种：①甲种书柜9个，乙种书柜11个；②甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，乙种书柜购买（）个，根据题意列出一元一次不等式组求出m的范围，根据m为整数即可得到m的值，从而得到答案． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得，解得， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为220元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（）个； 由题意得：，解得：， ∵m取整数， ∴m可以取的值为9，10， ∴学校的购买方案有以下两种： 方案一：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案二：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $