浙江省杭州市2025-2026学年高三上学期教学质量检测数学试题

2025学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域 的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知i为虚数单位，则2士=( ) A.1+2i B.1-2i C.2-i D.-1+2i 2.设集合M=1,2,N=IxeN'1SeN,则nN=( A.{1月 B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 3.设向量a=(2,x),b=(2+x,2x).若a·(2a-b)=0,则x=( A.2 B.3 C.4 D.5 4,《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛、羊、猪各数头 (各有至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量 之和，则牛、羊、猪的总头数至少为() A.12 B.15 C.18 D.21 5.已知函数f(x)(xeR).若对于任意的等差数列{an},总有{f(an)}是等差数列，则称函数 f(x)具有“保等差性”.函数f(x)可能是( A.f(x)=2 B.f(x)=x2 C.f(x)=sinx D.f(x)=2x+1 2025 6.设样本数据名1西，…*s的平均数，中位数，众数和标雅差分别为a,b,cd当（名-k)2 取到最小值时，k=() A.a B.6 C.c D.d 7.若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上，则圆C的面积为( A.16m B.25m C.36π D.49m n一winw·pi· 8.设函数f(x)=x+3x2+6x+5,若f(a)=15f(b)=-13,则a+b=()·· A.2 B.1 C.-1 ，D.-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在2+)】 的展开式中，() A.常数项为20 B.含x的项的系数为80 C.各项系数的和为32 D.各项系数中的最大值为80 10.设函数f(x)=2co6x(V3sinx+cosx),则( Af(罗）=2 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)的值域是[-1,3] Df()在区间号，罗)上单调递增 11.已知函数y=f(n)(n∈N·)的函数值等于n的正因数的个数.例如f(1)=1,f(4)=3.则 下列选项正确的是() A.f(6)=4 B.f(2025)=20 2025 1 F6<1 C. D.设6.=(V2)”,则∑【-”s5Y2 一≤ 162k-162k 16 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2).若P(X>4)=0.36,则P(2≤X≤4) 13.函数f()=f2x+f四-1在[3,2上的最小值为 14.过点(-V2,②)的直线1与圆0：2+y=1相切于点M,与曲线y=-(x>0)交于点 R.若FR的中点为N,则IONI-IMNI= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题13分) 已知等差数列{an}满足a4=7,a6=11. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}的前n项和为Sa,且bn+1=Sn+2.令cn=an+bn,求数列{cn}的前n 项和Tn 16.（本小题15分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2sin(A-C)=sinB. (1)若C=平，c=1. ()求tanA; (i)求b; (2)求tan(A-C)的最大值， 17.（本小题15分) 已知函数f()-二f()为f(x)的导数，其中6为自然对数的底数 (1)求[f(x)]2-[f'(x)]2; (2)证明：当x∈(0，+∞)时，f'(x)>x; (3)设n∈N‘,对任意的x:>1(i=1,2,…,n),若x1x2xn=e2, 18.（本小题17分) 已知1,0)是椭圆C号+卡 =1(a>b>0)的右焦点，过F作直线L交椭圆于A,B两点， 其中A在x轴上方，当AB⊥轴时，IAB1=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P(4,0), (i)求证：∠APF=∠BPF; (ⅱ)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点（异于M), 1V3 若Mr平分LAMB,且+T=温求LAND的值 19.（本小题满分17分) 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗 质地均匀的正方体骰子，六个面分别以1.~6标号.在棋盘上，以0为原点建立平面直角坐 标系，设点A的坐标为(1,0).棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子n次，用X.表示第n次 投掷后棋子的位置(X。为坐标原点)，规定： 0成= OXa-1+k,第n次掷得奇数， OXn-,第n次掷得偶数， 其中向量，=(cs2,血2当(kez,k为前n次投掷过程中，掷得偶数的总 次数. (1)求点X2所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为r(0≤r≤80)的概率 为p(r),求p(r)的表达式，并指出当r为何值时，p(r)取得最大值 B