湖南长沙麓山国际实验学校2026-2027学年高二上学期9月入学学情检测数学试卷

麓山国际2025级高二9月入学学情检测数学试卷 高二年级数学试卷 总分:150分 时量：120分钟 一.选择题(共8小题) 1.已知复数z=i(2+i),则z的虚部为（ ） A．1 B．2 C．i D．2i 2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n B．若m∥n,n⊂α,则m∥α C．若α⊥β,m⊥β,n⊥m,则n⊥α D．若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β 3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） 4.已知向量，满足在上的投影向量为则（ ） C．12 D．6 5.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合，设集合T={Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（ ） B．π C．2π D．3π 6.已知,则下列结论不正确的是（ ） A．若则k=-2 B．若则m=-6 C．若则m=1或m=-3 D．若与的夹角为钝角,则k<3且k≠-2 7.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 8.任意一个复数z=a+bi(i为虚数单位)均可以表示为z=r(cosθ+isinθ)的形式，由棣莫弗定理可知：若则已知则（） A．1 B．0 二.多选题(共3小题) (多选)9.有一组样本数据x₁，x₂，…，xₙ的平均数为，方差为s²，则下列说法正确的是（ ） A．设a∈R,则样本数据ax₁,ax₂,…,axn的平均数为a B．设a,b∈R,则样本数据ax₁+b,ax₂+b,…,axn+b的方差为a²s² C．样本数据的平均数为 D． (多选)10.在△ABC中,下列命题正确的是（ ） A．若A>B,则sinA>sinB B．若sin2A=sin2B,则△ABC定为等腰三角形 C．若acosB-bcosA=c,则△ABC定为直角三角形 D．若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角 (多选)11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,已知M,N,P分别是棱C₁D₁,AA₁,BC的中点，点Q满足=λ,λ∈[0,1],下列说法正确的是（ ） A．不存在λ使得QA⊥QB₁ B．若Q,M,N,P四点共面,则 C．若点F在侧面BB₁C₁C内,且A₁F∥平面APQ,则点F的轨迹长度为 D．若由平面MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体Ω₁和Ω₂，某球能够被整体放入Ω₁或Ω₂，则该球的表面积最大值为( 三.填空题(共3小题) 12.已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若则λ=________. 13.设复数z₁,z₂满足则|z₁﹣z₂|=________. 14.在三棱锥S-ABC中,若SA=SC=1,二面角S-AC-B为,则三棱锥S-ABC外接球的表面积为________. 四.解答题(共5小题) 15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b. (1)证明:△ABC为钝角三角形; (2)若△ABC的面积为3,求b的值. 16.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50，100]，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). （2）若样本数据在［80，90）的平均成绩，方差，在［90，100］的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到0.01）。 （3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从［80，90）和［90，100］的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团。从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至多有1人测试成绩位于区间［90，100］”，求事件A发生的概率． 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若求tanB; (2)若求b,c. 18.如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别为AB,AD的中点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积; (2)证明:DM⊥PC; (3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值. 19.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DB=2,AD=1, (1)若AD⊥PC,证明:AB∥平面PDC; (2)若BC⊥CD,且二面角C-PB-D的余弦值为求CD． 麓山国际2025级高二9月入学学情检测数学参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题） 1．【解答】解：∵复数，的虚部为2．故选：B． 2．【解答】解：对于A，若，，，则与平行或异面，故错误；对于，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则或，又，则与可能平行也可能相交，故C错误； 对于D，若，，则或，又，则，故D正确．故选：D． 3．【解答】解：设该圆雉底面圆的半径为，由圆雉的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形， 可得，解得，所以该圆雉的高为， 所以该圆锥的体积为．故选：B． 4．【解答】解：因为，在上的投影向量为，所以．故选：A． 5．【解答】解：设点在面内的投影为点，连接，则，所以， 由，知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆，所以其面积．故选：B． 6．【解答】解：已知，，， 对于A：则，整理得，解得，故A正确； 对于B：由于，故，解得；故B正确； 对于C：，所以，解得或，故C正确； 对于D：由于和的坐标中含有和，故求不出结果，故D错误．故选：D． 7．【解答】解：甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为： ． 故选：B． 8．【解答】解：，， ，的周期均为，也是以3为周期， ， ．故选：D． 二、多选题（共3小题） 9．【解答】解：对于A，的平均数为，故A正确； 对于B，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D． ，故D不正确．故选：AB． 10．【解答】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得 ，故A选项正确； 对于B选项，由于，由于，是三角形的内角， 所以或，即或，因此可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项不正确； 对于C选项，由以及正弦定理得， 即；所以， 由于，所以，所以，故定为直角三角形，故C选项正确； 对于D选项，的三边之比为，设三边长依次为，，，其中； 设最大角是，由余弦定理知，，，．故D选项正确．故选：ACD． 11．【解答】解：正方体中，由，故中，不可能是直角三角形的斜边，即不存在使得，A选项正确； ，分别是棱，的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形， 则，，，四点共面，有，B选项错误； 若，则为上靠近点的三等分点， 取上靠近的三等分点，的中点，连接，，，则在正方形中，可得， 平面，平面，则有平面， 同理可由，证明平面， ，平面，，所以平面平面， 点在侧面内，且平面，所以即为点的轨迹，，C选项正确； 若，则为的中点，平面分割该正方体所成的两个空间几何体和， 平面在正方体上的截面为正六边形， 某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球， 正六边形的边长为，面积为， 正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，设该球的半径为，由体积法可得，解得，所以该球的表面积为，D选项正确．故选：ACD． 三、填空题（共3小题） 12．【解答】解：，即， 整理得，由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解得，故答案为：． 13．【解答】解：复数，满足，，所以，，．得．． 又，故．故答案为：． 14．【解答】解：因为在三棱锥中，若，，二面角为，所以作出示意图如下： 取中点，因为，所以为等边三角形． 因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点． 因为，，故为二面角，． ，． 因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于，且， 所以球心满足平面且平面，故，解得， 所以球半径，因此表面积．故答案为：． 四、解答题（共5小题） 15．【解答】证明：（1）， ∴由正弦定理可得，， ， 即， ， ∴由正弦定理可得，， ，， ，即为针角， 故为针角三角形． （2）在中，，， 的面积为， ，，则有， ． 16．【解答】解：（1）根据题意，频率分布直方图中，各组频率之和为1， 则有， 解得， 的频率为：， 的频率为：， 的频率为：， 因为，， 则中位数在内，设中位数为， 则有，解得， 平均数 ； （2）根据题意，因为的人数为，的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为：． （3）根据题意，因为和这两组的频率之比为， 从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团， 则需要在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为， 从学生中抽取的2人为， 则， 故， ， 则， 故． 17．【解答】解：（1）为中点，， 则， 过作，垂足为，如图所示： 中，，，，解得， ，， 故； （2）法一：， ， ，， 则， ①， ，即②， 由①②解得， ，，又， ． 法二，设，， ， 两式化简整理可得，，， 则，面积为，为的中点， 则，解得，即， 故． 18．【解答】解：（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 因此，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 因此平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 因此四棱锥的体积为； （2）证明：因为平面，平面，因此， 在正方形中，易知与全等， 因此，因此， 又，，平面，因此平面， 又平面，因此； （3）设，连接，，， 因为平面， 因此为直线与平面所成的角， 在中，，又， 即，因此， 又在中，， 因此． 19．【解答】解：（1）证明：底面，且底面，则， 又，，，平面， 可得平面，由平面，， ，，，即， 可得，则， 且平面，平面， 平面． （2）若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 底面，且底面，则， 且，则，可得， 底面，且底面，则， 且，，平面，可得平面， 由平面，可得， 且.，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则， 即， 可得， 整理可得， 即， 解得或（舍去）， 且，则，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $