精品解析：河北保定市定州市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（ ）条不同的路线． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2. 从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 300 D. 360 3. 已知函数，则有（ ）个极大值． A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 4. 若正整数满足，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 在研究变力做功的瞬时功率变化率时，某物理模型中物体的瞬时功率，其中是随时间变化的作用力，是随时间变化的速度．现在需要分析功率的高阶变化率，需要对连续求阶导数（即对连续求次导数），记为为的阶导数，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 若，则随机变量方差的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程（为自然对数的底数）有个不等的正实数根（，2…，），则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3 4 6 5 3 4.5 4 根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 变量和正相关 D. 点对应的残差为0.2 10. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. （为自然对数的底数） D. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 函数在处切线的斜率为__________． 13. 某商场的自动扶梯设置的身高警戒线为，假设顾客的身高服从正态分布（单位：），则顾客乘坐自动扶梯时，头碰到扶梯顶部的概率为__________．（参考数据：，，） 14. 已知，，均为正整数且，记随机变量，则的数学期望为__________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年足球世界杯在美国、加拿大、墨西哥三地联合举办，某中学高二年级共有学生500人（男生300人、女生200人），对是否喜欢观看足球世界杯进行了问卷调查，得到该年级男生中有100人喜欢观看、女生中有50人喜欢观看． 性别 世界杯 合计 喜欢观看 不喜欢观看 女生 男生 合计 （1）补全上述列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该年级学生观看世界杯与性别有关联？ （3）如果将（1）中所有数据都扩大为原来的5倍，再用的独立性检验推断该年级学生观看世界杯与性别之间的关联性，得到的结论是否发生改变？请写出你的判断，并说明理由． 附：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 16. （1）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为256，求展开式中的倒数第6项； （2）解方程； （3）已知，求的值． 17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，设质点移动次后所在的位置对应的数为随机变量． （1）求的概率； （2）求的分布列和数学期望； （3）求的方差． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）令函数，请判断是否存在实数，使得在其定义域上恒成立，并说明理由． 19. 在不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的8个黄球和2个蓝球，从袋子中随机取一球，观察颜色后重新放回袋子中，同时再放入（）个与取出的球大小、质地、颜色完全相同的球，接着再从袋子中随机取一球，观察颜色后重新放回袋子中，同时再放入（）个与取出的球大小、质地、颜色完全相同的球，一直重复同样的操作． （1）当时，求在第一次取出的球是蓝球的条件下，第二次恰好取出的球是蓝球的概率； （2）当时，求第二次取出的球是黄球的概率； （3）在第一次取出的球是蓝球的条件下，求第（且）次恰好取出黄球的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（ ）条不同的路线． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】若从甲地直接到丙地，有2条路线； 若从甲地到乙地，再到丙地，有条路线； 综上所述：从甲地到丙地一共有11条不同的路线. 2. 从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 300 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：间接法 先算出7人中任选3人分配到3个地点的全部排列方案，再减去全男生、全女生两种不符合男女均有的极端情况，剩余即为满足条件的选派方案数． 方法二：直接分类法 按选出人员性别分为1男2女、2男1女两类，每类先组合选出对应人数，再对选出的3人全排列分配到三个地方，最后把两类方案数相加得到总方案数． 【详解】方法一：间接法 从7人中选3人派到3个地方，总方案数为， 全是男生的方案数（从4男选3人排列）为， 全是女生的方案数（从3女选3人排列）为， 所以不同的选派方案共有． 方法二：直接分类法（1男2女或2男1女） 情况1：1男2女方案数为， 情况2：2男1女方案数为， 所以不同的选派方案共有． 3. 已知函数，则有（ ）个极大值． A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数的变号零点个数判断原函数的极值点个数，根据零点处导函数左正右负取极大判断极大值点的个数． 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得或， 因为恒成立，故不是的极值点， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 故在处取极小值，无极大值，故的极大值个数为0． 4. 若正整数满足，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数性质进行求解． 【详解】因为，由， 得，得，得，得． 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】含的项，相当于从5个因式中任选1个取常数项，其余4个取项， 一次项系数分别为，常数项分别为， 故含的项的系数为： ． 6. 在研究变力做功的瞬时功率变化率时，某物理模型中物体的瞬时功率，其中是随时间变化的作用力，是随时间变化的速度．现在需要分析功率的高阶变化率，需要对连续求阶导数（即对连续求次导数），记为为的阶导数，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，其阶导数：， 所求项为，则， 该项系数为组合数： ． 7. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 若，则随机变量方差的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据分布列的性质求出的值及的取值范围，再求出，进而求出的表达式，根据导数求其最大值. 【详解】根据分布列的性质可得，即， 所以，解得，所以. 所以， 所以， 又，所以. 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的最大值为. 8. 已知关于的方程（为自然对数的底数）有个不等的正实数根（，2…，），则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】方程构造接近二次型，可往该方向化简转化，把得到的指数方程可两边同取对数，进一步便于研究化简. 【详解】对于原方程， 左右两边同乘得：， 对上式因式分解得：， 原方程等价于或. 由于对两个指数方程两边同取自然对数，整理得：和， 设，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 在处取最大值， 当时，，方程仅有1个正实根，； 当时，，且时，时， 因此方程有两个不等正实根，. 因此. 【点睛】指数方程可两边同取对数，转化为便于用导数研究零点的函数； 不必求出每个根具体的值，可以整体代入计算. 二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3 4 6 5 3 4.5 4 根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 变量和正相关 D. 点对应的残差为0.2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数公式可判断A；根据经验回归直线过点，可求出，进而可判断B；根据经验回归直线方程中的系数可判断C；根据残差定义可判断D. 【详解】对于A，由表中数据得，故A正确； 对于B，因为经验回归直线过点， 又，所以， 所以，解得，故B错误； 对于C，由得的系数为正数， 所以变量和正相关，故C正确； 对于D，将代入得， 所以点对应的残差为，故D错误. 10. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. （为自然对数的底数） D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数研究函数的单调性从而判断各个选项 . 【详解】对于A，令函数 ，求导得 令函数，求导得，函数是上的增函数， 即 是 上的增函数，且，当时 ，当时 ， 因此函数 在上递减，在上递增，，即 ，A错误； 对于B，由选项A知，当时，，即当时，， 因此 ，即 ，B正确； 对于C，令函数 ，求导得 ， 当 时，单调递增， 当 时，单调递减， 因此，则，即 ，C正确； 对于D，由选项C得，，则，即 ，D正确. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和对立事件概率关系进行计算判断． 【详解】因为，，则，， ， 由，故B错误； 解得； 则，故A正确； 根据条件概率公式可得， ，故，故C正确； ，因为， 故，则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 函数在处切线的斜率为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，则， 当时，则， 所以函数在处切线的斜率为. 13. 某商场的自动扶梯设置的身高警戒线为，假设顾客的身高服从正态分布（单位：），则顾客乘坐自动扶梯时，头碰到扶梯顶部的概率为__________．（参考数据：，，） 【答案】0.02275 【解析】 【详解】由题意得，， 顾客乘坐自动扶梯时，头碰到扶梯顶部的概率为 . 14. 已知，，均为正整数且，记随机变量，则的数学期望为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算基本事件总数，再分析随机变量X的取值及对应概率，最后计算数学期望． 【详解】已知，，均为正整数且， 利用隔板法，将13个相同元素分给3个不同对象， 基本事件总数为． 已知表示，，中的最小数， 因为，，是正整数且， 所以的可能取值为1，2，3，4， 当时，，，中最小数为1， 先固定一个数为1，另外两数和为12，正整数解有11组， 排除重复计数后，满足条件的组合数为， 所以概率． 当时，，，中最小数为2， 固定一个数为2，另外两数和为11，正整数解有10组， 排除重复计数后，满足条件的组合数为， 所以概率． 当时，，，中最小数为3， 固定一个数为3，另外两数和为10，正整数解有9组， 排除重复计数后，满足条件的组合数为， 所以概率． 当时，，，中最小数为4，此时，，只能有两个是4，另外一个是5， 所以概率． 则的数学期望为． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年足球世界杯在美国、加拿大、墨西哥三地联合举办，某中学高二年级共有学生500人（男生300人、女生200人），对是否喜欢观看足球世界杯进行了问卷调查，得到该年级男生中有100人喜欢观看、女生中有50人喜欢观看． 性别 世界杯 合计 喜欢观看 不喜欢观看 女生 男生 合计 （1）补全上述列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该年级学生观看世界杯与性别有关联？ （3）如果将（1）中所有数据都扩大为原来的5倍，再用的独立性检验推断该年级学生观看世界杯与性别之间的关联性，得到的结论是否发生改变？请写出你的判断，并说明理由． 附：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） 性别 世界杯 合计 喜欢观看 不喜欢观看 女生 50 150 200 男生 100 200 300 合计 150 350 500 （2）不能 （3）结论发生改变 所有数据都扩大为原来的5倍后，卡方值变为原来的5倍，此时卡方值一定大于10.828，所以结论发生改变． 【解析】 【分析】（1）直接补齐列联表； （2）计算的值，结合临界值表求解； （3）所有数据都扩大为原来的5倍后，卡方值变为原来的5倍，此时卡方值一定大于10.828，进行求解． 【小问1详解】 性别 世界杯 合计 喜欢观看 不喜欢观看 女生 50 150 200 男生 100 200 300 合计 150 350 500 【小问2详解】 零假设为：观看世界杯与性别相互独立． 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该年级学生观看世界杯与性别没有关联． 【小问3详解】 结论发生改变， 所有数据都扩大为原来的5倍后，卡方值变为原来的5倍，此时卡方值一定大于10.828，所以结论发生改变． 16. （1）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为256，求展开式中的倒数第6项； （2）解方程； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）令分别求出系数和与二项式系数和，通过比值算出，确定倒数第项对应的项数，代入二项展开通项公式计算； （2）对左侧式子配凑完整的二项式六次展开结构，化简得到，开六次方程求出； （3）对已知二项式等式连续两次求导得到含目标代数式的式子，令代入直接算出所求数值． 【小问1详解】 展开式中，各项系数的和为，各项二项式系数的和为， 则，所以， 所以展开式中的倒数第6项，即正数第4项； 【小问2详解】 由， 得， 即，解得或； 【小问3详解】 ， 两边同时对求导得， 两边再同时对求导得， 令，则． 17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，设质点移动次后所在的位置对应的数为随机变量． （1）求的概率； （2）求的分布列和数学期望； （3）求的方差． 【答案】（1） （2） 0 2 4 6 （3） 【解析】 【分析】（1）要使质点移动4次后所在位置为0，即向左向右各移动2次，再用二项分布概率公式计算. （2）首先判断出移动6次后可能在的所有位置，利用二项分布算出对应的概率，把相同的值合并，列出分布列，最后根据数学期望公式求出期望值. （3）由二项分布得到的方差，利用方差性质：常数不影响方差，，代入化简求出. 【小问1详解】 【小问2详解】 可取0，2，4，6 故的分布列为 0 2 4 6 所以数学期望 【小问3详解】 设质点向右走步，则向左走步， 由题意知： 所以 所以 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）令函数，请判断是否存在实数，使得在其定义域上恒成立，并说明理由． 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调减区间； （2）存在，，理由如下： 当时，，不合题意， 下证：当时，在其定义域上恒成立， 当时，，定义域为且， 只需证在恒成立且在恒成立， 即在恒成立且在恒成立， 由（1）知在上单调递增且， 所以在恒成立且在恒成立， 即当时，不等式在恒成立， 综上所述，实数的值为2． 【解析】 【分析】（1）求定义域，二次求导，得到函数单调性，求出单调区间； （2）时，举出反例，时，结合（1）中结论可证 【小问1详解】 定义域为，， 令， 则， 当时，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，故在恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调减区间； 【小问2详解】 略 19. 在不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的8个黄球和2个蓝球，从袋子中随机取一球，观察颜色后重新放回袋子中，同时再放入（）个与取出的球大小、质地、颜色完全相同的球，接着再从袋子中随机取一球，观察颜色后重新放回袋子中，同时再放入（）个与取出的球大小、质地、颜色完全相同的球，一直重复同样的操作． （1）当时，求在第一次取出的球是蓝球的条件下，第二次恰好取出的球是蓝球的概率； （2）当时，求第二次取出的球是黄球的概率； （3）在第一次取出的球是蓝球的条件下，求第（且）次恰好取出黄球的概率． 【答案】（1） （2） （3）（且） 【解析】 【分析】（1）首先确定第一次取蓝球后的球数，再计算条件概率即可； （2）拆分第二次取黄球的互斥事件，分别计算两种情况的概率相加即可； （3）首先需要建立递推关系，再化简递推式即可求解. 【小问1详解】 当时，在第一次取出的球是蓝球的条件下，第二次取球时，袋子中有8个黄球和4个蓝球，所以第二次恰好取出的球是蓝球的概率为 【小问2详解】 当时，第一次取黄球，第二次也取黄球的概率为， 第一次取蓝球，第二次取黄球的概率为， 所以当时，第二次取出的球是黄球的概率为； 【小问3详解】 设第（且）次恰好取出黄球的概率为． 第次取球时，袋子中一共有个球，若第次取到黄球，此时黄球数的期望为个 若第次取黄球，第次也取黄球，此时的概率为 若第次取蓝球，第次取黄球，此时的概率为 所以 所以 而在第一次取出的球是蓝球的条件下，第二次恰好取出黄球的概率， 所以（且）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $