2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册期中考点通关训练

期中考点通关训练2025-2026学年人教版九年级上册 考点一：一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3 2.方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2 3.把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 4.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________． 6.若m是方程的一个根，则的值为______． 考点二：解一元二次方程 1.用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2.用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 3.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．12.5 4.解方程． （1）x2＝4x； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6． 5.解方程： （1）3y（y+1）＝y+1； （2）x2+4x﹣1＝0． 考点三：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 2.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 3.设，是方程的两个根，则______． 4.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________ ． 5.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 考点四：一元二次方程应用题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 4.如图，有一块长宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程：_______________________． 5.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 考点五：二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 2.若是二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知是关于x的二次函数，那么m的值为______ 4．关于的抛物线经过原点，则 ． 考点六：二次函数的图像和性质 1.对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 2.抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A． B． C． D． 4.抛物线的顶点坐标是________． 考点七：二次函数的图像与系数的关系 1.如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为( ) A. B. C. D. 2.已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（ ） A. 若有最大值4，则的值为 B. 若有最小值4，则的值为 C. 若有最大值，则的值为4 D. 若有最小值，则的值为4 3.二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 5.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 考点八：二次函数的图像平移 1.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 2.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（    ） A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6） 3.抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 4.把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 5. 把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 考点九：二次函数的应用 1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 3．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 4.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 5.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 考点十：二次函数与几何综合问题 1.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； 2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 考点十三：旋转的性质 1.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，则的度数为( ) A. B. C. D. 2.如图，将绕点C逆时针旋转一定角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3.如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（ ）. A. B. C. D. 4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是_____． 5.如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 考点十四：中心对称图形 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3.下列图形中，为中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 考点十五：原点对称的点坐标问题 1.在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A. （ - 1， - 3） B. （ - 1，3） C. （1， - 3） D. （3，1） 3.已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 4.点关于原点对称点的坐标为________． 5.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 考点十六：旋转作图 1.利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 2.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的图形； （2）写出点、的坐标． 3.如图，已知，将绕点沿顺时针方向旋转后得到. （1）请在图中画出； （2）直接写出线段在旋转过程中扫过的图形面积：___________. 考点十七：旋转的综合应用 1.如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 2.如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 3.如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】 期中考点通关训练2025-2026学年人教版九年级上册 考点一：一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3 【答案】B 2.方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2 【答案】D 3.把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 【答案】C 4.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 5.若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________． 【答案】 6.若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】-16 考点二：解一元二次方程 1.用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2.用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 3.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】A 4.解方程． （1）x2＝4x； （2）x（x﹣2）＝3x﹣6． 【答案】解：（1）∵x2＝4x， ∴x2﹣4x＝0， 则x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝0，x2＝4； （2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6， ∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 5.解方程： （1）3y（y+1）＝y+1； （2）x2+4x﹣1＝0． 【答案】解：（1）3y（y+1）＝y+1， 3y（y+1）﹣（y+1）＝0， （y+1）（3y﹣1）＝0， y+1＝0或3y﹣1＝0， 所以y1＝﹣1，y2＝； （2）x2+4x﹣1＝0， x2+4x＝1， x2+4x+4＝5， （x+2）2＝5， x+2＝±， 所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 考点三：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 2.关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为x1＝2，则另一个解x2为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】B 3.设，是方程的两个根，则______． 【答案】 4.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________ ． 【答案】且##k≠1且k≤5 5.关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m ＝m2+8m+16﹣8m ＝m2+16＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m， ∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m， ∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m， 解得m＝1或4， 即m的值为1或4． 考点四：一元二次方程应用题 1.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 2.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是73，则每个支干长出的小分支数是 　 个． 【答案】8． 4.如图，有一块长宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程：_______________________． 【答案】 5.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴每次下降的百分率为． （2）解：设每千克应涨价a元，由题意，得：， 整理，得， 解得：，， 又∵采取适当的涨价措施， ∴，即涨价5元． 考点五：二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 2.若是二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.已知是关于x的二次函数，那么m的值为______ 【答案】2 4．关于的抛物线经过原点，则 ． 【答案】 考点六：二次函数的图像和性质 1.对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 【答案】B 2.抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 4.抛物线的顶点坐标是________． 【答案】(2, 1) 考点七：二次函数的图像与系数的关系 1.如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 2.已知点，都在一次函数（，是常数，）的图象上，（ ） A. 若有最大值4，则的值为 B. 若有最小值4，则的值为 C. 若有最大值，则的值为4 D. 若有最小值，则的值为4 【答案】D 3.二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 4.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 5.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 考点八：二次函数的图像平移 1.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 2.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（    ） A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6） 【答案】B 3.抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】D 4.把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 【答案】 5. 把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 【答案】## 考点九：二次函数的应用 1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 2．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 【答案】D 3．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m 4.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 5.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【答案】 【小问1详解】 解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； 【小问2详解】 解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且平方米． 考点十：二次函数与几何综合问题 1.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； 【答案】解：(1)将，代入二次函数表达式中， ∴ ，解得， ∴二次函数的表达式为：； (2)连接BP、CP、AP，如下图所示： 由二次函数对称性可知，BP=AP， ∴BP+CP=AP+CP， BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为， 此时的周长也最小， 设直线AC的解析式为：，代入， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为：， 二次函数的对称轴为，代入，得到， ∴P点坐标为(1,2)， 此时的周长最小值=； 2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 考点十三：旋转的性质 1.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.如图，将绕点C逆时针旋转一定角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 3.如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是_____． 【答案】70° 5.如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【答案】 考点十四：中心对称图形 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2．下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.下列图形中，为中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 考点十五：原点对称的点坐标问题 1.在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A. （ - 1， - 3） B. （ - 1，3） C. （1， - 3） D. （3，1） 【答案】A 3.已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】A 4.点关于原点对称点的坐标为________． 【答案】 5.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 【答案】 考点十六：旋转作图 1.利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 【答案】 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 2.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的图形； （2）写出点、的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）， 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问2详解】 解：关于原点成中心对称的图形，，， ∴，． 3.如图，已知，将绕点沿顺时针方向旋转后得到. （1）请在图中画出； （2）直接写出线段在旋转过程中扫过的图形面积：___________. 【答案】 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：依题意， ∵将绕点沿顺时针方向旋转后得到. ∴ 考点十七：旋转的综合应用 1.如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 2.如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平分．理由见解析 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 3.如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90(2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $