专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【答案】见详解； 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积． 【详解】解：在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2025·安徽安庆·三模）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． (1)如图1，延长交D于点G，若，，求的长． (2)如图2，． ①证明：； ②证明：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）如图1，过点E作于点P，作于点Q，得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，，设，则，，根据，列方程可得a的值，证明，列比例式即可解答； （2）①如图2，过点E作于点P，交于H，连接，证明，则，证明，可得结论； ②如图3，将绕点A顺时針旋转得，连接，证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，过点E作于点P，作于点Q， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，，是等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）证明：①如图2，过点E作于点P，交于H，连接， 四边形是正方形， ∴，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图3，， 将绕点A顺时针旋转得，连接， ，，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了全等和相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 例2（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 例3（2024·湖北武汉·一模）如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 例4（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 例5（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行线的性质和相似三角形的判定可知，从而得到，即可求得的长． 【详解】解： ， ，， 故选：A． 例2．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 例3（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 例4（2013·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 例5（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意；故选C． 例2（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，， ，，，，， ，，，，，． （2）当，时，由（1）可得，，，，，，， 又，，，，， ，，． 1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等等，证明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，得到，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵分别为边上的中线， ∴是的中位线， ∴ ∴，， ∴， ∴，，， ∴四个选项中只有C选项不成立， 故选C． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，，垂足为G，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键．设，证明，可得，利用勾股定理求出，然后证明，对应边成比例得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，为边延长线上一点，连接交对角线于点，过点作交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理等，设，可得，，，由平行四边形的性质得，，即得，进而由相似三角形的性质得，又由平行线等分线段定理得，即得到，解方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点F是线段的中点，从而是中位线，则有，从而得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 即点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，利用三角形中位线定理是解题的关键． 5．（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，得到，证明，计算即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2025·浙江衢州·一模）如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 先根据垂直的意义得出，再根据菱形的性质，得出，，然后根据平行线的性质得出，从而可证，再根据相似三角形的性质列出比例式，从而可得，再设，用m分别表示出，，，再证明四边形是梯形，然后用m表示出，得到关于m的方程求解，从而可求得，进而求出． 【详解】解：∵，交的延长线于点E，于点F， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则AE=， ∴， ， ∵，， ∴四边形是梯形， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， 故选： D． 7．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的性质得出，，根据得出，根据面积比等于相似比的平方即可解答本题． 【详解】解：∵在中，平分，平分， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 8．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 先证明， 可求， 由等腰三角形的性质可求，通过证明， 可得，可求，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ， ， 则， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）如图1，已知是正方形的边上一点，连接，延长至点，使，连接交于点． （1）若，则 ；（用含有的代数式表示） （2）如图2，连接交于点．若，则 ． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再根据等边对等角得到，由三角形内角和定理即可求解； （2）作交于点，则，根据正方形 中，，得到，证明，得到，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形 中，， ∵， ； （2）作交于点，则， ∵在正方形 中，， ∴， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ． 故答案为：、． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 10．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，，连接，过点B作垂直于，垂足为O，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，由四边形是平行四边形，得，，，，从而可证明四边形是平行四边形，然后由直角三角形的性质和勾股定理求出由勾股定理得，，再证明，通过相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当平行四边形的面积为12时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方进行几何计算．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）先根据平行四边形的性质得到，所以，然后根据“”可证明，从而得到； （2）先根据平行四边形的性质得到，，则，再证，根据相似三角形的性质得到，接着由得到，所以，从而得到． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25九年级下·全国·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 13．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，锐角中，，点分别在边上，． (1)在备用图中，利用尺规作图找到点的位置，使四边形是菱形．（保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上补全菱形，若cm，cm，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查用直尺和圆规作已知角的平分线、菱形的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． （1）作出的平分线交于点，则点即为所作； （2）作交于点， 交于点，则四边形是平行四边形，，然后证明，即可得到四边形DECF是菱形， 证明，根据对应边成比例解答即可． 【详解】（1）解：点即为所作； （2）解；作交于点，交于点， 则四边形是平行四边形， ， 由作图得平分， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， 的值为． 14．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若正方形边长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，运用角边角即可求证； （2）在直角中，由勾股定理得到，由（1）得，，再证明，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， 中，， 在中，， ∴（同角的余角相等）， 在和中， ， ∴． （2）解：∵正方形边长为4，即，， 在直角中，， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 15．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 故答案为：； ②证明：由①可知，，， ，即， 又， ， ； （2）；理由如下： ， ， 又， ， ； （3）如图，连接，在的上方取点，    使， ． ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 17．（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）如图，E，F两点均在菱形的对角线上，射线交边于点G． (1)如图1，若． ①求证：． ②过点E作于点H，求证：． (2)如图2，射线交于点I，若，，，求的长． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2) 【分析】（1）①根据菱形性质得到，利用已知结合三角形内角和得到，从而得出结论；②连接，先证明，再证明，利用等角对等边得到，结合已知得出结论； （2）连接，先推出四边形为平行四边形，利用菱形性质得到，得到，设，则，列式解出的值即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ． ②证明：如图1，连接． 由①可得， ， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点， ． （2）解：如图2，连接． ∵， ∴四边形为平行四边形． ， ， ， ∵四边形为菱形， ， ， 设，则， ， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 18．（2025·江西上饶·模拟预测）追本溯源 题（1）来自于课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成后面的题目． (1)如图1，是一个正方形花园，、是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ (2)如图2，四边形是边长为3的正方形，当点、分别是与的中点时，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则______． (3)如图3，四边形是边长为3的正方形，点是延长线上一点，点是上一点．且，连接交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)，，见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）利用证明，推出，，可得到； （2）利用证明，推出，同理（1）求得，再利用直角三角形的性质即可求解； （3）先证明，推出，再证明，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，； 理由：四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点时， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 又，正方形的边长为3， ， 在中，， ， 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等．掌握相关结论是完成几何推导的关键． 19．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 20．（2025·广东江门·一模）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． （2025·安徽安庆·三模）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． (1)如图1，延长交D于点G，若，，求的长． (2)如图2，． ①证明：； ②证明：． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 例3（2024·湖北武汉·一模）如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 例4（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 例5（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，直线，直线，分别交直线，于点，，，，直线，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 例4（2013·北京通州·二模）如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 例5（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 例2（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例3（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 例4（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，，垂足为G，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，为边延长线上一点，连接交对角线于点，过点作交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 6．（2025·浙江衢州·一模）如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为 ． 8．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 9．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）如图1，已知是正方形的边上一点，连接，延长至点，使，连接交于点． （1）若，则 ；（用含有的代数式表示） （2）如图2，连接交于点．若，则 ． 10．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，，连接，过点B作垂直于，垂足为O，交于点E，则 ． 11．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当平行四边形的面积为12时，直接写出的面积． 12．（24-25九年级下·全国·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 13．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，锐角中，，点分别在边上，． (1)在备用图中，利用尺规作图找到点的位置，使四边形是菱形．（保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上补全菱形，若cm，cm，求出的值． 14．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若正方形边长为4，，求的长． 15．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 16．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    17．（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）如图，E，F两点均在菱形的对角线上，射线交边于点G． (1)如图1，若． ①求证：． ②过点E作于点H，求证：． (2)如图2，射线交于点I，若，，，求的长． 18．（2025·江西上饶·模拟预测）追本溯源 题（1）来自于课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成后面的题目． (1)如图1，是一个正方形花园，、是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ (2)如图2，四边形是边长为3的正方形，当点、分别是与的中点时，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则______． (3)如图3，四边形是边长为3的正方形，点是延长线上一点，点是上一点．且，连接交的延长线于点，求的长． 19．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 20．（2025·广东江门·一模）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$