专题04 一元一次方程的实际应用15大题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题04 一元一次方程的实际应用15大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、配套问题 1 题型二、工程问题 2 题型三、销售问题 3 题型四、比赛问题 5 题型五、方案选择问题 6 题型六、数字问题 8 题型七、几何问题 8 题型八、动点问题 8 题型九、和差倍分问题 9 题型十、水电费问题 11 题型十一、行程问题 11 题型十二、比例问题 11 题型十三、日历问题 11 题型十四、古代问题 11 题型十五、其他问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、配套问题 1．某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件，根据题意列式计算即可得出结果． 【详解】解：设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件， 根据题意得：， 故选：C． 2．明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，能制成个笔套， 根据题意可列方程为． 故答案为： ． 3．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【答案】(1)每天缝制的被套有个 (2)最终能组成套四件套 【分析】（1）先设缝制被套的工人数为未知数，根据工人 数和枕套、被套的配套关系列方程求解被套数 量； （2）每个枕套和每个被套均需1个拉链，故一套四件套（个床单，个被套，个枕套）需要三个拉链，设有套四件套，则需要个拉链，列不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每天安排名工人缝制被套，则安排名工人缝制枕套． 根据题意，得，解得， （个）． 故每天缝制的被套有个． （2）解：设最终能组成套四件套，根据题意，组成套四件套需要枕套个，被套个，床单个，拉链个.则有： ， 解得.故最终能组成套四件套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，认真审题，找准等量关系是解题的关键． 4．某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 题型二、工程问题 5．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 6．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 8．甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】(1)12 (2)5 【分析】(1)设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据“甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用天”列出方程，求出的值，即可求出两公司合作的天数； (2)设乙公司还需要天可以完成此工程，利用“甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量=工程总量”，可列出关于的一元一次方程，求出天数即可. 【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型三、销售问题 9．某商店销售一种电器，他们先将成本价提高后标价，后来又按照标价的八折优惠卖出，结果每销售一件该电器仍获得80元的利润，那么这种电器的成本价是多少元？ 【答案】2000 【分析】本题考查一元一次方程的应用，通过设未知数，根据题目中的条件逐步建立等式关系．先求出标价，再根据标价的八折得到售价，最后利用利润的公式列出方程求解．在解答过程中，对关键步骤进行了详细的解释，使整个过程逻辑连贯．从题目条件出发，运用数学运算准确地得出结果． 【详解】解：设这种电器的成本价是x元． 标价为：（元）， 售价为：（元）， 由利润为80元可得，解得， 故这种电器的成本价是2000元． 10．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x (1)设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； (2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 【答案】(1)见解析 (2)分配给甲店A型产品38件 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）设分配给乙店A型产品x件，结合甲乙两店需要的数量，A型产品40件，B型产品60件，再分别列式填表即可． （2）由两店的利润之和等于总利润，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x （2）解：， 解得， ∴分配给甲店A型产品为（件）， 答：分配给甲店A型产品38件． 11．某工厂生产一种产品，成本为30元/件，销售方式有两种：①直销，售价为50元/件，每月开销4500元；②批发，售价为40元/件两种方式均需缴纳销售金额的税款． (1)若采用方式①，每月至少要销售多少件才不亏本？ (2)每月销售多少件时，采用两种方式的利润相同？ 【答案】(1)每月至少要销售300件才不亏本． (2)每月销售500件时，采用两种方式的利润相同 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，解答时根据题目反应的等量关系建立方程是关键． （1）设每月要销件才不亏本，则销售额为元，成本为元，税款为元，由条件建立建立方程求出其解即可； （2）设每月销售件时采用两种方式的利润相同，分别表示出两种销售方式的利润，根据利润相同建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设每月至少要销售x件才不亏本． 由题意，得， 解得． 故每月至少要销售300件才不亏本． （2）解：设每月销售y件时，采用两种方式的利润相同． 由题意，得， 解得． 故每月销售500件时，采用两种方式的利润相同． 12．我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元，那么小明购买钢笔多少支？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋17个 (2)小明购买钢笔20支 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则原计划的费用为元，实际费用为元，根据实际比原计划节省17元建立方程求解即可； （2）设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支，根据打八折后的总费用为272元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个， 由题意得，， 解得， 答：小明原计划购买文具袋17个； （2）解：设小明购买钢笔m支，则购买签字笔支， 由题意得，， 解得， 答：小明购买钢笔20支． 题型四、比赛问题 13．表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 (3)n的值为2，5，12或26 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 14．（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 【答案】选：条；选：分，分，分，分 【分析】选：求出总的金鱼数量，再分种情况求出红色和白色金鱼的数量，若能被整除即可求解； 选：求出总的比赛场数，进而求出产生的总得分，再根据题意求出第一名、第二名、第三名的得分，最后根据方程求出第四名的得分即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：选，解答如下： （条）， ，不能被整除； ，，能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ∴黑色的金鱼有条； 选，解答如下： 由题意可得，总的比赛场数为场， ∴产生的总得分为分， ∵获得第一与第二的选手一次都没输过， ∴两人为平局， ∴第一名胜平局，得分最高，得分为分， ∴第二名得分次之且不败，其余局中最多为胜平，最高得分为分， ∴第三名最高得分为分， 设第四名得分为，则， 解得， ∴第四名得分为分， 答：从第一名到第四名，每个人的得分各自是分，分，分，分． 15．某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【答案】(1) (2)94 (3)他已作答了6道题 【分析】（1）从参赛者的得分可以求出答对一题和答错一题的得分和为分，由此可以用含的式子表示答错一题的得分； （2）从参赛者的得分入手，根据答对的得分+加上答错的得分=分建立方程求出其解，然后再求即可； （3）设参赛者已作答了道题，根据参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分列方程计算即可． 【详解】（1）解：由参赛者的得分情况可知：答对一题和答错一题的得分和为：（分）， 设答对1道题得分，则答错1道题的得分为分 ． （2）解：由参赛者的得分情况，得， 解得，则， 所以答对1道题得5分，答错1道题扣1分， 所以． （3）解：设参赛者已作答了道题． 根据题意，得，解得． 故他已作答了6道题． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)17道题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题的得分和每答错一道题的得分； （2）设答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，； （2）解：设答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得， 解得， 答：答对了17道题． 题型五、方案选择问题 17．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 18．又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 19．在新冠肺炎防疫工作中，某药店出售酒精与口罩，酒精每瓶定价元，口罩每个定价元，药店现开展促销活动，向大家提供两种优惠方案：买一瓶酒精送一个口罩；酒精和口罩都按定价的付款．小明为班级采购瓶酒精，个口罩． (1)若小明按方案购买，需付款______元（用含的代数式表示）；若小明按方案购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (2)购买多少个口罩时，方案和方案费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)， (2)90 (3)利用方案①购买30瓶酒精，利用方案②购买剩下的20个口罩，所需费用最少，；理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数混合运算的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意中的方案列出代数式即可； （2）参考（1）可直接建立一元一次方程进行求解； （3）根据题意分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：若小明按方案①购买， 需付款：元； 若小明按方案②购买， 需付款：元； 故答案为：，； （2）解：由题意可知， 解得：． 答：购买90个口罩时，方案①和方案②的费用相同； （3）解：当时， 选择方案①所需费用为：（元）， 选择方案②所需费用为：（元）， 当利用方案①购买30瓶酒精，利用方案②购买剩下的口罩， 则所需费用为：（元）． ， 利用方案①购买30瓶酒精，利用方案②购买剩下的20个口罩，所需费用最少． 20．牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 题型六、数字问题 21．数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键． （1）将代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可； （2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：当输入时，则， ，即输出． （2）解：由题意可得： 直接一次计算得到2：由题意可得，解得：； 经过一次循环后得到2，由题意可得：，解得：． 综上，a的可能值为或． 22．如图的幻方和是15， 问题： 下列三个图都是没有填完整的幻方． (1)如图（1），直接写出图中x，y值以及幻方和； (2)如图（2），将，，，，1，3，5，7，9等9个数填到幻方的方格中； (3)如图（3），已知三个数a，b，c，当时，代数式的值为，直接写出方格① 中填入的数字． 【答案】(1)，，幻方和为； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，列代数式及整式的加减，理解幻方每行，每列，每条对角线上的三个数之和都相等是解题的关键． （1）由第三列即可求得幻方和，由第一行、第三行即可求得x与y的值； （2）先求出幻方和为3，由于，故只要第二行第二列填上1，其它行列或对角线的数的和为3，即可完成； （3）当时，代数式的值为，则可得，设幻方和为n，①为数，则可以表示其它五个数，再根据对角线上的和为n，即可求解． 【详解】（1）由第三列，幻方和为， 而， ， ，， 故，，幻方和为； （2）幻方和为：, 幻方如下： 9 5 7 3 （3）当时，代数式的值为， 即， 设幻方和为n，①为数，则幻方如下： b a c 对角线上的和为：， 即， ， 即． 23．阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例. 例：将化成分数，解决方法如下. 设，即， 将方程两边都乘10，得，即. 又因为，所以，所以， 所以，所以. 任务： (1)请利用材料中给出的方法，把化成分数； (2)把化成分数为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握一元一次方程的解法． （）设，则，得出，解方程即可； （2）设，则，得出，解方程即可； 【详解】（1）解：设， 即． 将方程两边都乘10， 得． 即. 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴. （2）解：设， 即． 将方程两边都乘100， 得． 即. 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴. 故答案为：． 24．课本再现：填幻方“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中． (1)如图1，9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同，则和是___________； (2)如图2，将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现将分别表示其中的一个数，则___________；___________；___________； (3)如图3，将，8，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的加法应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，进行列式计算，即可作答． （2）观察图2，结合每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，进行列式计算，即可作答． （3）先运算出4个数字之和为，再列式，计算得，，又因为，解得，分别计算得出的值． 【详解】（1）解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同， ∴观察图中信息，， 即和是； （2）解：将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴它们的和为， 故， 解得， （3）解：依题意，设图中另两个空位置为，如图所示： ∵将，8，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等， ∴， 则横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为， ∴， 整理得， 解得； ∴， 解得， 则 解得， 当时，则，此时； 当时，则，此时； 题型七、几何问题 25．如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，那么雕塑的底面边长是多少？（设雕塑的底面边长为，只列方程不解答） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，结合草坪总面积为，列出方程即可． 【详解】解：设雕塑的底面边长为，由题意，得：． 故所列方程为． 26．某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 【答案】这张宣传纸的面积为 【分析】本题重点考查比例关系的实际应用与几何建模能力，准确理解题意并将实际问题转化为数学模型（特别是通过比例关系设未知数，并建立方程求解）是解题的关键． 设边空宽、字宽、字距分别为，，，根据宣纸的长为，列出方程求出的值，进而求出宣纸的宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设边空宽为，则字宽为，字距为， 根据题意得：，解得：， 所以． 答：这张宣纸的面积为． 27．已知a，b，c满足，数轴上点 A 对应的数为a，点B对应的数为b，长度为c的线段在数轴上移动，点D在点C右侧，设点C对应的数为x． (1) ______， ______， ______； (2)当点D移动到的中点时，求x的值； (3)若M为中点，N为中点， ①试探究与的数量关系； ②若，求x的值． 【答案】(1)；9；2 (2)2 (3)①②满足条件的x的值为15或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负性，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由非负性可求解； （2）由题意可得点D对应的数为，根据点D移动到的中点，列式计算即可求解； （3）①用x表示出M、N点表示的数，并求出长即可解决；②先求出，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：；9；2； （2）解：设点C对应的数为x，点D在点C右侧， ∵， ∴点D对应的数为， ∵点D移动到的中点时， ∴， 解得； （3）解：①∵M为中点，N为中点， ∴M点表示的数是，N点表示的数是， ∴， ∵， ∴； ②由题意可得：点C对应的数为x，点D对应的数为，点B对应的数为9， ∴， ∵，， ∴， ∴解得或； 综上，满足条件的x的值为15或． 28．如图，在长方形中，．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时， _______． (3)设的面积为S，试用含t的代数式表示的面积S． (4)作点Q关于点D的中心对称点，直接写出的面积是面积的时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ； （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）当时，，， ． 当时，，， ． 综上可知，； （4）当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：． 综上，的面积是面积的时的值为或． 题型八、动点问题 29．数轴上点 A、B、C、D 对应的数为，其中： 是最大的负整数； 满足 ，且 (1)求 的值； (2)点A 以每秒 3 单位向左运动，点 C 以每秒 5 单位向左运动，求当 A、C 距离为 11 时，运动时间； 【答案】(1) (2)10秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题． （1）根据题意结合平方绝对值的非负性可求出a、b、c，进而可求出d； （2）运动t秒后点A表示的数为，点C表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可． 【详解】（1）解：∵ 是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又， ∴； （2）解：运动秒后：A表示的数为，C表示的数为， 根据题意，得， 即或， 解得 或（舍）， 故运动时间10秒． 30．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问：经过多少秒，点P追上点Q？ 【答案】(1)；1 (2)经过2.5秒，点P追上点Q 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到的中点时，它所表示的数； （2）根据题意，得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， ∴得B点表示的数为， 当点P运动到的中点时，它所表示的数为1． 故答案为：；1； （2）解：根据题意，得：， 解得， 答：经过2.5秒，点P追上点Q． 31．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M、N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是____________，A、C两点之间的距离是____________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点运动的时间为秒． ①当点M、N相遇时，求的值； ②当点M、N相距4个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)3；9 (2) (3)①；②或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．理解数轴上两点间距离可以用这两点在数轴上所对应的数的差的绝对值来表示是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）①当点M、N相遇时，点M、N走过的路程之和为A、C两点之间的距离，据此列方程求解即可； ②先根据题意得点表示的数为，点表示的数为，当点M、N相距4个单位长度时，则，解方程即可． 【详解】（1）解：点A到原点的距离是：， A，C两点之间的距离是：， 故答案为：3，9； （2）解：由题意得：点B表示的数是， 点P的运动路程为：个单位长度， 此时点P表示的数为：， 即点P表示的数是； （3）解：①根据题意得：， 解得， 即当点M、N相遇时，求的值为； ②点表示的数为，点表示的数为， ∵点M、N相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 即当点M、N相距4个单位长度时，的值为或1． 32．点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，______是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是______（用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 【答案】（1）点A；（2）①见解析；②或；（3）或5 【分析】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出两点的距离，再根据伙伴点的定义判断即可； （2）①分类讨论，点在之间，点在点的右侧，画出图形即可； ②根据①的图形结合，分类讨论，列式求解即可； （3）由题意得点A表示的数为，点O表示的数为，点D表示的数为，分当点O在点A和点D之间和当点D在点A和点O之间时，两种情况讨论，． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴点A是【C，O】的伙伴点； ∵，， ∴， ∴点B不是【C，O】的伙伴点； ∵，， ∴， ∴点D不是【C，O】的伙伴点； 故答案为：点A； （2）①根据点P是【E，F】的伙伴点的定义得， 如图，点和是所作的点； ②设点P表示的数分别为x， 若点，F表示的数分别为e，f，且， ∴，解得； 若点，F表示的数分别为e，f，且， ∴，解得； 综上，点P表示的数是或； 故答案为：或； （3）由题意得点A表示的数为，点O表示的数为，点D表示的数为， 当点O在点A和点D之间时，且， ∴， 解得； 当点D在点A和点O之间时，且， ∴， 解得； 综上，t的值为或5． 题型九、和差倍分问题 33．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 【答案】甲班植树棵数为，乙班植树棵数为 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． 设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为，由甲班和乙班共植树31棵，列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 则乙班植树棵数为， 答：甲班植树棵数为，乙班植树棵数为． 34．有一泳池，第一次放出全部水的，第二次放出36立方米的水，第三次放出剩下水的，此时泳池里还剩下36立方米的水．泳池原来有多少立方米的水？ 【答案】泳池原来有120立方米的水． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设泳池原来有立方米的水，根据三次放出的水加上剩下的水列方程计算即可． 【详解】解：设泳池原来有立方米的水 ， 解得：． 答：泳池原来有120立方米的水． 35．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是岁，则称为“百岁父子”．已知父亲岁时，儿子岁，现在父亲是儿子年龄的倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【答案】(1)现在父亲岁 (2)再过年，父子两人可以称为“百岁父子” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）设现在儿子岁，则现在父亲岁，根据“父亲和儿子的年龄差不变”列出方程式，解方程求解即可； （2）设再过年，父子两人可以称为“百岁父子”，根据“父子两人的年龄加起来是岁”列出方程式，解方程求解． 【详解】（1）解：设现在儿子岁，则现在父亲岁， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：现在父亲岁． （2）解：设再过年，父子两人可以称为“百岁父子”，即父子两人年龄和为岁， 则， 解得． 答：再过年，父子两人可以称为“百岁父子”． 36．于都三中教学质量的稳步提高，学校不断发展壮大．学校食堂的早餐供应面食．已知4名一级面点师每十分钟可做4笼馒头还多32个；5名二级面点师每十分钟可做馒头6笼少30个．已知十分钟内每位一级面点师比二级面点师多做5个馒头．每笼馒头有几个？ 【答案】每笼馒头有45个 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是表示出一级及二级面点师每十分钟可做的馒头数，然后根据题意得出方程． 设每笼馒头有个，然后表示出一级面点师每十分钟可做：个，二级面点师每十分钟可做馒头：个，根据题意得出方程，解出即可． 【详解】解：设每笼馒头有x个， 则根据题意可得：一级面点师每十分钟可做：个，二级面点师每十分钟可做馒头：个， 又 ∵十分钟内每位一级面点师比二级面点师多做 5 个馒头， ， 解得：个． 答：每笼馒头有45个． 题型十、水电费问题 37．为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 38．某校七年级数学兴趣小组为了解本市居民执行阶梯电价前后电费缴纳情况，利用课余时间收集素材，探索完成任务． 电费缴纳 素材1 不执行阶梯电价 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 素材2 为在节能减排的同时考虑惠民利民，该市居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月（含5月和10月）执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 执行阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 第二档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.65 第三档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.9 问题解决 任务1 若某用户5月份的用电量为520千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需多缴纳多少电费？ 任务2 若某用户5月份的用电量为千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需缴纳多少电费（用含x的代数式表示）？ 任务3 执行阶梯电价后，若某用户5月份的用电量为520千瓦时，且4月份与5月份的电费恰好相同，则该用户4月份比5月份的实际用电量少多少千瓦时（精确到0.1）？ 【答案】任务1：执行阶梯电价比不执行阶梯电价需多缴纳13元；任务2：当时，电费为元；当时，电费为元；任务3： 4月份比5月份实际用电量少用36.7千瓦时 【分析】本题主要考查了 任务1：根据题干条件分别算出不执行阶梯电价和执行阶梯电价，进而即可得解； 任务2：分两阶梯讨论，用电量在第一档（）和第二档（），具体求解即可； 任务3：设4月份用了千瓦时，由题可得，，解方程即可． 【详解】解：任务1：不执行阶梯电价：（元， 执行阶梯电价：（元； 所以执行阶梯电价比不执行阶梯电价需多缴纳（元； 任务2：当时，电费为； 当时，电费为； 任务3：设4月份用了千瓦时，由题可得， ， 化简得：， 解得：， 所以4月份比5月份实际电量少用（千瓦时）． 39．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【答案】(1)小华家5月份的用电量是度 (2)当时，小华家该月用电量属于第一档；当时，小华家该月用电量属于第二档；当时，小华家该月用电量属于第三档． 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示用电量在某一档时的电费是解题的关键． （1）先计算出用电度和用电度的电费分别为元和元，可知小华家月份的用电量大于度而小于度，设小华家月份的用电量是度，可列方程，解方程求出的值即可； （2）由（1）可知，，则该月用电量为第一档；，则该月用电量为第二档；，则该月用电量属于第三档，由此即可确定小华家该月用电量属于第几档． 【详解】（1）解：元，元， 用电度和用电度的电费分别为元和元， ， 小华家月份的用电量大于度而小于度， 设小华家月份的用电量是度， 根据题意得， 解得， 答：小华家月份的用电量是度． （2）由（1）可知，当时，小华家该月用电量属于第一档； 当时，小华家该月用电量属于第二档； 当时，小华家该月用电量属于第三档． 40．阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费． 月用水量不超过40时，按2.4元/计费； 月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费． (1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？ (2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？ 【答案】(1)他家应交135元水费 (2)王林家十月份的用水量为70立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，水费问题，以及有理数混合运算的实际应用． （1）根据题意计算出九月份的用水费用即可； （2）设王林家十月份的用水量为x立方米，根据题意列出关于x 的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． 答：他家应交135元水费； （2）解：设王林家十月份的用水量为x立方米， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：王林家十月份的用水量为70立方米． 题型十一、行程问题 41．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【答案】A、B两站相距558千米 【分析】本题考查的是方程的应用，设快车速度为， 则慢车速度为， 设相遇时快车走了t小时，根据相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米列方程求出，再列算式求出结论． 【详解】解：设快车速度为，则慢车速度为， 设相遇时快车走了t小时， 相遇时快车走的总路程为；相遇时慢车走的总路程为， 由题意得： 解得：， ∴总路程为相遇时快车与B站的距离加上慢车与A站的距离， 即 ， 答：A、B两站相距558千米． 42．一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米． (1)求A，B两地之间的距离； (2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)105千米 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，解方程． （1）设A、B两地之间的距离为x千米，根据货车速度匀速行驶列方程，解方程即可； （2）根据路程与时间和速度的关系，列出m的一元一次方程，解方程即可， 【详解】（1）解：设A，B两地之间的距离为x千米，根据题意得：，解得：． 答：A，B两地之间的距离为105千米； （2）解：货车的速度为（千米/小时）． 当两车在距C地60千米相遇时，， 解得：； 当两车在距C地30千米相遇时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 43．一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【答案】学校到部队的路程是13千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程． 设学校到部队的路程是x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设学校到部队的路程是x千米， 根据题意得：， 解得， 答：学校到部队的路程是13千米． 44．如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：． (1) ； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 【答案】(1) (2)①或（k为任意整数） ②t的所有可能取值为或或或 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； （2）①设M在跑道上对应的有理数为x，根据“友谊点”的定义，分两种情况列出一元一次方程求解即可； ②设点与O点对称，根据“友谊点”的定义，分Q点过点前和Q点过点后两种情况，列出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由，可知， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①设M在跑道上对应的有理数为x，则， 根据定义，可得或， 可列方程为或， 解得：或， 由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动， ∴x可加上任意n圈， 故M在跑道上对应的有理数为：或（k为任意整数）． ②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动， 同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动． 根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时， OQ必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，点与O点对称． 由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形： Ⅰ：Q点过点前； Ⅱ：Q点过点后． 先讨论Ⅰ情形： 由题意可得， 此时， 所以， 则． ∴当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 再讨论Ⅱ情形： 此时P点已第一次过O点， ∴， ∴， 当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：． 综上所述：t的所有可能取值为或或或． 题型十二、比例问题 45．某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【答案】(1)C (2)三个体育社团的总人数为95人 【分析】本题考查了一元一次方程解应用题，解题的关键是理解题意，找出数量之间的关系． （1）由题意可知：篮球社人数最多，进而可知篮球社人数所占比例最多、比足球社人数多，可得答案； （2）设三个体育社团总人数为x人，列方程，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：篮球社人数最多， 所以篮球社人数所占比例最多，比足球社人数多， 所以选项A、B错误，选项C正确； （2）设三个体育社团总人数为x人，由题意可得： 解这个方程得：， 所以三个体育社团的总人数为95人． 46．在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 【答案】(1)参加街道清冰雪劳动的有人； (2)参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次方程的实际应用，解题关键是根据题意，找准等量关系，列出正确的方程式． （1）根据分式乘法的运算，用总人数乘以街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的分率即可求解； （2）设参加街道的清冰雪劳动有人，参加街道清冰雪的人数为人，由（1）可得参加街道清冰雪劳动的为人，根据总数为人列方程，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 答：参加街道清冰雪劳动的有人； （2）解：设参加街道的清冰雪劳动有人，那么参加街道清冰雪的人数为人， ， 解得，， ， 答：参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 47．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 48．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 题型十三、日历问题 49．（1）在某年6月的月历表（如图①）中，任意圈出一坚列相邻的三个数．设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_________； （2）现将连续自然数1至2023按图②所示的方式排列，用一个长方形框出16个数． ①图中框出的这16个数的和是_________； ②用该长方形框出的16个数之和能否分别等于2000，2020，2080？若不能，试说明理由；若能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数． 【答案】（1）（2）①；②用该长方形框出的个数之和能等于，且最小数为，最大数为；该长方形框出的个数之和不能等于，也不能等于，理由见解析 【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是，则上面的数是，下面的数是； （2）①求出每行的数字之和，再求和即可；②设最小的数是，求出个数字的和为，令其结果等于，看计算出的的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就说明不存在，同理分析是否能为，． 【详解】解：（1）若中间的数是，那么上面的数是，下面的数是， 故这三个数（从小到大排列）分别是，，， 故答案为：； （2）①个数中， 第一行的四个数之和是：， 第二行的四个数之和是：， 第三行的四个数之和是：， 第四行的四个数之和是：， 于是个数之和为：， 故图中框出的这个数之和是． 故答案为：； ②设框出的第一个数为（为正整数）， 则框出的16个数分别为，，，，，，，，，，，，，，，， 它们的和为（为正整数）． 若，此时，且这个数中，最小数为， 则框出的第行的个数应为． 因为， 所以这个数在同一行．故用该长方形框出的个数之和能等于，且最小数为，最大数为； 若，则此时不为整数． 故用该长方形框出的个数之和不能等于； 若，此时，且这个数中，最小数为， 则框出的第行的个数应为． 因为， 所以框出的第行的这个数不在同一行． 故用该长方形框出的个数之和不能等于． 【点睛】本题考查了一元一次方程有关数学规律问题的应用，解题的关键是在日历中找出题中的数量关系． 50．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 【答案】(1)横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，竖列上的相邻两数之间的关系为：下一列的数与上一列的数的差是； (2)这三个数分别是、、 (3)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出日历中的规律是解题的关键． （1）观察日历即可求解； （2）设中间的数为，则有，即可求解； （3）设最左上角的数为，则有，即可求解． 【详解】（1）解：横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为， 竖列上的相邻两数之间的关系为：下面一行的数与上面一行的数的差是； （2）解：设中间的数为，则有 ， 解得， 所以， ， 故这三个数分别是、、； （3）解：不能； 理由如下： 设最左上角的数为，则有 ， 解得， 所以，，， 所以四个数分别是、、、， 由日历得与不在同一列，与不在同一列， 故不能用一个正方形圈出四个数，这四个数的和不能等于60． 51．如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)没有可能和为，见解析 【分析】本题考查了求平均数，一元一次方程的应用． （1）求出图中“中”字框框住的七个数字的平均值即可； （2）设中心为数字，根据上下相邻的数：上面的数比下面的数小，左右相邻的数：左边的数比右边的数小，根据特点写出个数，再列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：图中“中”字框框住的七个数字的平均值为． （2）解：设中心为数字，则“中”字的数字为，，，，，，， 解得， ，位于倒数第二列（行）， 由于至少为倒数第列，故没有可能和为． 52．观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 【答案】(1)上下相差，左右相差 (2)小强一家是号外出 (3)能，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出数字排列规律． （1）通过观察发现：上下相差；左右相差； （2）由已知直接表示出这个数和等于，即可求出； （3）分别表示出这个数，根据这个数的和是，得出方程，解出的值后判断即可． 【详解】（1）解：由图形可得：上下相差，左右相差； （2）解：设小强一家号外出， 由题意得：， 解得：， 答：小强一家是号外出； （3）解：设最中间的一个数为， 则这九个数可表示为：，，，，，，，，， 由题意得，， 解得：， 这个数的和可能是，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28． 题型十四、古代问题 53．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 54．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 【答案】60人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 55．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【答案】壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 56．一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线（斜线）的几个数之和都相等，具有这种性质的图表称为“幻方”，我国古代称之为“河图”、“洛书”，又称为“纵横图”，后来演化成一种竞赛项目——数独．在最强大脑的数独比赛上，12岁的胡宇轩代表中国队战胜日本世界冠军，后被北京大学录取．下面让我们也来试试幻方游戏吧． 9 2 3 7 8 6 4 0 3 1 (1)请将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (2)类比第（1）问请尝试将，，，，0，1，2，3，4分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (3)老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设左上角的数为，最中间的数为，第三行第二列的数为，根据题意可得，解方程即可； （2）设表格中空白部分数字为，如图，由题意得， 解得：，则，那么根据题意得，再解方程即可； （3）由于这八个数之和是4，所以需要满足两个圈的和是2，横竖的和也是2，列等式可得结论. 【详解】（1）解：如图，设左上角的数为，最中间的数为，第三行第二列的数为 9 2 3 7 8 6 由题意得：， 解得，，， 故填表为： 9 2 3 7 8 6 （2）解：设表格中空白部分数字为，如图： 4 0 3 1 由题意得， 解得： ∴， ∴， 解得：，，， 故填表为： 4 0 3 1 （3）解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为． 因为， 横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，， 所以横、竖以及内外两圈的和都是2． 由，得． 由，得． 又因为，所以． 由题意可知，和代表的数为和2． 当时，， 当时，. 故答案为：或． 题型十五、其他问题 57．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 … (2)第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有多少个？ (3)若第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多45个，求n的值．（用含n的代数式表示） 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 7 10 … 【答案】(1)见解析 (2)1607个 (3)19 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出一般变化规律是解题的关键． （1）根据图形，得出结论，灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出各个数据即可； （2）根据（1）中的规律，分别算出第200个图形中的灰色方块数和第202个图形中的白色方块数，再相加即可； （3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数和第个图形中的白色方块数，再相减列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第2个图形中白色方块数为（个）， 第3个图形中白色方块数为（个）， 第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个， 补全表格为： 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 7 10 … （2）第200个图形中的灰色方块有（个）， 第个图形中的白色方块有（个）． （个）． 答：第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有1607个； （3）第个图形中的灰色方块有个， 第个图形中的白色方块有个， 根据题意得， 解得． 58．【新知探索】观察下列运算：，；，；，． 【类比归纳】类比我们学习的有理数的运算法则的过程，归纳出“”运算法则：两数进行“”运算时，同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的_______． 【新知内化】计算：=_______． 【思维拓展】计算：． 【自主建构】当整数、满足时，求的值． 【答案】【类比归纳】正；负；相加；相反数；【新知内化】；【思维拓展】5050；【自主建构】或 【分析】本题考查定义新运算、解一元一次方程： （1）【类比归纳】观察题干找出规律即可填空； （2）【新知内化】根据【类比归纳】中规律进行计算即可； （3）【思维拓展】根据【类比归纳】中规律去掉“”，用倒序相加的方法可求的结果； （4）【自主建构】根据结果为负可知和的运算结果异号，由此可分四种情况讨论即可：①m、n同正号；②m、n同负号；③，；④，． 【详解】解：（1）【类比归纳】根据【新知探索】给出的计算规则可知：两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的相反数， 故答案为：正；负；相加；相反数； （2）【新知内化】， 故答案为：； （3）【思维拓展】， 设， 则， ①②，得 ∴； （4）【自主建构】∵， ∴和的运算结果异号， ①当同正号时， ， 则， ∵、为整数，， ∴或， ∴或， ∴或3； ②当同负号时， ∴或， ∴或， ∴或3； ③当时，， ，， ∴； ④当时，， ，， ∴； 综上所述，或． 59．对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．如在2，3，5中，因为对于在这组数中；对于在这组数中；对于在这组数中，所以2，3，5这组有理数是“好数组”， (1)1，2，3，5_______“好数组”；1，2，3，4，5_______“好数组”．（填“是”或“不是”） (2)若2，4，8，x是“好数组”，求出的值； (3)若含60的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组” 【答案】(1)不是；是 (2)6或10或12或16 (3)12，24，36，48，60或15，30，45，60，75或20，40，60，80，100或30，60，90，120，150或60，120，180，240，300 【分析】（1）根据新定义分析，分别求两数的和以及两数的绝对值的差，判断其结果在不在这组数中，即可求解； （2）根据题意将4个数列表，得出的所有可能，根据新定义进行判断，列出方程，即可求解． （3）根根据（1）（2）可得间距相等的3个数或4个数都是“好数组”，猜测间距相等的5个数是“好数组”若含的个正有理数是“好数组”， 设这个数分别为，a为正有理数，根据新定义进行检验，最后分别当为60时，求得这组数，即可求解． 【详解】（1）解：在1，2，3，5中， ∵都不在1，2，3，5中， ∴1，2，3，5不是“好数组”； 在1，2，3，4，5中， ∵对于1，2，，3在这组数中； 对于1，3，，4在这组数中； 对于1，4，，5在这组数中； 对于1，5，，4在这组数中； 对于在这组数中； 对于2，4，，2在这组数中； 对于在这组数中； 对于3，4，，1在这组数中； 对于在这组数中， 对于4，5，，1在这组数中； 所以1，2，3，4，5这组有理数是“好数组”， 故答案为：不是；是 （2）解：在2，4，8中， ∵， ∴2，4，8是“好数组”， 将2，4，8，x两两组合，列表如下， 2 4 8 x为正数 2 2或6 10或6 或 4 4或12（舍去） 或 8 或 x ∵2，4，8，x是“好数组”， ∴或4或8或x， 解得：（舍去）或2（舍去）或6； 或4或8或x， 解得：或10（0，4和负值舍去）； 或4或8或x，此时x的值均符合题意，舍去； 或4或8或x， 解得：或12（0，2，4，8和负值舍去）； 或4或8或x，此时x的值均符合题意，舍去； 或4或8或x， 解得：或12或16（0，2，4，8和负值舍去）； 综上所述，的值为6或10或12或16； （3）解：根据（1）（2）可得间距相等的3个数或4个数都是“好数组”，猜测间距相等的5个数是“好数组”若含的个正有理数是“好数组”， 设这个数分别为，a为正有理数， 对于，a在中，同理对于，在中， 对于，在中，同理对于，在中， 对于，在中，同理对于，在中， 对于，在中， ∴是“好数组”， 若，这五个正有理数组成的“好数组”为12，24，36，48，60； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为15，30，45，60，75； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为20，40，60，80，100； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为30，60，90，120，150； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为60，120，180，240，300； 综上所述，所有符合条件的“好数组”为12，24，36，48，60或15，30，45，60，75或20，40，60，80，100或30，60，90，120，150或60，120，180，240，300． 【点睛】本题考查了代数式求值，规律探究，解一元一次方程，找到规律是解题的关键． 60．“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如下优惠计费规则（设乘车里程为a公里）： 计 费 项 目 起步费 里程费 高速路费 含起步里 程3公里 的部分 的部分 的部分 （超过3公里的部分一个价） 按照实际产生计入 费用 5元 1.2元/公里 1元/公里 0.8元/公里 0.9元/公里 打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元，如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：元．小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：元． (1)若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元． ①当时，小黄应付车费_____元；（用含a，b的式子表示并化简） ②当时，小黄应付车费_____元． (2)甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？ 【答案】(1)①；②33.4 (2)48 【分析】本题考查列代数式、列一元一次方程解应用题： （1）①由题可知车费为：，化简即可得到答案；②将代入①中求出的式子求解即可； （2）设甲的里程为x公里，乙的里程为公里，分、、三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①当时，小黄应付车费为（元）； 故答案为：； ②时， 小黄应付车费（元）， 故答案为：33.4； （2）解：若乘车里程数a：， 则前30公里费用为（元）． 设甲的里程为x公里，则乙的里程为公里， 当时， ， 该方程无解； 当时， ， 解得； 当时， ， 方程无解； 综上，甲的乘车里程是48公里． 61．小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，设输入的结果是，由题意可得，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设输入的结果是， 由题意可得，， 解得 ∴输入的结果是， 故选：． 62．如图，这是年3月份的月历表，用框数器“”框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设中间数字为x，表示出其余4个数，再得到5个数字之和，最后代入答案得到数字结合日历表判断即可得到答案． 【详解】解：设中间数字为x，则其余数字为，，，， 5个数字和为：， 当时，，此时月历表可以框出这5个数，符合题意，故这5个数的和可能是， 当时，，此时月历表可以框出这5个数，符合题意，故这5个数的和可能是， 当时，，此时月历表可以框出这5个数，符合题意，故这5个数的和可能是， 当时，，此时月历表不能框出这5个数，不符合题意，故这5个数的和不可能是， 故选：D． 63．如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设圆柱水桶的底面积为S，液面从图2的再上升，再根据水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积列方程求解即可 【详解】解：设圆柱水桶的底面积为S，根据题意得，正方体铁块的体积为， 而水上升的体积为， ∴， 图3中，再叠放一个相同的正方体（总铁块高度）， 设液面从图2的再上升， ∴此时液面总高度为（且，铁块未完全露出）， ∴两个正方体浸入水中的总体积为， ∴水和浸入铁块的总体积（圆柱体积）为； 根据题意得，原来图1的水体积为， 根据“水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积”，列方程： ， ∴液面会再上升， 故选B． 64．商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（   ）件衬衫． A．180 B．200 C．240 D．300 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件，根据商店一共获利2300元列出一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：， 设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则第二次售出件， 根据题意可知： ， 整理得：， 解得：， 答：商店一共进了200件衬衫． 故选：B 65．2020年下半年，某市降水偏少，饮用水告急，市供水公司在一段时间内实施限制性供水，限制性供水会出现三种情况：①白天停水，晚上供水；②白天供水，晚上停水；③全天低压供水．小明记得在这段时间内共有6个晚上有水，7个白天有水，有9天出现了（白天或晚上）停水，这段限制性供水时间共持续了（   ） A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（天数计算问题），解题的关键是设总持续天数为未知数，利用“停水天数=白天停水天数+晚上停水天数”的关系建立方程，其中白天停水天数=总天数-白天有水天数，晚上停水天数=总天数-晚上有水天数． 设限制性供水总持续天数为，用表示白天停水天数（）和晚上停水天数（）；根据“总停水天数为9”列方程；求解方程得到，再对应选项确定答案． 【详解】解：设这段限制性供水时间共持续了天， ∵白天停水天数为，白天有水天数为7， ∴白天停水天数为； ∵晚上停水天数为，晚上有水天数为6， ∴晚上停水天数为； 又∵总停水天数为9，且停水包括白天停水和晚上停水， ∴列方程：， 化简方程：． 故选：C． 66．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 【答案】18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲做了天，则乙做了天，根据题意可求出甲和乙的工作效率，再把工作总量看作单位“1”，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程求解即可． 【详解】解：设甲做了天，则乙做了天． 由题意得， 答：甲做了18天． 67．一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这个一位数为x，则这个两位数为，根据前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78建立方程求解即可． 【详解】解：设这个一位数为x，则这个两位数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个两位数是11， 故答案为：11． 68．已知滑块沿滑槽从点向点运动，到达点会有一个短暂停留，然后滑块又从点运动到点．已知滑块长度为，某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动；当滑块右端点到达点时停顿，然后再以小于的速度匀速返回．设时间为时，．由点向点运动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，从点到点与点到点整个过程总用时（含停顿时间）．在整个往返过程中，若，则的值是 ． 【答案】6或20 【分析】设，根据题意得出方程，求出，再求出往返的时间，再分情况讨论，得出相应的一元一次方程，即可解答． 本题考查一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法．根据题意得出方程是关键． 【详解】解：设， 则， 则； 则从到需要：， 则从到的速度为：， 当从到时，，则； 当从到时，，则，则总时间为 即或时，． 故答案为：6或20. 69．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为公里与公里，若下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车实际里程计算；时长费按行车实际时间计算；远途费收取方式：行车里程10公里以内含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收元． 【答案】24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这两辆滴滴快车的行车时间相差x分钟，根据这两辆滴滴快车的里程费之差与远途费之差的和这两辆滴滴快车的时长费之差，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设这两辆滴滴快车的行车时间相差x分钟， 根据题意得：， 解得：， 这两辆滴滴快车的行车时间相差24分钟． 故答案为：． 70．如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题．设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵点，到点的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或 71．某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 【答案】分配8名工人生产螺栓 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确得出等量关系列出方程是解答的关键． 设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， 所以可得，解得， 答：分配8名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 72．用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？ 【答案】B种长方形纸板的面积为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是观察图形正确列出方程．设B种长方形的宽为，从图形构造知B种长方形的长比宽多三个A种长方形的宽，从而得B种长方形的长，由大正方形的边长为B种长方形的长与宽之和得正方形的边长，最后根据正方形的周长公式列出方程便可求解． 【详解】解：设B种长方形的宽为，则长为，根据题意得， ， 解得， ∴B种长方形纸板的面积为：， 答：B种长方形纸板的面积为． 73．在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 74．数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ________， ________，线段________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点C在线段上，动点P从点C出发，以3个单位长度/秒速度由C向B的方向运动；同一时刻，另一动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒速度向正方向运动，设动点P的运动时间为t秒 ，当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，求此时t的值． 【答案】(1)；15；24 (2)或 (3)13或5 【分析】（1）根据绝对值的非负性分别求出a，b，再根据数轴上两点之间的距离列式计算即可； （2）设点C表示的数为x，分别表示出和，根据，得到方程，解之即可； （3）首先判断点C表示的数，根据题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据两点之间距离为8个单位长度，列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵数轴上两点A，B对应的数分别为a，b， ∴ 故答案为：；15；24 （2）解：设C点表示的数是x， 当点C在点A的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点C在点A，B之间时，此时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，C点表示的数是或； （3）解：由（2）得：C点表示的数是， 根据题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵动点P、Q两点相距为8个单位长度， ∴或， 解得：或， 即当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，此时t的值为13或5． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，数形结合． 75．根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为 的“磁悬浮”轨道架，如图，轨道架上安置了三个大小和质量完全相同的钢球A，B，C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A，B两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为__________，右挡板E表示的数为_________； 任务2 在碰撞实验中，从原点开始计时，若A球以每秒 的速度向右匀速运动，请回答下列问题： ①B球第一次撞向右挡板E的时间为_______秒； ②C球第一次撞向左挡板D的时间为_______秒； ③B球第二次撞向右挡板E的时间为_______秒． 任务3 在任务1，任务2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时；C球在数轴上表示的数是__________． 【答案】任务1：；70；任务2：7；25；43；任务3：    【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是要求一个点所表示的数，首先要分析它的符号． （1）易得出的距离，根据点A为原点，可得点C表示的数；进而根据之间的距离可得点E表示的数； （2）根据路程 速度时间进行计算； （3）根据左挡板表示的数为，由，得C球离左挡板的距离为，即可求解. 【详解】解：任务1：∵A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40， ， ∴ 则C球表示的数为 ，右挡板E表示的数为70； 故答案为：；70 任务2：①（秒） ②（秒） ③（秒） 故答案为：7；25；43 任务3：∵（） ∵左挡板在数轴的负半轴， ∴左挡板表示的数为 ∴（要使得差在之间，） ∴当3个钢球运动的路程和为时，C球离左挡板的距离为    ∴C球在数轴上表示的数是 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程的实际应用15大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、配套问题 1 题型二、工程问题 2 题型三、销售问题 3 题型四、比赛问题 5 题型五、方案选择问题 6 题型六、数字问题 8 题型七、几何问题 8 题型八、动点问题 8 题型九、和差倍分问题 9 题型十、水电费问题 11 题型十一、行程问题 11 题型十二、比例问题 11 题型十三、日历问题 11 题型十四、古代问题 11 题型十五、其他问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、配套问题 1．某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 2．明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了一道数学题，大意是：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，已知个笔管与个笔套配套使用，若要使制成的笔管与笔套正好配套，设用于制作笔管的短竹数为根，则可列方程为 ． 3．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 4．某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 题型二、工程问题 5．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 6．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 7．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 8．甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 题型三、销售问题 9．某商店销售一种电器，他们先将成本价提高后标价，后来又按照标价的八折优惠卖出，结果每销售一件该电器仍获得80元的利润，那么这种电器的成本价是多少元？ 10．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表一： 表一 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 表二 A型（40件） B型（60件） 甲店（70件） 乙店（30件） x (1)设分配给乙店A型产品x件，把表二填写完整； (2)若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A型产品多少件． 11．某工厂生产一种产品，成本为30元/件，销售方式有两种：①直销，售价为50元/件，每月开销4500元；②批发，售价为40元/件两种方式均需缴纳销售金额的税款． (1)若采用方式①，每月至少要销售多少件才不亏本？ (2)每月销售多少件时，采用两种方式的利润相同？ 12．我校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话． (1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元，那么小明购买钢笔多少支？ 题型四、比赛问题 13．表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 14．（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 15．某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 16．“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 题型五、方案选择问题 17．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 18．又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 19．在新冠肺炎防疫工作中，某药店出售酒精与口罩，酒精每瓶定价元，口罩每个定价元，药店现开展促销活动，向大家提供两种优惠方案：买一瓶酒精送一个口罩；酒精和口罩都按定价的付款．小明为班级采购瓶酒精，个口罩． (1)若小明按方案购买，需付款______元（用含的代数式表示）；若小明按方案购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (2)购买多少个口罩时，方案和方案费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 20．牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 题型六、数字问题 21．数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 22．如图的幻方和是15， 问题： 下列三个图都是没有填完整的幻方． (1)如图（1），直接写出图中x，y值以及幻方和； (2)如图（2），将，，，，1，3，5，7，9等9个数填到幻方的方格中； (3)如图（3），已知三个数a，b，c，当时，代数式的值为，直接写出方格① 中填入的数字． 23．阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例. 例：将化成分数，解决方法如下. 设，即， 将方程两边都乘10，得，即. 又因为，所以，所以， 所以，所以. 任务： (1)请利用材料中给出的方法，把化成分数； (2)把化成分数为_____． 24．课本再现：填幻方“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中． (1)如图1，9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同，则和是___________； (2)如图2，将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现将分别表示其中的一个数，则___________；___________；___________； (3)如图3，将，8，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 题型七、几何问题 25．如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，那么雕塑的底面边长是多少？（设雕塑的底面边长为，只列方程不解答） 26．某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 27．已知a，b，c满足，数轴上点 A 对应的数为a，点B对应的数为b，长度为c的线段在数轴上移动，点D在点C右侧，设点C对应的数为x． (1) ______， ______， ______； (2)当点D移动到的中点时，求x的值； (3)若M为中点，N为中点， ①试探究与的数量关系； ②若，求x的值． 28．如图，在长方形中，．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时， _______． (3)设的面积为S，试用含t的代数式表示的面积S． (4)作点Q关于点D的中心对称点，直接写出的面积是面积的时t的值． 题型八、动点问题 29．数轴上点 A、B、C、D 对应的数为，其中： 是最大的负整数； 满足 ，且 (1)求 的值； (2)点A 以每秒 3 单位向左运动，点 C 以每秒 5 单位向左运动，求当 A、C 距离为 11 时，运动时间； 30．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问：经过多少秒，点P追上点Q？ 31．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M、N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是____________，A、C两点之间的距离是____________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点运动的时间为秒． ①当点M、N相遇时，求的值； ②当点M、N相距4个单位长度时，直接写出的值． 32．点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，______是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是______（用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 题型九、和差倍分问题 33．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 34．有一泳池，第一次放出全部水的，第二次放出36立方米的水，第三次放出剩下水的，此时泳池里还剩下36立方米的水．泳池原来有多少立方米的水？ 35．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是岁，则称为“百岁父子”．已知父亲岁时，儿子岁，现在父亲是儿子年龄的倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 36．于都三中教学质量的稳步提高，学校不断发展壮大．学校食堂的早餐供应面食．已知4名一级面点师每十分钟可做4笼馒头还多32个；5名二级面点师每十分钟可做馒头6笼少30个．已知十分钟内每位一级面点师比二级面点师多做5个馒头．每笼馒头有几个？ 题型十、水电费问题 37．为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 38．某校七年级数学兴趣小组为了解本市居民执行阶梯电价前后电费缴纳情况，利用课余时间收集素材，探索完成任务． 电费缴纳 素材1 不执行阶梯电价 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 素材2 为在节能减排的同时考虑惠民利民，该市居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月（含5月和10月）执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 执行阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.6 第二档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.65 第三档 用电量x（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 0.9 问题解决 任务1 若某用户5月份的用电量为520千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需多缴纳多少电费？ 任务2 若某用户5月份的用电量为千瓦时，则执行阶梯电价后该用户需缴纳多少电费（用含x的代数式表示）？ 任务3 执行阶梯电价后，若某用户5月份的用电量为520千瓦时，且4月份与5月份的电费恰好相同，则该用户4月份比5月份的实际用电量少多少千瓦时（精确到0.1）？ 39．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 40．阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费． 月用水量不超过40时，按2.4元/计费； 月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费． (1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？ (2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？ 题型十一、行程问题 41．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从A站开出27千米，快车才从B站开出．相遇时快车和B站的距离比慢车和A站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 42．一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米． (1)求A，B两地之间的距离； (2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围． 43．一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 44．如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：． (1) ； (2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数； ②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值． 题型十二、比例问题 45．某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 46．在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 47．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 48．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 题型十三、日历问题 49．（1）在某年6月的月历表（如图①）中，任意圈出一坚列相邻的三个数．设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_________； （2）现将连续自然数1至2023按图②所示的方式排列，用一个长方形框出16个数． ①图中框出的这16个数的和是_________； ②用该长方形框出的16个数之和能否分别等于2000，2020，2080？若不能，试说明理由；若能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数． 50．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 51．如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 52．观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 题型十四、古代问题 53．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 54．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 55．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 56．一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线（斜线）的几个数之和都相等，具有这种性质的图表称为“幻方”，我国古代称之为“河图”、“洛书”，又称为“纵横图”，后来演化成一种竞赛项目——数独．在最强大脑的数独比赛上，12岁的胡宇轩代表中国队战胜日本世界冠军，后被北京大学录取．下面让我们也来试试幻方游戏吧． 9 2 3 7 8 6 4 0 3 1 (1)请将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (2)类比第（1）问请尝试将，，，，0，1，2，3，4分别填入表中的空格内，使横、竖以及对角线（斜线）上的3个数字之和都相等． (3)老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为 ． 题型十五、其他问题 57．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 … (2)第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有多少个？ (3)若第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多45个，求n的值．（用含n的代数式表示） 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 7 10 … 58．【新知探索】观察下列运算：，；，；，． 【类比归纳】类比我们学习的有理数的运算法则的过程，归纳出“”运算法则：两数进行“”运算时，同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的_______． 【新知内化】计算：=_______． 【思维拓展】计算：． 【自主建构】当整数、满足时，求的值． 59．对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．如在2，3，5中，因为对于在这组数中；对于在这组数中；对于在这组数中，所以2，3，5这组有理数是“好数组”， (1)1，2，3，5_______“好数组”；1，2，3，4，5_______“好数组”．（填“是”或“不是”） (2)若2，4，8，x是“好数组”，求出的值； (3)若含60的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组” 60．“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如下优惠计费规则（设乘车里程为a公里）： 计 费 项 目 起步费 里程费 高速路费 含起步里 程3公里 的部分 的部分 的部分 （超过3公里的部分一个价） 按照实际产生计入 费用 5元 1.2元/公里 1元/公里 0.8元/公里 0.9元/公里 打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元，如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：元．小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：元． (1)若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元． ①当时，小黄应付车费_____元；（用含a，b的式子表示并化简） ②当时，小黄应付车费_____元． (2)甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？ 61．小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 62．如图，这是年3月份的月历表，用框数器“”框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A． B． C． D． 63．如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 64．商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（   ）件衬衫． A．180 B．200 C．240 D．300 65．2020年下半年，某市降水偏少，饮用水告急，市供水公司在一段时间内实施限制性供水，限制性供水会出现三种情况：①白天停水，晚上供水；②白天供水，晚上停水；③全天低压供水．小明记得在这段时间内共有6个晚上有水，7个白天有水，有9天出现了（白天或晚上）停水，这段限制性供水时间共持续了（   ） A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 66．一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成．若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了 天． 67．一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 68．已知滑块沿滑槽从点向点运动，到达点会有一个短暂停留，然后滑块又从点运动到点．已知滑块长度为，某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动；当滑块右端点到达点时停顿，然后再以小于的速度匀速返回．设时间为时，．由点向点运动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，从点到点与点到点整个过程总用时（含停顿时间）．在整个往返过程中，若，则的值是 ． 69．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为公里与公里，若下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 分钟． 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车实际里程计算；时长费按行车实际时间计算；远途费收取方式：行车里程10公里以内含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收元． 70．如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是 ． 71．某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 72．用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？ 73．在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 74．数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ________， ________，线段________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点C在线段上，动点P从点C出发，以3个单位长度/秒速度由C向B的方向运动；同一时刻，另一动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒速度向正方向运动，设动点P的运动时间为t秒 ，当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，求此时t的值． 75．根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为 的“磁悬浮”轨道架，如图，轨道架上安置了三个大小和质量完全相同的钢球A，B，C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A，B两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若A球在数轴上表示坐标原点，B球表示的数为40，则C球表示的数为__________，右挡板E表示的数为_________； 任务2 在碰撞实验中，从原点开始计时，若A球以每秒 的速度向右匀速运动，请回答下列问题： ①B球第一次撞向右挡板E的时间为_______秒； ②C球第一次撞向左挡板D的时间为_______秒； ③B球第二次撞向右挡板E的时间为_______秒． 任务3 在任务1，任务2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时；C球在数轴上表示的数是__________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $