精品解析：广东省惠州市惠州中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

惠州中学2025-2026学年高二年级第一学期期中考试 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 教材44页第17题（2）：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C. 平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D. 若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______． 13. 已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______. 14. 已知点，圆上两点，且M，P，N三点共线，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列直线方程： （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 16. 如图，已知平行六面体. （1）若，求的长度； （2）若，求与所成角的余弦值. 17. （1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 18. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； （3）斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2025-2026学年高二年级第一学期期中考试 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 3. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 4. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 5. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系，求得，得到与的直线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为. 故选：B. 6. 点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的几何意义求解出的关系式，再结合基本不等式求解出结果. 【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆， ，可以看作圆上一点到点的距离的平方， 而圆上一点到的距离的最大值为， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B． 7. 教材44页第17题（2）：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得各面的法向量，根据交线的性质求直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】由题意可知：平面：的一个法向量， 且平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 设直线l与平面α所成角为，则. 故选：A 8. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析得到三棱锥的外接球的球心在平面上，作出辅助线，得到三棱锥的外接球的球心在直线上，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，因为在上，设，所以的坐标为，利用得到方程，解得，进而得到外接球半径，得到表面积. 【详解】因为，，所以，设，则为的中点， 因为平面，，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 由题意知， 所以三棱锥的外接球的球心在平面上. ，故为等边三角形，故， 又，故，， 又，故， 如图，取棱的靠近的四等分点， 则为线段的中点，，因为为的中点，所以， 所以，所以，所以三棱锥的外接球的球心在直线上. 以为坐标原点，，MB，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，所以， 因为在上，设，所以的坐标为， 又，即，解得， 故，所以， 所以. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 【答案】BC 【解析】 【分析】应用投影向量定义计算求解判断A，应用系数间关系判断四点共面判断B，应用基底的定义判断C，根据空间向量证明线面关系判断D. 【详解】对于A，向量在上的投影向量，故A不正确； 对于B，，则四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，不共面，而，则也不共面，也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，，因而或在平面内，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线切过定点且该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，，， 因为，为切点，所以，， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，， 又因为半径为2，所以，， 又，，所以垂直平分，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C. 平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D. 若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，合理对三棱锥换底，结合点到平面的距离公式得到体积为定值判断A，利用二面角的向量求法求出二面角为定值判断B，找到符合题意的特殊情况，作出截面图形判断C，利用点到平面的距离公式求出，结合给定的线面角得到，再判断轨迹是圆，结合圆的弧长公式求解轨迹长度判断D即可. 【详解】对于A，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 在棱长为2的正方体中，则，， ，而为棱的中点，由中点坐标公式得，， 由题意得为棱上一动点，则设，且， 而，易得面的法向量为， 设到面的距离为，由点到平面的距离公式得， 则，即三棱锥的体积为定值，故A正确， 对于B，易得面的法向量为，，， 则，设，故， 因为，所以，解得，即， 得到，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到，设二面角为， 且，则，解得， 得到是定值，则二面角不可能先增大后减小，故B错误， 对于C，如图，令与重合，找中点，连接， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 由中位线性质得，由题意得四边形是平行四边形， 故，即，得到四点共面， 则面为所求截面，且由勾股定理得， 即四边形是等腰梯形，故C正确， 对于D，因为为棱的中点，所以由中点坐标公式得， 此时，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，则， 而，，则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 如图，作面，连接， 因为与平面所成角为，所以， 则，解得，而点在平面内运动， 则的轨迹为半径为的圆，由弧长公式得长度为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式得到，然后结合线面角的定义判断轨迹是圆，再结合圆的弧长公式得到所要求的轨迹长度即可． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将点到轴的距离转化为点到点的距离. 【详解】点到轴的距离即为点到的距离，即为， 故答案为：. 13. 已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______. 【答案】8 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质，即可得到本题答案. 【详解】由椭圆，得， 由题意可知如图： 连结，点M是线段的中点， 可得OM为的中位线， 所以， 由椭圆的定义可知，得， 所以的周长为：. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，其中涉及到三角形中位线的应用. 14. 已知点，圆上两点，且M，P，N三点共线，则的最小值为______． 【答案】48 【解析】 【分析】设T为的中点，M，T，N在直线的射影分别为，，，分析可得，圆O与直线相离，根据点到直线距离公式，可得所求等于，根据条件，求得T点轨迹，分析可得，当C，T，共线，且T在C，之间时取得最小值，计算即可得答案. 【详解】由题意，M，P，N三点共线，设T为的中点， M，T，N在直线的射影分别为，，， 点O到直线的距离， ∴与圆相离，如图： 而 ， 易得，即， ∴T在以为直径的圆C上，其中圆心， ∵， ∴当C，T，共线，且T在C，之间时取等号． ∴的最小值为． 故答案为：48． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列直线方程： （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 【答案】（1）① ；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①先求得BC所在直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案；②先求得的中点坐标，由①可求得边的垂直平分线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）分别讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况，分析计算，结合点到直线距离公式，即可求得答案. 【小问1详解】 ①由题可得， 则边所在的直线方程为，即. ②线段的中点坐标为，即， 由①知，则其垂直平分线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，此时，l与原点距离为3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时． 综上所述所求直线l的方程为或． 16. 如图，已知平行六面体. （1）若，求的长度； （2）若，求与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用空间向量线性运算、空间向量数量积的运算及模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，先求出，，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 由题知，又， 所以, 所以. 【小问2详解】 令，因为， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以， 设与所成的角为，则， 即与所成角的余弦值为. 17. （1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则， 故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知，，则， 所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，， 设点，，则，， 因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 18. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）； （3）存在，当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； （3）斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 【答案】（1）， （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）将圆与圆相减即可得到公共弦所在直线方程；圆的圆心为，利用点关于线对称得到方程组，求出圆心,写出圆的方程即可; （2）设出，借助切线长公式表示出,整理，进而得到，整理化简即可. （3）联立直线与圆的方程，借助根与系数之间的关系以及向量表示出，结合函数思想求出值域即可. 【小问1详解】 如图所示，由 两式相减， 化简得． 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， 解得, 圆方程为. 【小问2详解】 如图，根据切线长公式,， 因为，所以，即， 设，则， 化简得， 点Q的轨迹方程 【小问3详解】 如图：设直线的方程为，且设. 由得， 显然，且. 分别过作轴，轴，折叠后， 可知, 由，所以, ， 又由 由 , ， 综上:的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $