专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． （2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（2024·重庆·模拟预测）如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 例3（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在矩形中，E是边的中点，于点H，交边于点F，，则的值为 ． 例4（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 例5（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．    (1)当时，求证：； (2)若，时，求的值． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（2024·安徽·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点F． (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点E是的中点，求的值． 例2（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G． (1)如图1，若是等边三角形． ①求证：； ②求的长． (2)如图2，若，，求的面积． 例3（2025·安徽安庆·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 例4（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 例5（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，于点． (1)计算及的长； (2)求的值． 3．（2026·湖北·模拟预测）问题情境：如图①，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图②，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图③，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，若，，求关于的函数关系式． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图（1），在中，，，D是的中点，连接，过点C作交于点E，交于点F． (1)当时，如图（2）， ①求的值； ②求的值； (2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：在梯形中，，，对角线相交于点E，且 (1)求证：； (2)点F是边上一点，连结，与相交于点如果，求证： 8．（2025·全国·一模）如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．    (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由； (3)若，，求的长度． 9．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，平分，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 12．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． (3)如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 15．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 16．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 17．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 18．（2025九年级下·海南·专题练习）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： 【基本模型】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、交于．若，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，中，，，，是边上一点，连接，于点，交于点，若，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点、分别在、上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点落在上的点处，且落在点处，交于点，连接，设的面积为的面积为，若，求的值． 19．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）教材深挖．华东师大版数学八年级下册教材第121页上，习题19．3第2题及参考答案如下： 如图，在正方形中，．求证：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 某数学兴趣小组顺利完成了以上解答后，觉得意犹未尽，决定对该问题做进一步的探究，于是有了下面的问题．请你帮他们解答． 【问题探究】 如图（1），正方形中，点E，F，G，H分别在线段上，但是没有构成三角形，．此时与还相等吗？请证明你的猜想． 【知识迁移】 如图（2），所有条件与“问题探究”中的条件不变，只将正方形变为矩形，，，此时与不再相等，则的值为多少？请写出证明过程． 【拓展应用】 如图（3），在四边形中，，，，点E，F分别在线段上，且，求的值？请写出证明过程． 20．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为_____________； （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，的值为__________________； 【性质探究】 （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； 【拓展延伸】已知四边形是矩形，，； （4）如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值； （5）如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，______________． 21．（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值． 22．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明，但无法证明； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，即可判断结论是否正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ，但无法证明，故②错误； 如图，过点D作，分别交，于点M，N，则四边形平行四边形，   ， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 例2（2024·重庆·模拟预测）如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点解题的关键． 根据矩形的性质得到，，利用角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，通过证明得到，求出的长，再证明得到，求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 例3（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在矩形中，E是边的中点，于点H，交边于点F，，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据题意及矩形的性质证明，得到比例式，设，表示出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， 故答案为：7． 例4（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形和相似三角形的性质是解答的关键． （1）先根据正方形的性质得，，再根据余角性质得到，进而利用证明，根据全等三角形的对应边相等得到即可求解； （2）根据矩形的性质和余角性质得到，，进而证明，然后根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例5（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．    (1)当时，求证：； (2)若，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）由矩形的性质及正方形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， 在中， ． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（2024·安徽·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点F． (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点E是的中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，，相减后可得结论； ②过点作，可得是等边三角形，证明即可； （2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得出，然后计算即可． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； ②证明：过点作交于G，则， ∵， 是等边三角形， ，， ∴，即 又∵， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 设，则， 点是的中点， ， ，， ， ，即， ， ， ． 例2（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G． (1)如图1，若是等边三角形． ①求证：； ②求的长． (2)如图2，若，，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可； （2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）①证明：，是等边三角形的高， ，，，分别平分和， ， ，， ； ②解：过点作交于点， ，， ，， ，是的中点， ，， ，， ， ，等边三角形的边长为8， ， ； （2）解：过点作交于点， ，， ，， ∵是的中点， ∴， ， ， ． ， ， ． ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ， ． 例3（2025·安徽安庆·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)①四边形是菱形，理由见解析；②． 【分析】（1）根据证明； （2）①根据（1）中：，得，则，证明，可得，则四边形是菱形； ②作高，设菱形的边长为，根据菱形的面积列式为，即，可得的值，证明，列比例式可得的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； ②过作于，设菱形的边长为，如图： ∵是等边三角形， ， ， ∵菱形的面积为， ，即， （负值已舍去）， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， ，， ， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 例4（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                  ∴， 在和中，，     ∴， ∴. 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 例5（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 是的中线，，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， 设，则， ，，， 在和中，，， ，即，解得，， ，故选：B． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴．∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴．又∵，∴， ∴，．∵， ∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T． 设CD=a．∵，∴，． 设DT=x，则．∵，， ∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵， ∴．∵， ∴，即，∴，∴． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，，， ，，，； 在与中，，， ，，故答案为：1； （2）如图1，作，交于，交于，， 四边形是矩形，，，，， 四边形是平行四边形，，，同理（1）可得：， ，，故答案为：； （3）如图2，作于，设，，，， ，，，， 由（1）知：，，， ，，， 由得，，，． 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （3）证明，根据相似三角形的性质求出，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，， 则， ∴， ∴， 则， 设，则， 在中，，， 则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， 解得： (舍去)， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、配方法解一元二次方程，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，于点． (1)计算及的长； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先求出，由勾股定理得，再由三角形的面积可求出，最后再由勾股定理得出； （2）求得，过点作交的延长线于点，可证明，得，可得，由可得，得出，设，则，得，故可求出． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， 在中，，，， ∴， 又， ∴， 解得； 在中，，， ∴； （2）解：∵，， ∴； 过点作交的延长线于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，得， ∴． 3．（2026·湖北·模拟预测）问题情境：如图①，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图②，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图③，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，若，，求关于的函数关系式． 【答案】(1) (2)① ；② (3) 【分析】（1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得 的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点Q，则， 在矩形中，， 四边形为矩形， ， ； ， ， ； ， ， ； （2）解：①过点E作于点Q，如图所示， 矩形沿直线折叠， ； 故由（1）知，； 由勾股定理得， ； ②如图，过G点作于点P， 则， ， 又， ， ， ， ； 在中，由勾股定理即得； （3）解：如图，连接，过点E作于点Q， 由翻折性质得； 由（1）知，， ， ； 四边形是矩形， ， ； 在中，由勾股定理得， 即 整理得：， 即y与x的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）结合（1）可知，再根据与同高即可求解； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； （3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图（1），在中，，，D是的中点，连接，过点C作交于点E，交于点F． (1)当时，如图（2）， ①求的值； ②求的值； (2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②2 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①证明，得到，进而得到，即可得出结果；②过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据，，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，即可求出； （2）过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，求出，证明，求出，，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）解：过点作于点，交于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知：在梯形中，，，对角线相交于点E，且 (1)求证：； (2)点F是边上一点，连结，与相交于点如果，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法． （1）通过找角的关系证明三角形相似； （2）利用相似三角形性质及比例传递，推导出结论． 【详解】（1）解：如下图，过点A作于点H， ，， ， ， ，则， 又， ， 在和中， ，， ， ∴， ∴； （2）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 8．（2025·全国·一模）如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．    (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，与相似，理由见解析 (3) 【分析】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出； （3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示：   四边形为矩形， ， ， ， ， 又平分， ， ， 又与互余， 与互余， ； （2）解：，与相似． 理由如下： ，， ， 又，   ， ，， ； （3）解：， ， ， ， 在矩形中对角线相互平分，图中， ①， ， ， ， 在矩形中， ②， 由①②，得（负值舍去）， ． 9．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：已知在中，，，垂足为点D，E为边上一点，连结交于点F，并满足． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）由可得，结合勾股定理证明，进而可得； （2）先证明，结合（1）的结论可证，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）过点作交于点，如图，利用平行线分线段成比例定理， 由得到，由得到，则，所以； （）先证明，得到，则利用 ，，，得到，则，由于，所以，然后把与相加得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明： 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，即， ∵， ∴，即， 得， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，三角形的外角性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，平分，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直以及角度运算得到，再通过角平分线得到，进而可证； （2）先通过等面积法得到，求出，，再通过勾股定理求出，然后通过相似三角形的比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得； 由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立； 延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知， 在和中，，， ， ， ， 又是等边三角形， ， ； （3）证明：如下图所示，延长至，连接、，使， 由可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． (3)如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由为等边三角形，结合证明，得到，即可得到，最后根据三角形内角和求的度数； （2）延长至，使，延长至，使，连接、、，可得到，和都是等边三角形，即可证明，得到，再由是的中位线，得到，最后根据证明即可； （3）在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于，由等边三角形和得到，即可得到，，，点在直线上运动，当点与点重合时，最小，此时，求出的长度，再证明，得到，即可求出，，再求出代入计算即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，延长至，使，延长至，使，连接、、， ， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ∵， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， 即， ； （3）解：在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于， ∵，， 是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当点与点重合时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 【答案】[教材呈现]；（1）；（2） 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键． [教材呈现]由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； （1）证明，得到，求出，由即可求解； （2）作于，在中，根据勾股定理求得，，进而在中求得． 【详解】解：[教材呈现]∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点A到直线的距离； [拓展] （1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 故答案为：； （2）如图③，作于， ∵矩形，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设则， ∵将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到证明三角形全等即可； （2）过点作于点，利用勾股定理和正方形的性质证明四边形是矩形，进而证明出，再求出比例即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， 四边形是矩形，且，， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 16．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 17．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（2025九年级下·海南·专题练习）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： 【基本模型】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、交于．若，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，中，，，，是边上一点，连接，于点，交于点，若，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点、分别在、上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点落在上的点处，且落在点处，交于点，连接，设的面积为的面积为，若，求的值． 【答案】（1）见解析（2）5（3） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）作，延长交于点，易得四边形为矩形，勾股定理求出的长，证明，得到，进而得到，根据，得到，证明，得到，即可得出结果； （3）根据矩形的性质，折叠的性质，证明，得到，进而求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，得到的值，作交于点，易得四边形为平行四边形，得到，证明，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作，延长交于点， 则四边形为平行四边形， ∵，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为的面积为，若， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∴， 作交于点， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 同（2）可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握十字架模型，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形或相似三角形，是解题的关键． 19．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）教材深挖．华东师大版数学八年级下册教材第121页上，习题19．3第2题及参考答案如下： 如图，在正方形中，．求证：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 某数学兴趣小组顺利完成了以上解答后，觉得意犹未尽，决定对该问题做进一步的探究，于是有了下面的问题．请你帮他们解答． 【问题探究】 如图（1），正方形中，点E，F，G，H分别在线段上，但是没有构成三角形，．此时与还相等吗？请证明你的猜想． 【知识迁移】 如图（2），所有条件与“问题探究”中的条件不变，只将正方形变为矩形，，，此时与不再相等，则的值为多少？请写出证明过程． 【拓展应用】 如图（3），在四边形中，，，，点E，F分别在线段上，且，求的值？请写出证明过程． 【答案】（1）相等，见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点A作交BC于点M，作交的延长线于点N，利用正方形，，，求证即可； （2）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，利用在矩形中，，，求证．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可； （3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点A作交于点M，作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：过点A作交于点M，作交的延长线于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， 在矩形中，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴设， 过点，垂足为，交于点，则， 在中，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题． 20．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为_____________； （2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，的值为__________________； 【性质探究】 （3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； 【拓展延伸】已知四边形是矩形，，； （4）如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值； （5）如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，______________． 【答案】（1） （2） （3）证明过程见详解 （4） （5） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由此即可求解； （2）根据矩形，勾股定理得到，再证明，，即，即可求解； （3）如图所示，过点作于点，则，则四边形是矩形，证明，，即可求解； （4）如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，可证，得，证，得，同理得，，所以，由此即可求解； （5）如图所示，连接，证，得，则，证，得，结合（4）可得，证，，得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）证明：∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （4）如图所示，过点作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴； （5）如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（4）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21．（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）利用互余易得，则可得∽；由，可得∽，则与相似的三角形为或； （2）证明∽，利用相似三角形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设；易得四边形是矩形，则．≌，则有；再证明∽，有，则 ．则，．由建立方程可求得x的值，从而求得；过点作，垂足为，交于点．证明∽，即可求得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴∽， ∵， ∴∽， ∴与相似的三角形为或； （2）∵矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴∽， ∴． ∵， ∴． （3）如图，连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴≌， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴∽． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 过点作，垂足为，交于点． 则， ∴四边形为矩形， ∴； 在和中，， ∴． 在和中，， ∴∽， ∴， 在矩形中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，构造三角形相似是解题的关键． 22．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）证明即可． （2）证明即可． （3）构造矩形，延长交于点，利用勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴ ∴ ∵于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． （3）解：构造矩形，延长交于点，如图所示， 由（2）中结论可得， ∵， ∴设， ∵点为的中点， ∴ 在中，根据勾股定理，得 ∵ ∴， 则， 解得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 解得 ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $