上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级上学期 10月月考数学试卷 2025.10 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数是________． 2. 如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 3. 已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号) 4. 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正弦值为______． 5. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍. 6. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为___________. 7. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是__． 8. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有________个. 9. 已知正方体的棱长为2，为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是______． ①时，； ②时，的最小值为； ③时，直线与面的交点轨迹长度为； 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 11. 如图，在正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为______． 12. 在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 15. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 16. 已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求该圆锥的全面积； （2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示） 18. 兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． （1）求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； （2）若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 19. 如图所示，某传动装置由两个陀螺，组成，陀螺之间没有滑动，每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且，的轴相互垂直，它们相接触的直线与的轴所成角，若陀螺中圆锥的底面半径为（）； （1）求陀螺的体积； （2）当陀螺转动一圈时，陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点，求与之间的距离； 20. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，为棱上一点． （1）若，求棱柱的表面积的值； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的大小； （3）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点的位置． 21. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级上学期 10月月考数学试卷 2025.10 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 【1题答案】 【答案】1或3 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】①②④ 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】2 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】． 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】①② 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）7次 【19题答案】 【答案】（1）；（2）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）为的中点时， 【21题答案】 【答案】（1）①；② （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $