专题03 一元一次不等式组（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题03 一元一次不等式组（九大题型） 【题型1 一元一次不等式组的概念】.....................................................................................1 【题型2 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示】...........................................................2 【题型3 解一元一次不等式组】.............................................................................................3 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】......................................................................4 【题型5 由不等式组的整数解的情况求参数】......................................................................4 【题型6 等式组和方程结合的问题】.....................................................................................5 【题型7 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】................................................................5 【题型8 一元一次不等式组的应用-方案问题】....................................................................6 【题型9一元一次不等式组的其他应用】...............................................................................9 【题型1 一元一次不等式组的概念】 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中是一元一次不等式组的是（ ） A． B． C． D． 4．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 5．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【题型2 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示】 1．不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 2．在数轴上表示不等式组，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C．D． 【题型3 解一元一次不等式组】 1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 2．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 3．解不等式组，并在数轴上表示出来． 4．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 5．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 6．解不等式组，把它的解集表示在数轴上． 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 1．若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 4．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 5．若不等式组的解集为，则 ． 6．不等式组的解集是，则m的值是 ． 7．若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是 ． 【题型5 由不等式组的整数解的情况求参数】 1．关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是 ． 4．若不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ． 5．若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 6．若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 7．已知关于的不等式组，若该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． 【题型6 等式组和方程结合的问题】 1．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 2．已知：关于的方程组的解满足，求的取值范围． 3．已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围． 【题型7 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】 1．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 ． 2．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球”．试问这个班有多少位学生？ 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？ 【题型8 一元一次不等式组的应用-方案问题】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 3．（23-24七年级下·吉林白山·期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 4．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 【题型9一元一次不等式组的其他应用] 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 1．如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是 ． 2．已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是 ． 3．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式组（九大题型） 【题型1 一元一次不等式组的概念】.....................................................................................1 【题型2 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示】...........................................................4 【题型3 解一元一次不等式组】.............................................................................................6 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】......................................................................10 【题型5 由不等式组的整数解的情况求参数】......................................................................12 【题型6 等式组和方程结合的问题】...................................................................................16 【题型7 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】................................................................17 【题型8 一元一次不等式组的应用-方案问题】..................................................................19 【题型9一元一次不等式组的其他应用】..............................................................................25 【题型1 一元一次不等式组的概念】 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列各式中是一元一次不等式组的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断． 【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意； B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意； C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 4．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 5．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【题型2 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示】 1．不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集以及在数轴上的表示，解题关键是理解解集的概念，本题根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求出解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 利用大小小大取中间，且包括3和4，取实心点， 故选：D ． 2．在数轴上表示不等式组，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集； 根据向左是小于，向右是大于，实心圆点是包括，空心圆圈不包括，进行判定即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴表示如下： 故选：B． 3．关于x的一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集，利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”在数轴上表示出解集． 【详解】解：解集在数轴上表示如下： 故选：B． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，向左表示小于，向右则表示大于；空心的圆圈表示不包含，而实心的圆圈则表示包含． 把不等式组中的各个不等式的解集表示在数轴上，然后判断即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，根据题意在数轴上画出对应的取值范围是解答的关键． 根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是B． 故选：B． 【题型3 解一元一次不等式组】 1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为 2．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得不等式组的解集成为解题的关键． （1）先分别求得各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可； （2）先分别求得各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以该不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以该不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ． 3．解不等式组，并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式在数轴上的表示，熟练掌握解不等式的基本方法及数轴的表示方法是解此题的关键．首先解第一个不等式得，其次解第二个不等式得，两个不等式的解集得出后取交集得原不等式组的解集为；在数轴上表示时，在处画实心点（表示包含该点），并向左延伸一条线表示所有小于等于的数，在5处画空心圆（表示不包含该点），并向左延伸一条线表示所有小于5的数，在交集部分画阴影区域表示不等式组的最终解集为． 【详解】解：设， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 将不等式组解集表示在数轴上如下： 4．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： ． 5．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式组，把解集在数轴上表示出来，这是解题的关键． 先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 把它的解集在数轴上表示出来，如下： 6．解不等式组，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解答即可． 本题考查了不等式组解集的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 1．若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 2．不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法． 先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得：， 故选：D． 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 4．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组的解，先解每个不等式，再根据一元一次不等式组的解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”可得到a的取值范围． 【详解】解：解关于x的不等式组，得， ∵该不等式组无解， ∴． 故答案为：． 5．若不等式组的解集为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．首先解出不等式组的解集，再把结果与所给的解集对比，即可求得a，b的值． 【详解】解：由，解得：， 由，解得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ∴，解得：，， ∴， 故答案为：2． 6．不等式组的解集是，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀．根据判断不等式组解集的口诀“同大取大”和已知条件，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：不等式组的解集是， ， 解得：， 故答案为：． 7．若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，解出不等式，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可求解． 【详解】解： 解不等式1得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【题型5 由不等式组的整数解的情况求参数】 1．关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解不等式组，确定x的解集范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式① 得 解不等式② 得 ∴不等式组的解集为， ∵原不等式组的整数解共有2个， ∴． 故选：C． 2．若关于x的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可求解，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得，， ∵不等式组的有且只有个整数解， ∴， 解得， 故选：． 3．若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键． 求出原不等式组的解集为，然后根据原不等式组有3个整数解，可得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 解不等式得： 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式组有3个整数解， ∴， 解得：． 故答案为： 4．若不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解得出关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 5．若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据不等式组整数解的情况确定a的取值范围成为解题的关键． 先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴． 故答案为：． 7．已知关于的不等式组，若该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键．根据不等式组有解，可得不等式组的解集为，根据该不等式组的所有整数解的和为，可得不等式组的所有整数解为或，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴不等式组的所有整数解为或， 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 综上所述，m的取值范围为或． 故答案为：或． 【题型6 等式组和方程结合的问题】 1．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：， 则， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 2．已知：关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组，求解的关键是将两个方程相加，得到，然后，利用条件，即可得出结果． 【详解】解：， 将可得， ，即， ， ， 解得． 3．已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围． 【答案】 【分析】由已知方程组可得，再代入不等式中即可求出的取值范围． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 所以． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组及一元一次不等式的解法，根据题意求出是解答此题的关键． 【题型7 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】 1．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设这些图书有x本，根据“如果每人分5本，那么剩余 12本”可得这些学生的人数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，从而得解． 【详解】解：设这些图书有x本， ∵如果每人分5本，那么剩余 12本， ∴这些学生的人数为：， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴可列不等式组为：，即． 故答案为：． 2．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球”．试问这个班有多少位学生？ 【答案】这个班有28位学生 【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，根据一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，可知该班学生一定是2、4、7的倍数，从而可以解答本题． 【详解】解：设这个班有x人， 由题意可得：， 解得，， 又∵一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语， ∴该班学生一定是2、4、7的倍数， ∴， 答：这个班有28位学生． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出不等式组是关键，注意最后的结果要结合问题的实际情况． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？ 【答案】共有6名学生获奖 【分析】设共有名学生获奖，则作为奖品的书共本，根据“如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的整数值，即可得出结论． 【详解】解：设共有名学生获奖，则作为奖品的书共本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ． 答：共有6名学生获奖． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键． 【题型8 一元一次不等式组的应用-方案问题】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元 (2)有5种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用， （1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 3．（23-24七年级下·吉林白山·期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【答案】(1)釉色A瓷器每套售价350元，釉色B瓷器每套售价680元 (2)见解析 (3)1240元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解决实际问题，涉及解二元一次方程组、一元一次不等式组等知识，读懂题意，找准题中的等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元，找到等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套，由不等关系列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）中的情况，分类求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元， 根据题意得，解得， 答：釉色瓷器每套售价350元，釉色瓷器每套售价680元； （2）解：设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套， 根据题意得，解得， 为整数， 可以取12，13，故可以有两种进货方案： ①购进釉色瓷器12套，则购进釉色瓷器8套； ②购进釉色瓷器13套，则购进釉色瓷器7套； （3）解：当进货方案为方案①时，此时的利润为（元）； 当进货方案为方案②时，此时的利润为（元）； ， 该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 4．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)能，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台或采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 应为整数， 或 当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台； 当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 【答案】(1)400元，300元 (2)采购方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元，根据采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元，列出方程组，求解即可； （2）设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤，根据该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的茶叶每斤是400元，乙型号的茶叶每斤是300元； （2）解：设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，11，12， 该茶店有3种采购方案： ①采购甲型号的茶叶10斤，乙型号的茶叶20斤； ②采购甲型号的茶叶11斤，乙型号的茶叶19斤； ③采购甲型号的茶叶12斤，乙型号的茶叶18斤． 【题型9一元一次不等式组的其他应用] 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表： 指数范围 身体描述 偏低 正常 超重 肥胖 已知某同学体重67.5千克，身高1.5米． (1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述； (2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围． 【答案】(1)该同学的身体描述为肥胖 (2) 【分析】本题考查了不等式的应用． （1）先根据计算公式计算出，再根据表格得出结论即可； （2）设在身高1.5米的前提下，设体重减轻x千克后身体达到正常，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵体重67.5千克，身高1.5米， ∴， ∴该同学的身体描述为肥胖； （2）解：设在身高1.5米的前提下，设体重减轻x千克后身体达到正常， 则， ∴解得， ∴该同学应该减轻体重的范围为． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 1．如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解问题，根据关于x的不等式组无解，则，即可作答． 【详解】解：∵关于x的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 2．已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解：解不等式组，得 ， ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解，即 0 ，，， ∴． 故答案为：． 3．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【答案】5 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $