22.2 角平分线（第1课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线”核心内容，涵盖性质定理、逆定理及应用，通过折纸法、尺规作图回顾旧知，结合证明作图正确性过渡新课，构建从操作到推理的学习支架。 其亮点是以问题探究驱动数学思维，如证明作图、探究点性质发展推理能力，提升训练结合等边三角形旋转等综合题培养几何直观与应用意识，课堂小结结构化梳理知识。助力学生提升逻辑推理，方便教师实施分层教学。

第22章 直角三角形 22.2①角平分线 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 22.1 直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形全等的判定 角平分线定理 角平分线定理的逆定理 22.2 角平分线 勾股定理 勾股定理的逆定理 22.3 勾股定理 勾股定理及逆定理的应用 学习目标 经历探索角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念． 通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力． 掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明． 知识回顾 问题思考 角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.已知一个角，你能用找到它的平分线吗? 方法一 B A O 折纸法 知识回顾 问题思考 角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.已知一个角，你能用找到它的平分线吗? 方法二 尺规作图 （l）以点O为圆心、以任意长度α为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以DE 的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C; （3）作射线OC. 射线 OC 就是∠AOB 的平分线(图 22-2-2). 能证明你的作图方法吗？ 问题思考 证明角平分线作图的正确性. 新课讲授 问题探究 证明 如图22-2-3，连接 、。 在  和  中， ∴ 。 ∴ ∠COD = ∠COE， 在角平分线上任取一点具有什么性质？ 角平分线作图正确. 新课讲授 问题探究 问题思考 如图 OC 是 ∠AOB 的平分线，在 OC 上任取一个不与点 O 重合的点 P，过点 P 分别向 OA、OB 作垂线段，问：PE、PD具有什么数量关系？ PE=PD 证明： 因为 OC 是 ∠AOB 的平分线， 所以 ∠1 = ∠2。 因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°。 又因为 ∠1 = ∠2，∠PDO = ∠PEO，OP 为公共边， 所以 △PDO ≌ △PEO。由此推出 PD = PE。 你得到了什么结论？ 新课讲授 我归纳！ 角平分线定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 逆命题是真命题吗？ 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 新课讲授 问题探究 证明 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 如图22-2-5，已知： 为  内部一点，，，垂足分别为 、，。求证：点  在  的平分线上。 如何证明这个结论？ 新课讲授 问题探究 证明 已知： 为  内部一点，，，垂足分别为 、，。求证：点  在  的平分线上。 证明 如图22-2-6，作射线 。 因为 ，，所以 。 又因为 ， 为公共边， 根据直角三角形全等的判定定理， 得 。 由此推出 ，即  是  的平分线， 由此可见点  在  的平分线上。 逆命题正确. 新课讲授 我归纳！ 角平分线定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 角平分线定理的逆定理 学以致用 我会证！ 例1 已知:如图,点 P、D在∠AOB 的平分线上，OA=OB, PM⊥BD, PN⊥AD, 垂足分别是点 M、N.求证： PM=PN 证明∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOD 在△BOD和△AOD中， ∴ △BOD≌△AOD（SAS） ∴∠BDO=∠ADO ∴DO平分∠BDA， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM=PN 课堂小结 我总结！ 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 两距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段的长度相等. 判定定理 两相等：两条垂线段的长度相等; 两距离：点到角两边的距离； 一个点：角平分线上的点. 提升训练 我会证！ 提升1已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） (2)在图①中，①求证：；②______． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？②求证：点C落在的角平分线上． 【分析】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 提升训练 我会证！ 提升1已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） 【分析】（1）先得到，然后根据旋转的性质解答即可； （1）解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是绕点C顺时针旋转得到的； 提升训练 我会证！ 提升1已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (2)在图①中，①求证：；②______． 【分析】（2）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可；②根据，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答； （2）①证明：∵和为等边三角形， ∴，，，∴， 在和中，， ∴，∴； ②解：∵，∴， ∵，∴， 故答案为：； 提升训练 我会证！ 提升1已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时，①的度数会发生变化吗？请说明理由？②求证：点C落在的角平分线上． 【分析】（3）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可解题； ②连接，过点作于点，根据，得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可． （3）①解：的度数不会发生变化， ∵和为等边三角形，∴，，， ∴，∴， ∴，∵，∴， ②证明：连接，过点C作，于点H，G， ∵，∴，， ∴，∴平分．∴点C落在的角平分线上． 提升训练 我会证！ 提升2 如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 提升训练 我会证！ 提升2 如图，，，，，交于点H，连接(1)求证： ； 【分析】（1）由，利用，即可证明； （1）证明：，， 即， 在和中，， ； 提升训练 我会证！ 提升2 如图，，，，，交于点H，连接 (2)求；用含的式子表示(3)求证：平分 【分析】（2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 （2）解：，， 又，； （3）证明：过点C作于M，于N， ，，，平分 提升训练 我会证！ 提升3 如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 提升训练 我会证！ 提升3 如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； 【分析】（1）连接，作，证明是的平分线，三线合一得到垂直平分，得到，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数， （1）解：连接，作，∵，∴为等腰三角形， ∵、的平分线交于点，∴，，∴，∴是的平分线， ∴垂直平分，∴，∴为等腰三角形， ∵，∴， ∴，∴， ∴均为等腰三角形，； 综上：共有5个等腰三角形，； 提升训练 我会证！ 提升3 如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； 【分析】（2）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （2）解：∵、的平分线交于点，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 故共有2个等腰三角形，； 提升训练 我会证！ 提升3 如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【分析】（3）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，根据线段的和关系即可得出结论． （3）解：，理由如下： ∵的平分线与三角形外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 感谢聆听 $