专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2025·浙江杭州·二模）如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． （2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 例2（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则（    ） A． B． C． D． 例3（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 例4（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，将直角沿射线折叠，使得点落在斜边上的点处，，，与折痕交于点，则的长为 ． 例5（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在菱形中，为延长线上一点，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 例6（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 例7（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 例8（2025·安徽安庆·三模）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为 ． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE= ． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．    6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8． （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求AC长． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 8．（2025九年级·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 10．（2025·安徽·三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．    12．（2024·山东泰安·三模）如图，矩形的边长为的中点，在边上，分别与相交于点 求证: 若， 求的长 13．（2025九年级·安徽·学业考试）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究直角三角形中的黄金分割 活动一：如图，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 15．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，作交边于点，点是边上一点，且满足，连接． (1)求证：； (2)点是边的中点，连接并延长交边于点，求证：． 16．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知：中，． (1)如图1，点D在的延长线上，点E在上，，与的交于点F，且． ①图1中是否存在与相等的角？如果存在，写出与相等的角，并写出简要的证明过程；如果不存在，请简述理由； ②求证：； (2)如图2，如果点D在线段上，点E在线段的延长线上，，的延长线与于点F，当，求的长（用含k的代数式表示）． 17．（24-25九年级上·福建福州·期末）将绕点 B顺时针旋转，点A的对应点为D，点C的对应点为E． (1)当点A，C，D三点共线时，如图1，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，如图1，若，， ，求的值． (3)当旋转角为，如图2，延长交于M，延长到N，使，连接交于F．试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 18．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知：四边形中，，，是的中点，在边上，且，与的交点为（如图）． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求证：． 19．（2025·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，，点是上一点，延长至点，使，连接交于点，连接、． (1)求证：； 求证：． (2)如图，连接，若，求的值． 20．（24-25八年级下·山东济南·期末）【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：； ②求的长． 21．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 22．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2025·浙江杭州·二模）如图，在等腰中，，D为中点，E在边上且． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度． （1）连接，由，D为中点，得，因为于点E，所以，证明，所以，则； （2）因为，，所以，由勾股定理得，由，求得． 【详解】（1）证明：连接， ，D为中点， ， 于点E， ， ， ， ， ； （2）解：，， ∴， ， ， ， ， ， 的长是． （2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．设，，由勾股定理得出，判定，推出，由和分别为的高和角平分线推出，判定，推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和分别为的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例2（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 例3（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程方程．设，由折叠的性质知，结合三角形内角和定理，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， 由折叠的性质知， ∴，，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， 故答案为：． 例4（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，将直角沿射线折叠，使得点落在斜边上的点处，，，与折痕交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠性质得，，运用勾股定理算出，再证明，把数值代入，得，运用勾股定理算出，最后由等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，将直角沿射线折叠，使得点落在斜边上的点处，，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴， 则， 即， ∴， 故答案为：． 例5（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在菱形中，为延长线上一点，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及菱形的性质． （1）根据菱形的性质可得，，从而得到，即可证出，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：， ， ， ， 解得：． 例6（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【详解】（1）证明：在和中，， ． （2）解：， ， ， 即， ， ． 例7（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 例8（2025·安徽安庆·三模）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）过点作交于点，如图，利用平行线分线段成比例定理， 由得到，由得到，则，所以； （）先证明，得到，则利用 ，，，得到，则，由于，所以，然后把与相加得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明： 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ，即， ∵， ∴，即， 得， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，三角形的外角性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ADB=45°， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到， ∴∠EAF=∠BAC=45°， ∴∠EAF=∠ADB=45°， ∵∠AEF=∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴EF·ED=AE2， ∵AE=4， ∴EF·ED=16， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】通过证 ，得到求出BF=2，，，进而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证CFD∽CAB，得到，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD ∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD ∴∠DBC=∠AED 如图，在BC上取点，使BF=AE 则在与中， ∴ ∴AE=BF=2，， ∴CF=BC-BF=8-2=6 ∵∠BAD=，∠DFC= ∴∠BAD=∠DFC 又∵∠C=∠C ∴CFD∽CAB ∴ ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠DFC ∴ ∵ ∴ ∴DF=FC=6，则AD=DF =6 ∴CA=6+CD 又∵CF=6，BC=8 ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到∠ABE=∠ACB，求得∠ABE=∠DBE，根据全等三角形的性质得到AE=DE，AB=BD，设AB=BD=AC=x，根据相似三角形的性质得到AH=8，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，再根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过A作AH⊥BC于H， ∵BF⊥AD， ∴∠ABE+∠BAD=90°， ∴∠BAD=90°-∠ABE， ∵∠BAD=90°-∠ACB， ∴∠ABE=∠ACB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABE=∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∵∠AEB=∠DEB=90°，BE=BE， ∴△ABE≌△DBE（ASA）， ∴AE=DE，AB=BD， 设AB=BD=AC=x， ∴BC=x+2，BH=CH=，DH=-2， ∵∠AHD=∠BED=90°，∠ADH=∠BDE， ∴△ADH∽△BDE， ∴， ∴， ∴x=10或x=-8（不符题意，舍去）, ∴AB=BD=AC=10，DH=4， ∴AH=8， 过C作CG⊥AD交AD的延长线于G， ∴∠G=∠AHD=90°， ∵∠ADH=∠CDG， ∴△ADH∽△CDG， ∴， ∴， ∴，， ∵EF⊥AD，DG⊥AD， ∴EF∥CG， ∴△AEF∽△AGC， ∴， ∴， 解得：EF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE= ． 【答案】6 【分析】由 ，且∠RAS=∠CAB，可证得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可证得△ARP∽△ACQ，，再由DE∥BC，可知，把BC的值代入可求得DE． 【详解】解：∵，且∠RAS=∠CAB， ∴△ARS∽△ACB， ∴∠ARS=∠ACB， 又∵AQ为角平分线， ∴∠BAP=CAQ， ∴△ARP∽△ACQ， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∵BC=9， ∴， ∴DE=6． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．    【答案】 【分析】取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，先证出四边形ABNM是正方形，利用SAS证出ABG≌AMH，再利用SAS证出AEG≌AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行证出AHM∽AFD，列出比例式即可求出结论． 【详解】解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，    ∵点M，点N是AD，BC的中点， ∴AM＝MD＝BN＝NC＝4， ∵AD∥BC， ∴四边形ABNM是平行四边形， ∵AB＝AM＝4， ∴四边形ABNM是菱形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABNM是正方形， ∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°， ∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH， ∴ABG≌AMH（SAS）， ∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH， ∵∠EAF＝45°， ∴∠MAH+∠BAE＝45°， ∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°， 又∵AG＝AH，AE＝AE ∴AEG≌AEH（SAS） ∴EH＝GE， ∴EH＝2+MH， 在Rt HEN中，EH2＝NH2+NE2， ∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4， ∴MH＝ ∵MN∥CD， ∴AHM∽AFD， ∴ ∴DF＝×＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质，此题难度较大，掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质是解决此题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8． （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求AC长． 【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由见详解；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后由∠B是公共角，问题可证； （2）由（1）可得，再由AD+AC=8可求解． 【详解】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下： AB＝2，BC＝4，BD＝1， ， ， 又∠B=∠B， △BAD∽△BCA； （2）由（1）得：，即， AD+AC=8， ，解得：， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE∽△ACD； （2）∵△ABE∽△ACD， ∴． 在△ADE和△ACB中， ∴△ADE∽△ACB ∴ ∴AD·BC=DE·AC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 8．（2025九年级·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）要证，可证，根据可得，即可证得； （2）根据，，可得到，从而求出相应的线段长度，得到的值； （3）根据，可得到，可求出的长，再根据已知条件证得即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：如解图，与交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如解图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∵，，， ∴，∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE•EF＝9． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC，由余角的性质可得∠EAB＝∠DAC，进而可得∠EAB＝∠C，进一步即可证得结论； （2）由（1）可得，进而可得AE2＝BE•CE＝9，易证△EAF∽△EDA，从而得，进一步即可求出结果． 【详解】解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC， ∴∠EAB＝∠C， ∵∠E＝∠E， ∴△BAE∽△ACE； （2）∵△BAE∽△ACE， ∴， ∴AE2＝BE•CE＝9， ∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E， ∴△EAF∽△EDA， ∴， ∴DE•EF＝AE2＝9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（2025·安徽·三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长； （2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证． 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②过作，与的延长线交于， ∵， ∴， ∴、和均为等腰三角形， ∴， ∵在等腰中，于， ∴，即， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．    【答案】 【分析】根据题意由锐角三角函数可求∠A=∠BCD，可证△ACD∽△CBD，即可求CD的长，由勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴且， ∴sin∠A=sin∠BCD， ∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°， ∴△ACD∽△CBD ∴， ∴CD2=BD•AD=4 ∴CD=2， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，根据题意求出CD的长是解答本题的关键． 12．（2024·山东泰安·三模）如图，矩形的边长为的中点，在边上，分别与相交于点 求证: 若， 求的长 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)由AD∥BF，可证得即可证得结论； (2)首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论． 【详解】(1) ∵AD∥BF， ∴∠ADN=∠FBN， 又∵∠AND=∠FNB， ∴， ∴， ∴； (2)过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2， ∵BF=2FC，BC=AD=3， ∴BF=AH=2，FC=HD=1， ∴AF=， ∵OH∥AE， ∴， ∴OH=AE=， ∴OF=FH-OH=2-=， ∵AE∥FO， ∴△AME∽FMO， ∴， ∴AM=AF=， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴， ∴AN=AF=， ∴MN=AN-AM=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键． 13．（2025九年级·安徽·学业考试）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②． 【分析】（1）根据∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，易得△ABD∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例即可求解. （2）①根据AE⊥AC，AF⊥BD，∠ABF＝∠C，易得△ABF∽△ECA，即可证得；②取CE的中点M，连接AM，在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C，由已知条件易得. 【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠ACB. 又∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴，即 ∴AD＝ （2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠EAC＝90°. 又∵∠ABF＝∠C， ∴△ABF∽△ECA， ∴∠BAF＝∠CEA. ∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE， ∴∠ABC＝∠EAP. ②如图，取CE的中点M，连接AM. 在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C. ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AME， ∴AM＝AB， ∴． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练证明三角形相似及利用相似三角形的性质求对应边、对应角是解题关键. 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）探究直角三角形中的黄金分割 活动一：如图，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】：活动一：见解析；活动二：见解析。 【分析】活动一：根据平行四边形的判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．过点作交于，过点作交于，则四边形即为所求． 活动二：先利用平行四边形的性质得到相关线段和角的关系，再结合相似三角形的判定和性质，以及黄金分割点的定义来证明． 【详解】活动一：解：如图，四边形为所求， 活动二：证明：四边形是平行四边形 ，， ∵ ∴， ∵是边上的高, ∴, ∴， ∴, 点是线段的黄金分割点 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、尺规作角、相似三角形的判定与性质以及黄金分割点的定义，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． 15．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，作交边于点，点是边上一点，且满足，连接． (1)求证：； (2)点是边的中点，连接并延长交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设交于点，根据已知条件，证明得出，进而证明，得出； （2）延长 到，使，连接，证明，证明，可得，证明，可得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，设交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，延长 到，使，连接 ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 由（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 16．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知：中，． (1)如图1，点D在的延长线上，点E在上，，与的交于点F，且． ①图1中是否存在与相等的角？如果存在，写出与相等的角，并写出简要的证明过程；如果不存在，请简述理由； ②求证：； (2)如图2，如果点D在线段上，点E在线段的延长线上，，的延长线与于点F，当，求的长（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)①，证明见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质即可解答；②如图1：过点E作，交于点G，要证，只需证，由可证到，只需证到即，即；再证明即可解决问题； （2）如图2：过点E作，交的延长线于点G，易证则，，即，再证，则有．由可得．从而可以求得．．易证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：①，证明如下： 证明：∵，， ∴，． ∴． ②如图1：过点E作，交于点G，则有． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2：过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴，解得：． ∴． ∵， ∴． ∴，即， 解得：． 17．（24-25九年级上·福建福州·期末）将绕点 B顺时针旋转，点A的对应点为D，点C的对应点为E． (1)当点A，C，D三点共线时，如图1，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，如图1，若，， ，求的值． (3)当旋转角为，如图2，延长交于M，延长到N，使，连接交于F．试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，证明三角形相似即可； （2）过C作于Q，根据， 得出，根据，  得出，证明， 得出，根据，得出， 即可得出结论； （3）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，得出，，证明是等边三角形，得出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：根据旋转可知：， ∴，，，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过C作于Q， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵。 ∴，    ∴而， ∴，   ∴； （3）解：．理由如下： 将线段绕点B逆时针旋转得到线段． ∵是由绕点B顺时针旋转得到，且点F在上， ∴点H在对应线段上，，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 18．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知：四边形中，，，是的中点，在边上，且，与的交点为（如图）． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）延长相交于点，可证，得到，设，，则，得到，进而由即可求解； （）取的中点，连接，可证四边形是矩形，再利用三角形中位线的性质证明四边形是矩形，得到，即可求解； （）连接并延长交的延长线于点，连接，由可得，即得，，即可证，得到，又由是的中位线，得到，即得，即得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图，延长相交于点， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）证明：连接并延长交的延长线于点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2025·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，，点是上一点，延长至点，使，连接交于点，连接、． (1)求证：； 求证：． (2)如图，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析；见解析 (2) 【分析】根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定定理得到； 根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质得到． 由知，是等边三角形，，求得，由知，得到，求得，得到，过作于，则，，根据直角三角形的性质得到，，设，则，，根据勾股定理得到，于是得到的值为． 本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ，， ， 在与中， ， ； ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解：由知，是等边三角形，， ， 由知， ， ， ， ， 过作于， 则，， ，， 设，则，， ， ， ． 20．（24-25八年级下·山东济南·期末）【问题情境】 在综合实践课上，老师给出如下问题： 如图1，在中，，，，点D在边上，，连接． （1）求的长； 【实践探究】 （2）如图2，过点C作，且，连接．判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，善于思考的小明同学发现，过点A作，垂足为H，交于点N，并求出了的长．请你完整地完成小明的解答过程： ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）依次证明，，根据相似三角形对应边成比例求出，再证，可得是等腰直角三角形． （3）①过点D作，垂足为点M，则，推出，得到，求得，即可求解；②证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，， ， ， ， ，， ， ， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：①过点D作，垂足为点M，则， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ； ②解：，由（2）可知， ，； ， ， 由（2）可知是等腰直角三角形，又， ， ， 又， ， ， 由（2）可知， ， ． 21．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 22．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得，结合，得,得，即得； （2）过点N作于点E，过点B作，使，连接，证明，得，，得，求出,可得平行四边形是正方形，得，，得四边形是平行四边形，得,得，即得； （3）在右侧作，使，连接，证明，得， ， 根据，，证明，得，可得，，得四边形是平行四边形，得，得，即得． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； （2）过点N作于点E，过点B作，使，连接， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∴； （3）在右侧作，使，连接， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M的速度为v，点N的速度为，Ｍ、N同时运动同时停止， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 【点睛】此题考查了等腰三角形综合问题，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形判定和性质，相似三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$