专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】由题意易得，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，通过证明即可判断A选项；由题意易得，然后展开化简即可判断B选项；进而可得，则有，将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，通过证明，则可判断C、D选项． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故B正确，不符合题意； ∴，即， ∵， ∴， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的综合、旋转的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，设，则，，然后在中，利用直角三角形的边角关系可得，，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的长，最后证明，利用相似三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 设， ，， ，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）主题式学习：苏外九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图，、分别为正方形的边、上的动点，连接、、，且满足 【常规探究】在图（1）中，求线段、、之间的数量关系． 【变式思考】如图（2），正方形的边长为，点为边上的点，连接，取的中点，为边上的点，且，若，求的长． 【拓展应用】如图（3），点为正方形的边上的点，点在直线上，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】【常规探究】； 【变式思考】； 【拓展应用】． 【分析】（1）延长至，使，连接，可证得，从而，证得，从而，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于，作于，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3） 可判断当点在的延长线上，点在上时，存在最大值，作，交于，作于，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆，作于，交于，当点在处时，最大，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图， ，理由如下： 延长至，使，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． ， ，即； （2）如图， 延长，交的延长线于，作于， 四边形是正方形， ，，， 在和， ， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 当点在的延长线上，点在上时，存在最大值， ， 作，交于，作于，则，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ， ， 作的外接圆，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助圆． 例2（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题． 例3（2025·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 例4（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M． (1)判断△APF的形状，并说明理由； (2)连接EF，求EF:PM的值． 【答案】(1)△APF是等腰直角三角形，理由见解析 (2)EF：PM=2：． 【分析】（1）过点P作PG⊥BC于点G，交AD于点H，根据正方形的性质证明△APH≌△PFG，即可得结论； （2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，利用全等三角形的性质证明∠AFN=∠AFE，然后证明△APM∽△AFE，可得EF：PM=AP：AF，根据△APF是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：△APF是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点P作PG⊥BC于点G，交AD于点H， ∴GH=CD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°，AD=CD， ∵∠PHD=90°， ∴∠HPD=45°， ∴HD=HP， ∴AH=GP， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=90°， ∴∠APH+∠FPG=90°， ∵∠PAH+∠APH=90°， ∴∠PAH=∠FPG， 在△APH和△PFG中， ， ∴△APH≌△PFG（ASA）， ∴AP=FP， ∴△APF是等腰直角三角形； （2）解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABN， ∵∠ADE=∠ABN=90°，∠ABC=90°， ∴∠ABC+∠ABN=180°， ∴C，B，N共线， ∵∠EAF=45°， ∴∠NAF=∠FAB+∠BAN=∠FAB+∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠FAN， 在△FAN和△FAE中， ， ∴△FAN≌△FAE（SAS）， ∴∠AFN=∠AFE， ∵∠FMB=∠AMP，∠MBF=∠PAM=45°， ∴∠BFM=∠APM， ∴∠APM=∠AFE， ∴△APM∽△AFE， ∴EF：PM=AP：AF， 由（1）知：△APF是等腰直角三角形， ∴AF：AP=2：， ∴EF：PM=2：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考题的压轴题． 例5（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：； （2）在（1）中，若，，求的长； （3）如图2，在平行四边形中，点E为边的中点，点F在边上，且，，，求的长； （4）如图3，在正方形中，点F在边上，点E为正方形外一点，，，．请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解： （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证出，再根据相似三角形的性质即可证明； （2）设，根据（1）中结论列方程求解即可； （3）延长与的延长线相交于点，先证明，得到，再证明，求得，，，求得，代入到前面得到的比例式，即，从而得解； （4）设正方形边长，，根据已知得是等腰直角三角形，则，，，，再证明，得到，用含、的式子代入，解得的值（含，再代入到中即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ，， ， ， ； （2）设，则， 由（1）知， ∴，即，即， ∴，即的长为4； （3）如图，延长与的延长线相交于点， ，， ， 在中，， ， ， 在与中， ，， ， ， 点是边上的中点， ， 在与中， ，，， ， ，，， ， ，即， ， ； （4）如图3，设正方形边长，则， ， ， 设交于，设， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， ，，即， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得， 此时，舍去； ， ． 1．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形成为解题的关键． 如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，其中；过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，则四边形是矩形；证明可得，；然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可得；设，则，则，然后求得m的值，进而确定点H的坐标；再运用待定系数法求得直线AH的表达式为，最后求得点E的坐标即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，    ∴是等腰直角三角形，其中 过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，即，解得：， ∴， 设，则， ∴ ∴，解得∶， ∴， 设直线的表达式为， 将代入，得，解得： ∴直线AH的表达式为， 令，则，解得：， ∴点E的坐标为． 故选C． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质判定①，证明可判定②，证明可判定③，证明可判定④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∴，故①正确； ，， 在中，由勾股定理可得：， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ，故④错误， 综上，正确的有3个． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，，则由勾股定理得到，求出，则，再证明，得到，即，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B．    4．（2025·山东青岛·二模）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．延长至，使，证明，推出，，，利用证明，可判断①；利用余角关系可判断②；在中，由勾股定理计算可判断③；证明，利用相似三角形的性质可判断④． 【详解】解：延长至，使，    四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ，即， 又， ， ，①正确； ， ， ，②正确； 设， 为中点， ， ，， 在中，由勾股定理得， 解得，即，③不正确； ，， ， 又， ， ， ， ， ，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：C． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别以，为直角边作等腰和等腰，判定，即可得到的长． 【详解】如图，分别以，为直角边作等腰和等腰，    依题意得，， ， ， 即 解得：（负值舍去） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，作辅助线构造等腰直角三角形以及相似三角形是解决问题的关键． 6．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能构造出相似三角形是解题的关键． 连接，证明， 得，设，，可得，得，即可得结论． 【详解】解：连接， ， ， 又， ， ， 设，， ， 得， 同除得， 解得（舍负）．即 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，．若上分别有点E、D，满足，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形．延长，交于，作于，设，由勾股定理表示出的长，由相似三角形的性质求出、，利用三角形相似和由勾股定理求出、的长，即可点的坐标． 【详解】解：延长，交于，作于，设，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标是 故答案为：． 8．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 【答案】7.2 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，熟练掌握正方形中的半角模型，字模型相似三角形是解题的关键．在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，先证明手拉手模型旋转型全等，从而可得，，然后再利用正方形中的半角模型证明，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出，最后利用字模型相似三角形证明，利用相似三角形是性质进行计算即可解答． 【详解】解：在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ， 四边形的平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：7.2． 9．（2025·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 ． （2）若，则 ． 【答案】 4 【分析】（1）过作，交延长线于，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明和得到，进而推导出的周长为即可求解； （2）连接，证明和得到为等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）过作，交延长线于，如图． 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ，又，， ， 的周长 ， 正方形的边长为2， 的周长为4， 故答案为：4； （2）连接，，，， ，即，又， ， ， ， 为等腰直角三角形，即，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】将代入得，可得，，，，在中，由勾股定理得，如图，延长，过作于，证明，则，即，，，根据，，可得，即，令，则，，根据，求值，进而可求的值以及点坐标，然后根据待定系数法求直线的表达式即可． 【详解】解：将代入得， ∴，即，， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图，延长，过作于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 令，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为对角线，过点作的垂线，交于点，垂足为点，过点作交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，根据，，推出，得到，由余角的性质可得，即可得证； （2）由（1）知，推出，证明，得到，推出，设，则，即可求解； （3）利用相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， 又， ， ， ，即， 设，则， 解得，（舍去）， 即； （3）证明：，，， ，，， ， 又，， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 13．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，是正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，，分别与交于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得出，由已知，通过等量代换得到，即可得出， （2）根据正方形的性质可得出，由已知，通过等量代换得到，得出，，由（1）结论可得，，即可求解， （3）由，，可得，即是等腰直角三角形，即可求解， 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质与判定． 【详解】（1）解：，是正方形的对角线， ， 又， ，即， ， （2）解：，是正方形的对角线， 和均为等腰直角三角形，， ，， ∵， ，即， ∴， ， 由（1）知， ， ， ， （3）解：， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 14．（2025·山东泰安·二模）如图，点E，F在正方形的对角线上，．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，延长交于点G，连接．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴， ，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 【答案】（1），理由见解析；（2）正方形的边长为；（3）的长度． 【分析】本题是一道四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，即可得证； （2）在中，求出，由（1）可推出，，则，即可求出正方形的边长； （3）取、的中点，，连接交于点，连接，则四边形是正方形，由勾股定理得出，设，则，，根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 如图所示，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）∵在中，，， ， 由（1）得，， ； ， ∴在正方形中，，即边长为； （3）如图所示，取、的中点，，连接交于点，连接， 四边形为矩形， ，，，，， ∵点，分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， 四边形为正方形， ， ， ∵在中，，， ， ， ， 由（1）同理可得，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 16．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 【答案】(1)；理由见解答过程； (2)． 【分析】（1）补充的条件是，先证明，进而依据“”判定和全等即可得出； （2）连接，证明和相似得，，则，再根据得和相似，则，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后求出，，证明和相似得，则，由此可得的长． 【详解】（1）解：当时，,理由如下： ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，,， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：连接GF，如图所示： ∵，, ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 17．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 【答案】(1)见解析； (2)（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）见解析． 【分析】（1）由正方形的性质得，再证明，即可证明结论成立； （2）（）证，得，再证明，得，进而得，，即可得解；（ii）延长到，使得，证，得，，再证明（），得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）（）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （）延长到，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质是解题的关键． 18．（24-25九年级下·四川成都·开学考试）（1）如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，请直接写出，，之间的数量关系：________． （2）如图2，四边形是菱形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，，，，求线段的长． （3）如图3，若菱形的边长为4，E在延长线上，F在边上，，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）延长至点G，使得．证明．则．证明．则； （2）分别在上取点M、N，使得，连接，证明，则，过点A作于点G，则,得到，同理可得，，证明，设则，则，解得或（不合题意，舍去），得到则，过点F作于点H，得到，，勾股定理即可得到答案； （3）连接，在上取点M，使得，证明，则，求出，过点F作于点H，过点C作于点O，求出，，得到，，过点E作于点N，得到，则，用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 延长至点G，使得． ∵四边形为正方形． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 即：． 又． ∴． ∴． 即； （2）如图2，分别在上取点M、N，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点G，则, ∴， 同理可得，， ∴, ∴， 设则 ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴ ∴， 过点F作于点H， ∵， ∴， ∴； （3）连接，在上取点M，使得， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵菱形的边长为4， ， ∴ 过点F作于点H，过点C作于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点N， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了菱形的性质、正方形的性质、含角直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性较强，难度大，添加合适的辅助线是解题的关键． 19．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，E是上的一点，绕点A逆时针旋转后得到，在边上取点G，连接、，使得，求证：． 请补全下列证明过程： 证明：绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合， 由旋转可得：，，，，． ∴，因此，点G，D，F在同一条直线上． 【探索发现】 （2）①图1中，若正方形的边长为a，则的周长为 （用含有a的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，E是的中点，且，则的长 ． 【拓展迁移】 （3）如图3，在正方形中，E是上的一点，将沿折叠得到，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3） 【分析】（1）由旋转可得：，，，，．证明出点G，D，F在同一条直线上，再证明，得出，即可得证； （2）①由（1）可得，再表示出的周长即可得解；②作于，证明四边形为正方形，得出，由（1）中的结论可得，设，则，，在中，由勾股定理计算即可得解； （3）由旋转可得，，，，，由折叠的性质可得，，，，延长交于，连接，证明 ，得出，设，则，，由勾股定理求得，得出，，作于，则，，证明，求出，，得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合， ∴由旋转可得：，，，，． ∴， ∴点G，D，F在同一条直线上， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由（1）可得， ∴的周长为 故答案为：； ②如图，作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴由（1）中的结论可得， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：10； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合， ∴由旋转可得：，，，，． ∴， ∴点C，D，F在同一条直线上， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 如图，延长交于，连接， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 作于，则，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 20．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明是解题的关键，注意解题方法的延续性． （1）说明，，即可得，进而可得，； （2）①连接交于点，通过计算，得出，再由，可证明； ②由①的结论，则； （3）连接交于点，同理得，则，得，求出的长，再利用，得，从而求得结果． 【详解】（1）解：∵为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（2024·江苏南通·三模）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． (1)如图，点在边上，，求证：； (2)过点作，垂足为，连接，求 的度数； (3)在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或； (3)． 【分析】（1）先由正方形的性质得出，，再结合已知条件，根据证明，从而得出； （2）分“点在边上”和“点在边上”两种情况讨论：①当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，先证明，从而得出，以此可得，则为等腰直角三角形，从而得到；②当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，同理可得，，则，，； （3）①当点在边上时，分和两种情况，而当时，此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾，则，，则，由得到相关线段之间的比例关系即可求解；②同①方法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①当点在边上时，如图1，过点作，垂足为，延长交于点， 则， 四边形是矩形， ， ，， ，为等腰直角三 角形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ； ②当点在边上时，如图2，过点作，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， 同理可得， ， 为等腰直角三角形，， ． 综上，的度数为或； （3）解：①当点在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ， ， ， ， ，， ； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾． ②当点在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又， 此时点与点重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ， ， ， ． 综上，． 【点睛】本题考查相似型的综合应用，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理，熟记三角形全等的判定定理是解题关键． 22．（24-25九年级下·浙江·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时， ①求证； ②当时，求的值； (2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)不发生变化， 【分析】（1）①由正方形可得，，，，再由可得，，从而得出为等腰直角三角形，可得，最后可得结论； ②连接交于点，则，证明，最后进行计算即可； （2）连接，证明，即可解决问题； （3）连接，过点E作于点W，由（2）知，可得，再证为等腰直角三角形，即，则，即点W与点Q重合，即有为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：正方形， ，，，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 在和中， ． ②如图，连接交于点，则， ， ， 由①知，，， 又， ， 在和中， ．   ， ， ． （2）如图，连接， ， ，      又， ，   ． （3）不发生变化，理由如下： 如图，连接，过点E作于点W， 由（2）知， ，    又，， ∴， 为等腰直角三角形，即， ，即点W与点Q重合， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）主题式学习：苏外九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图，、分别为正方形的边、上的动点，连接、、，且满足 【常规探究】在图（1）中，求线段、、之间的数量关系． 【变式思考】如图（2），正方形的边长为，点为边上的点，连接，取的中点，为边上的点，且，若，求的长． 【拓展应用】如图（3），点为正方形的边上的点，点在直线上，求的最大值，请直接写出结果． 例2（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 例3（2025·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 例4（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M． (1)判断△APF的形状，并说明理由； (2)连接EF，求EF:PM的值． 例5（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：； （2）在（1）中，若，，求的长； （3）如图2，在平行四边形中，点E为边的中点，点F在边上，且，，，求的长； （4）如图3，在正方形中，点F在边上，点E为正方形外一点，，，．请直接写出的值． 1．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （   ）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·二模）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为 ． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，．若上分别有点E、D，满足，则点E的坐标为 ． 8．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 9．（2025·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 ． （2）若，则 ． 10．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 ． 11．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为对角线，过点作的垂线，交于点，垂足为点，过点作交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 13．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，是正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，，分别与交于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 14．（2025·山东泰安·二模）如图，点E，F在正方形的对角线上，．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，延长交于点G，连接．判断的形状，并说明理由． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点M、N分别在边、上，且不与端点重合，，连接，探究线段、、之间的等量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，如图2，若，，求正方形的边长； 【问题解决】 （3）如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．按设计要求，、是两条夹角为（）的旅游观光小桥，E、F分别是边、上的两座休闲小岛，现计划在E、F两岛之间修建笔直的玻璃桥．已知在矩形中，，，．求所修建的玻璃桥的长度． 16．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 17．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 18．（24-25九年级下·四川成都·开学考试）（1）如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，请直接写出，，之间的数量关系：________． （2）如图2，四边形是菱形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，，，，求线段的长． （3）如图3，若菱形的边长为4，E在延长线上，F在边上，，，，求线段的长． 19．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，E是上的一点，绕点A逆时针旋转后得到，在边上取点G，连接、，使得，求证：． 请补全下列证明过程： 证明：绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合， 由旋转可得：，，，，． ∴，因此，点G，D，F在同一条直线上． 【探索发现】 （2）①图1中，若正方形的边长为a，则的周长为 （用含有a的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，E是的中点，且，则的长 ． 【拓展迁移】 （3）如图3，在正方形中，E是上的一点，将沿折叠得到，连接，若，，求的长． 20．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 21．（2024·江苏南通·三模）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． (1)如图，点在边上，，求证：； (2)过点作，垂足为，连接，求 的度数； (3)在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 22．（24-25九年级下·浙江·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 23．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时， ①求证； ②当时，求的值； (2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $