专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． （2025·湖南长沙·三模）求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并目对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”． (1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； (2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； (3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 例2（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 例4（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 例5（24-25九年级上·安徽合肥·期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为 ． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为 ． 1、（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为 ． 2．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 3．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． (1)理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． (2)理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． (3)拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 4．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图（2），四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．请写出图中相等的角，并说明理由； (3)拓展应用 如图（3），在中，，分别在边上取点M，N，且，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，则的长为________． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 6．（24-25九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； (2)如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； (3)如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 7．（2025九年级上·湖南·专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，则 =________°，=_________°． (2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”． (3)如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 8．（2024·江西宜春·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形中，若，则 ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 9．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）阅读理解 如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比， 例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，则 证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2， ∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴ 又 即 任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证： （2）在（1）的条件下，若则AE= ． 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若，求的值． 运用： （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ．连接，若的面积为，求的长． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形． {问题探索}问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以ABC是等边三角形，将CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得CAE，连接DE． ⋯⋯请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． {问题推广}已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，AC＝AB＝k•BC（k≠1），如图2，类比前面问题的解决方法探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由． {灵活运用}如图3，已知AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，若AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，则AD＝　 　． 12．如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补． （1）如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论； （2）如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由； （3）如图3，若=a，且=b，直接写出=　 　． 13．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小明发现通过证明，可得．请帮助小明完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，O为对角线上任意一点，过O作，交于点F，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，O为对角线上任意一点，点F在上，且，求证：． 14．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 16．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)概念理解： ①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°； ②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形． (2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：． 17．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    18．用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 19．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 20．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 21．如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补. （1）如图1，若，且，请直接写出：线段与的数量关系______； （2）如图2，若，请直接写出：线段与的数量关系______； （3）如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （2025·湖南长沙·三模）求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并目对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”． (1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A．平行四边形            B．菱形            C．矩形            D．正方形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； (2)如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； (3)如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)①D；②130 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）①根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质进行判断即可； ②根据“求同存异四边形”的对角互补进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，必有，同时时，必有，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：①平行四边形中没有一组邻边一定相等，菱形没有一组对角一定互补，矩形没有一组邻边一定相等，因此，平行四边形，菱形，矩形不一定是“求同存异四边形”；正方形有一组邻边一定相等，一组对角一定互补，因此正方形是“求同存异四边形”； 故选：D． ②∵是“求同存异四边形”， ∴， ∴； 故答案为：． （2）证明：垂直平分， ，，，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是“求同存异四边形”； （3）解：圆内接四边形是“求同存异四边形”， 四边形必有一组邻边相等， ①当时，必有，同时时，必有， 为直径， ，于点，， ，， ； ②当时，， ， 延长至点使得，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， ， ，， 为直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ③当时， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①，理由见详解；② (3)①见详解；②或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，， 根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）①分三种情况如图1，，，；如图2，, ；如图2，，，分别作图即可； ②分三种情况： 情况1：如图4，当，时，，不符合题意． 情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．先证，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证，可求得，，进而可得．再根据勾股定理可求得．情况3：当，时，连接，过N作于H．先证，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证，可求得，，进而可得．再根据勾股定理可求得． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形． 故答案为：②④； （2）解：①，理由如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：①符合要求的邻等对补四边形共有三种情况： 如图1，，，； 如图2，， ； 如图3，，． ②分三种情况： 情况1：如图4，当，时， ， 则，不符合题意． 情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H． ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 情况3：如图6,当，时，连接，过N作于H． ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 综上，的长为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 例2（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可； （2）延长到，使得，连接，证明得出，，再由等边对等角可得，从而推出，即可得证； （3）由勾股定理可得，由邻等对补四边形的定义求出，再分四种情况，分别利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）点的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可） （2）证明：如图，延长到，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 平分． （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ． ①当时，如图1，连接，， ， 由勾股定理可得， 解得． ②当时，如图2，连接， ，， ， ， 即， 解得， ； ③当时，如图3，连接， ，， ， ，故不符合题意，舍去； ④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【答案】(1) (2)正确 (3)或或． 【分析】（1）根据四边形内角和等于即可求解； （2）利用直角三角形全等的判定，证明，即可得出结论； （3）当是等腰三角形时，有三种情况，构造直角三角形，利用勾股定理分别求出，，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：结论：小明的发现正确， 证明：连接，如图1， ∵， 在与中，，， ∴， ∴， ∴小明的发现正确． （3）解：连接，在“损矩形”中，，，， ∴， 分三种情况：①如图1，当时， 同理（2），， ∴． ②如图2，当时，过点作于点，交于点，得， ∵，， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 在中，， 在中，， ∴． ③如图3，当时，过点作于点，交于点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中位线， 设的长为，则，连接，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴． 综上所述：“损矩形”的面积为或或． 例4（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴，且是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点，    由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 例5（24-25九年级上·安徽合肥·期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为 ． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为 ． 【答案】 9 12 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据“对补四边形”定义可知，进而证明，利用其性质即可求解； （2）根据相似三角形面积比与相似比的关系求的面积，再根据“对补四边形”的面积为即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是“对补四边形”， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为：9； （2）∵，且相似比为， ∴， 则， ∴“对补四边形”的面积为， 故答案为：12． 1、（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质及判定、勾股定理，理解“单邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，分四种情况画出图形，证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】解：在中，，，， ， ①当时，如下图所示： ， ， 由“单邻等对补四边形”的定义可得：， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，不符合“单邻等对补四边形”的定义； ②当时，如图所示： ， ，即， ， ③当时，如图所示： ， ， ，即， ， 综上所述，的长为或． 2．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 3．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． (1)理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． (2)理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． (3)拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）的中点即为所求的点，理由如下：由，，得，因为四边形为对余四边形，且，得，可得，推出，由为中点，即可得出应为的中点； （2）①由四边形是对余四边形，，得，再由是等腰直角三角形，即可求解；②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则，，先证明，得，在中，利用，即可得出答案； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论，第一种情况：当时，推出，得，进而求解；第二种情况：当时，过点作于，由，可设，则，推出，在中，由勾股定理，得，即，求出，利用即可得出答案；第三种情况：当时，能推出点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意． 【详解】（1）解：如图（1）所示，的中点即为所求的点，理由如下： 由题意可知，，， ， 又四边形为对余四边形，且， ， ， ， 利用尺规作图，过点作交于点， ， 又为中点， ， 应为的中点； （2）①四边形是对余四边形，, ， ， ，， ， ； ②，理由如下：如图（2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，， 则，， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论， 第一种情况：当时，如图（3）， ， ， ， ， ； 第二种情况：当时，如图（4）， 过点作于， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ； 第三种情况：当时， ， ， ， , 此时点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义问题、平行线分线段成比例、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． 4．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图（2），四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．请写出图中相等的角，并说明理由； (3)拓展应用 如图（3），在中，，分别在边上取点M，N，且，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可； （2）作于E，延长线于F，证明，再用角平分线的判定证明即可； （3）先证明四边形对角互补，再分类讨论，根据不同的邻边相等求解即可． 【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④ （2）； 证明：作于E，延长线于F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补， 当或时，由（2）可得，是角平分线， ∴，不符合仅有一组邻边相等； 当时，， ∵， ∴，勾股定理得； 当时， ∵， ∴； ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，则的长为________． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①．理由见解析；②； (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①，理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； 故答案为：； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 6．（24-25九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； (2)如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； (3)如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)理由见解析； (3)线段的长为或． 【分析】（）根据“等对角四边形”的定义即可求解； （）由为斜边边上的中线得，则，由，，得，又，从而求解； （）根据“等对角四边形”的定义分若，，若，，两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵四边形是“等对角四边形”，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）在中 ， ∵为斜边边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴ 四边形是“等对角四边形”； （3）若，，如图，    ∵平分， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴； 若，，如图，    在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是主要考查了四边形内角和定理，直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 7．（2025九年级上·湖南·专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，则 =________°，=_________°． (2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”． (3)如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)140，70 (2)见解析 (3)2或 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形是“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若，则，再利用四边形内角和定理求出；②若，则，再利用四边形内角和定理求出； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由等边对等角得出∠DCB=∠B，再由，，利用同角的余角相等得出，又，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形是“等对角四边形”； （3）根据“等对角四边形”的定义，当四边形为“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①若，根据证明，利用全等三角形对应边相等得出，那么；②若，先利用勾股定理求出，再根据角平分线定理得出，求出，再证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】（1）∵四边形是“等对角四边形”，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）如图： 在中， ∵为斜边边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，且， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）①若，如图2．    ∵平分， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②若，如图．    在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 综上所述，线段的长为2或． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 8．（2024·江西宜春·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形中，若，则 ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)①D；②；③见解析 (2)平分，理由见解析 (3)． 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②利用“等补四边形”的对角互补，列式计算即可求解；③在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点分别作于，于，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②等补四边形对角互补，， 设， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：； ③证明：在上截取，连接，如图1， 在和中， ， ， ，． ， ． ． ， ， 又， 四边形是等补四边形； （2）解：平分，理由如下， 如图2，过点分别作于，于， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上）， 即平分． （3）解：连接， ∵等补四边形中，，由（2）知，平分， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 9．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）阅读理解 如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比， 例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，则 证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2， ∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴ 又 即 任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证： （2）在（1）的条件下，若则AE= ． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，可得∠EFA=∠CGA=90°，再由∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，推出∠CAG=∠EAF，即可证明△CAG∽△EAF，得到，再由，，得到． （2）根据，，可得，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F， ∴∠EFA=∠CGA=90°， ∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°， ∴∠CAG=∠EAF， ∴△CAG∽△EAF， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形． 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若，求的值． 运用： （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ．连接，若的面积为，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）①是四边形的“相似对角线”，详见解析；②16；（3） 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置； （2）①先说明，即可说明理由；②，利用相似的性质求解即可； （3）先判断出，得出，再求出，即可求得的值 【详解】解：（1）如图1所示．， ∵四边形是以为“相似对角线”的四边形， ①当时，或， ∴或， ∴或， ∴或， 同理：当时，或， 如图中， 即为所求； （2）①如图2，是四边形的“相似对角线”， 理由如下： ，平分， ， ， ， ， ， ∴ 是四边形的“相似对角线”； ②， ∴， ， ， ； （3）如图3， ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． 又， ， ∴， ， 过点E作垂足为Q， 可得， ∵， ∴， ， ， ∴． 【点睛】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、认识新定义、锐角三角函数等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形． {问题探索}问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以ABC是等边三角形，将CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得CAE，连接DE． ⋯⋯请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． {问题推广}已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，AC＝AB＝k•BC（k≠1），如图2，类比前面问题的解决方法探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由． {灵活运用}如图3，已知AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，若AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，则AD＝　 　． 【答案】{问题探索}见解析；{问题推广}；{灵活运用} 【分析】{问题探索}将绕点顺时针方向旋转，得，连接，可证，在中，利用勾股定理可得，由此等量代换即可； {问题推广}在DC的右侧作等腰ECD，使得EC＝ED＝kDC，连接AE，先证明，由此可得，进而可得，再证明，由此可得，最后再根据∠ABC+∠ADC＝90°可得∠ADE＝90°，进而利用勾股定理即可得证； {灵活运用}作，，连接，，设与的交点为，与的交点为，同理可得，得，设，则，，则，，利用角的直角三角形的性质可表示出，的长，结合勾股定理得出的方程即可． 【详解】{问题探索}证明：，， 是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转，得， 则， ，，， ∴， ∴， 为等边三角形， ，， 四边形为余对角四边形， ， ， ， ∴在中，， 又，， ； {问题推广}解：，理由如下： 如图，在DC的右侧作等腰ECD，使得EC＝ED＝kDC，连接AE， ∵EC＝ED＝kDC，AC＝AB＝kBC， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠ABC+∠ADC＝90°，， ∴∠EDC+∠ADC＝90°， 即∠ADE＝90°， ∴， ∴， 即：； {灵活运用}解：如图，作，，连接，，设与的交点为，与的交点为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ， 又∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵∠ABC+∠ADC＝90°， ∴∠EDC+∠ADC＝90°， 即：∠ADE＝90°， ∴， ， ， 又∵， ， ， ∵， ∴， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质等相关知识，用类比的方式作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补． （1）如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论； （2）如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由； （3）如图3，若=a，且=b，直接写出=　 　． 【答案】(1) DF=DE;  (2)  DE：DF=1：k ;  (3) 【详解】试题分析：（1）如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，只要证明△DEM≌△DFN即可． （2）结论DE：DF=1：k．如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由•AB•DM=•AC•DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再证明 △DME∽△DNF，即可． （3）结论DE：DF=1：k．如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN，由•AB•DM：•AC•DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=，再证明△DEM∽△DFN即可． 试题解析：（1）结论：DF=DE， 理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°， ∵AB=AC，点D为BC中点， ∴AD平分∠BAC， ∴DM=DN， ∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°， ∴∠MAN+∠MDN=180°， 又∵∠EDF与∠MAN互补， ∴∠MDN=∠EDF， ∴∠EDM=∠FDN， 在△DEM与△DFN中， ， ∴△DEM≌△DFN， ∴DE=DF． （2）结论DE：DF=1：k． 理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°， ∵BD=DC， ∴S△ABD=S△ADC， ∴•AB•DM=•AC•DN， ∵AB=kAC， ∴DN=kDM， 由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°， ∴△DME∽△DNF， ∴ （3）结论：． 理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同（2）可证∠EDM=∠FDN， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△DEM∽△DFN， ∴， ∵=b， ∴S△ABD：S△ADC=b， ∴•AB•DM：•AC•DN=b， ∵AB：AC=a， ∴DM：DN=， ∴． 13．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小明发现通过证明，可得．请帮助小明完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，O为对角线上任意一点，过O作，交于点F，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，O为对角线上任意一点，点F在上，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过点O作于点M，反向延长交于点N，结合矩形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，相似三角形的判定方法得，即可得证； （3）过O作，交于点G，结合平行四边形的性质及相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ， ； （2）过点O作于点M，反向延长交于点N， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 又，， ， ∴， ∴， ； （3）过O作，交于点G，如图③， ∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 又∵，是公共角， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，并能添加恰当的辅助线，构建全等三角形和相似三角形是解题的关键． 14．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）在AF上找一点M，使．证明，即可得出结论； （3）在AD的延长线上找一点N，使得．证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 与互补， ． ， ． ， ； （2）解：成立．理由如下： 如图1，在AF上找一点M，使． 菱形， ， 与互补， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ，即； （3）解：．理由如下： 如图2，在AD的延长线上找一点N，使得． 与互补， ， ． ， ． ∵四边形为平行四边形 ∴，， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；② 【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可； （2）①过点C作于点F，证明得，设，在中，则勾股定理列出x的方程解答便可； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，求出便是的最小周长． 【详解】（1）解：四边形为“直等补”四边形， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过点C作于点F，如图1，    则， ∵四边形是“直等补”四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．    则，，， 因为点D到所在直线的距离为， 所以， ∵， ∴，， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定M、N的位置． 16．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)概念理解： ①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°； ②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形． (2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：． 【答案】(1)①90；②见解析； (2)见解析 【分析】（1）①设，根据，∠A与∠C是一组对角列出方程，求解方程，即可求得∠A的度数； ②根据，证得△BDE∽△BCA，再由∠BED＝∠A可证四边形ADEC是互补四边形； （2）证明△EAC≌△EBD，得∠EBD＝∠EAC，则可知∠ABD＝∠BAC，从而得到，再根据四边形为互补四边形得，可知，从而证明结论． 【详解】（1）①设 ∵ ∴ ∵互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角 ∴ ∴解得 ∴ 故答案为：90 ②证明：∵BE•BC＝AB•BD， ∴， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BCA， ∴∠BED＝∠A， ∴∠A＋∠CED＝∠BED＋∠CED＝180°， ∴四边形ADEC是互补四边形． （2）证明：∵AE＝BE，AD＝BC， ∴ED＝EC， 在△EAC和△EBD中， ， ∴△EAC≌△EBD（SAS）， ∴∠EBD＝∠EAC． ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵四边形CEDH是互补四边形， ∴∠E＋∠DHC＝180°， ∵∠AHB＝∠DHC， ∴∠E＋∠AHB＝180°， 又∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°， ∴∠ABD＋∠BAC＝∠E， ∴； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，互补四边形的定义，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握互补四边形的性质是解题关键． 17．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    【答案】（1）90；（2）见解析 【分析】（1）根据互补四边形的定义得到，由四边形内角和得，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数； （2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，可以证明，就可以证明四边形ADEC是互补四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是互补四边形，且与是一组对角， ∴， ∵四边形内角和是， ∴， ∵， ∴设，，， ，解得， ∴，则， 故答案是：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ADEC是互补四边形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 18．用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，最大值；②= 【分析】（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证； （2）连接AO，BO,证得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，证出，即CO⊥FE， （3）①设FC＝x，则BF＝6−x，证△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四边形AGFE的面积可表示为S△ABC−S△EFC−S△BFG，利用二次函数的性质可求出最大值，得到点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证得DF为AC边的逆平行线， 得到G点与D点重合，再根据相似三角形的判定与性质求出AD的长； ②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB． 【详解】（1）证明理由如下： 边是的逆平行线； （2）如图1，连接，BO 是边的逆平行线 点是的外心 =BO， ，AO=AO ∴△ABO≌△ACO ， ； （3）如图2，作AQ⊥BC ∵AB=AC， ∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3 ∴AQ= S△ABC===12, ①设，， ∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB， ∴△FEC∽△ABC． ， 同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC ∴△FBG∽△ABC ∴ ＝− (x−3)2＋， 当时，此时有最大值，最大值为， ∴CF＝BF＝3， 如图3，连接DF， ∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BDF≌△CEF（SAS）， ∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC， ∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF． ∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180， ∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180． ∴FD为边AC的逆平行线， 由题意可知D与G点重合， 由= 过D点作DH⊥BC， ∴BF×DH=，故×3×DH= 解得DH= ∵AF∥DH ∴△BDH∽△BAF，设AD=a ∴BD=5-a ∴ 故 解得a= 故，四边形的面积最大值为； ②由①可得D与G点重合， ∴AD＋BG＝AB， 故答案为：＝． 【点睛】本题是新定义结合圆的综合题，综合考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、外心的定义、二次函数的性质等知识，关键是读懂定义并根据图形的性质解答． 19．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形为“直等补”四边形； （2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可； （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC, 由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）∵四边形是“直等补”四边形，AB=BC， ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F共线， ∴四边形EBFD是正方形， ∴BE=FD， 设BE=x，则CF=x-1， 在Rt△BFC中，BC=5， 由勾股定理得：，即， 解得：x=4或x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5, 则NP=NC，MT=MC, ∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT， 过P作PH⊥BC，交BC延长线于H， ∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH, ∴△BCF∽△PCH, ∴, 即， 解得：, 在Rt△PHT中，TH=, , ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 20．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 【答案】（1）①90；②见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）①由互补四边形和四边形内角和定理即可求出∠A的度数； ②证明得，进而可得，从而可证明四边形是互补四边形； （2）先证明得，根据EA=EB可得，根据三角形内角和定理得∠AHB=180°-(),再根据互补四边形的定义可得结论； （3）如图，作于点交的延长线于点则，由四边形CEDH是互补四边形可得，进而证明，，求得，再证明即可得到结论. 【详解】（1）①解：∵四边形ABCD是互补四边形， ∴∠B+∠D=180°， ∵∠B：∠C：∠D=2：3：4， ∴∠B=60°，∠C=90°， 又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠A=180°-∠C=90°； 故答案为：90； ②证明： 又 四边形是互补四边形． 证明： 四边形是互补四边形， 如图，作于点交的延长线于点 则 四边形是互补四边形， ． 在中， 设则 ． ， 【点睛】考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键． 21．如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补. （1）如图1，若，且，请直接写出：线段与的数量关系______； （2）如图2，若，请直接写出：线段与的数量关系______； （3）如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论. 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）结论，理由见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，∠B=∠DAF=45°，证出∠BED=∠AFD，证明△BED≌△AFD（AAS），即可得出结论； （2）过点 D 作 DM⊥AB 于 M，作 DN⊥AC 于 N，连接 AD，由等腰直角三角形的性质得出AD 平分∠BAC，得出DM=DN．证出∠MDE=∠NDF，证明△DEM≌△DFN（ASA），即可得出结论； （3）过点 D 作 DM⊥AB 于 M，作 DN⊥AC 于 N，连接 AD，由（2）得∠MDE=∠NDF，证明△DEM∽△DFN．得出．证出S△ABD=S△ADC．得出，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 连接.如图1所示： ∵，，为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. 故答案为； （2），理由如下： 过点作于，作于，连接.如图2所示： 则. ∵，点为中点， ∴平分， ∴. ∵在四边形中，， ∴. ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. 故答案为； （3）结论，理由如下： 过点作于，作于，连接，如图3所示： 由（2）得， ∵， ∴. ∴. ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即. 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $