专题01 一元一次方程80道计算题强化练习（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题01 一元一次方程80道计算题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求代数式的值 1 题型二、合并同类项 2 题型三、解一元一次方程（简单） 8 题型四、解一元一次方程（复杂） 8 题型五、一元一次方程的同解问题 8 题型六、一元一次方程的看错、漏解问题 8 题型七、一元一次方程中含参问题 9 题型八、绝对值方程 9 题型九、一元一次方程中的整数解问题 9 题型十、一元一次方程中新定义运算 11 题型一、求代数式的值 1．已知若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2025． (1)直接写出，，的值， (2)求的值． 2．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 3．若，，求的值． 4．若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 5．规定：，．求： (1)的值 (2)的值． 6．请根据图示的对话，解答下列问题. 我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你，的相反数是3，的绝对值是7，与的和是. (1)求，的值； (2)求的值． 7．当时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 8．已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)若是最小正整数，求的值． 题型二、合并同类项 9．化简： (1)； (2) 10．先去括号，再合并同类项：． 11．化简： (1) (2) 12．计算： (1) (2) (3) (4) 13．合并同类项： (1)； (2)； 14．合并同类项： (1)； (2)； (3)． 15．合并同类项： (1)； (2)； (3)． 16．先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． 题型三、解一元一次方程（简单） 17．解方程： (1) (2) 18．解方程： (1) (2)． 19．解方程： (1) (2) 20．解下列方程： (1) (2) 21．解方程： (1) (2) 22．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．解下列方程： (1)； (2)． 24．解方程 (1) (2) 题型四、解一元一次方程（复杂） 25．解下列方程： (1)； (2)． 26．解方程． (1) (2) 27．解方程． (1) (2) (3) 28．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 29．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 30．解方程： (1)． (2) 31．规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则 ． 32．解下列方程： (1)． (2)． 题型五、一元一次方程的同解问题 33．已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 34．若方程和方程的解相同，则a的值为多少？ 35．（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 36．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 37．已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 38．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 39．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 40．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 题型六、一元一次方程的看错、漏解问题 41．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 42．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 43．老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ； (2)请细心地解下面的方程： 44．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 45．小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 46．聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 47．小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 48．小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了12，因而求得方程的解为，求的值及原方程的解. 题型七、一元一次方程中含参问题 49．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 50．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 51．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 52．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 53．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 54．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 55．小明解方程时粗心大意，去分母时方程左边的1没有乘10，由此得到方程的解是；求出的值． 56．关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 题型八、绝对值方程 57．已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 58．阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 59．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，则，例如数轴上表示6与的两点之间的距离，请回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离d为 ； (2)，则 ； (3)若x表示一个有理数，则的最小值为 ； (4)，则 ． 60．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)在数轴上，表示和的两点之间的距离是___________，表示和的两点之间的距离是___________．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离是； (2)根据（1）的描述，式子表示数轴上数对应的点与数___________对应的点之间的距离，式子表示数轴上数对应的点与数___________对应的点之间的距离； (3)若，且数在数轴上对应的点分别是点求两点之间的最大距离和最小距离． 61．已知，求x的值． 62．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_____． (3)利用数轴，解决下列问题 ①若，则_____． ②求的最小值是_______． 63．阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若，则______； (4)请你找出所有符合条件的整数，使得． 64．【阅读】数形结合是解决问题的重要方法．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示1与两点之间的距离是________； （2）借助数轴，若，则x的值为________； （3）借助数轴，有最小值是________； 【拓展】 （4）借助数轴，若，则x=________． 题型九、一元一次方程中的整数解问题 65．关于x的一元一次方程的解为正整数，其中k为整数，则k的值有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 66．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 67．若关于的方程的解是正整数，且为整数，则关于的方程的解为（    ） A．或 B． C． D．或 68．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 69．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 70．若关于x的方程的解是整数，且k是正整数 ． 71．已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 72．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 题型十、一元一次方程中新定义运算 73．规定一种新的运算：，如果：，那么求的值． 74．若规定：是一种新算法，运算法则为：，例如． (1)求的值; (2)若，求x的值． 75．阅读材料：规定一种新的运算：，例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，当时，求x的值． 76．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 77．规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 78．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 79．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如的解为，且，则方程是“和解方程”． 请根据规定解答下列问题： (1)判断是否为“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 80．我们规定，若关于 x 的一元一次方程 的解为则称该方程的为差解方程，例如：的解为 且，则该方程就是差解方程． 请根据以上规定解答下列问题 (1)若关于 x 的一元一次方程是差解方程，则 ； (2)若关于 x 的一元一次方程 是差解方程，且它的解为，求代数式的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程80道计算题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求代数式的值 1 题型二、合并同类项 2 题型三、解一元一次方程（简单） 8 题型四、解一元一次方程（复杂） 8 题型五、一元一次方程的同解问题 8 题型六、一元一次方程的看错、漏解问题 8 题型七、一元一次方程中含参问题 9 题型八、绝对值方程 9 题型九、一元一次方程中的整数解问题 9 题型十、一元一次方程中新定义运算 11 题型一、求代数式的值 1．已知若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2025． (1)直接写出，，的值， (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)2026或 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值等知识； （1）根据相反数的性质、倒数和绝对值的定义解答即可； （2）把（1）题的结果分情况代入所求式子求解即可． 【详解】（1）解：因为、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2025， 所以，，； （2）解：当时，； 当时，． 2．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值、求代数式的值，熟练掌握相反数、倒数定义，绝对值的意义，是解题的关键．由相反数、倒数的定义得出，，根据绝对值的意义得出，代入计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3， ∴，，， ． 3．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的值，解题的关键是利用整体思想进行求值． 根据题意可得，然后整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ． 4．若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或2 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，求代数式的值，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由，得，结合，得，代入计算即可； （2）由（1）得，结合得或，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 则 ， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴或， ∴或， 故的值为或2． 5．规定：，．求： (1)的值 (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、求代数式的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴． 6．请根据图示的对话，解答下列问题. 我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你，的相反数是3，的绝对值是7，与的和是. (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)33或5 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，绝对值，有理数的加减， 对于（1），根据相反数和绝对值的定义解答； 对于（2），分两种情况求出c，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：因为a的相反数是3，b的绝对值是7， 所以； （2）解：因为c与b的和是，且， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 所以的值是33或5． 7．当时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)41 (2)36 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将代入，先计算乘方与乘法，再计算加法即可得； （2）将代入，先计算括号内的加减法，再计算乘方即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 8．已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)若是最小正整数，求的值． 【答案】(1)， (2)49 【分析】本题考查相反数，绝对值与平方的非负性，含乘方的有理数的运算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，得到，，求出，，即可解答； （2）由是最小正整数，得到，继而将，，代入计算即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ， ，， ，； （2）是最小正整数， ， ， ， ． 题型二、合并同类项 9．化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式加减的法则． （1）直接合并同类项，即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．先去括号，再合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则与合并同类项，解题的关键是正确运用去括号法则并准确合并同类项． 先根据去括号法则去掉括号，再将同类项进行合并． 【详解】解： ． 11．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 本题合并同类项即可； 首先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 . 12．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查合并同类项法则、去括号法则，正确运用相关法则是计算的关键． （1）根据合并同类项法则进行求解即可； （2）先去括号，再根据合并同类项法则进行求解即可； （3）先去括号，再根据合并同类项法则进行求解即可； （4）先去括号，再根据合并同类项法则进行求解即可． 【详解】（1）解： 原式； （2）解：原式 ； （3）原式 ； （4）解：原式 ． 13．合并同类项： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项的法则．所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．合并同类项时，把系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．注意不是同类项的不能合并． （1）先找出多项式中的同类项，再根据合并同类项的法则求解； （2）先去括号，找出多项式中的同类项，再根据合并同类项的法则求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了合并同类项： （1）先找出同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加即可； （2）先找出同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加即可； （3）先找出同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 15．合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （）根据合并同类项法则计算即可； （）根据合并同类项法则计算即可； （）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 题型三、解一元一次方程（简单） 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤 “去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1”的步骤求解即可； （2） 按“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1” 的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 18．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程； （1）按照解一元一次方程的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （2）按照解一元一次方程的一般步骤：去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可. 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：. （2）解：，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项法解方程解答即可． （2）去括号解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解： ． 20．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 21．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 22．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母， 移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （3）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （4）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （3）解：     去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （4）解：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． 23．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1∶． 24．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型四、解一元一次方程（复杂） 25．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 整理、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 26．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）先根据等式的基本性质进行变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解： 变形得， 去分母得， 去括号得， 移项得，， 合并得，， 解得，． 27．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和解分式方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法． （1）先去括号，移项，合并同类项，系数化为1． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1． （3）先去括号，再去分母，移项，合并同类项，系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （3）解：去括号得，，即， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 28．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了化简绝对值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值得，，结合，进一步即可作答． （2）根据，得出，再结合，得，，则的值为或，即可作答． 【详解】（1）解：，， ，， 又， ，或，， 或． （2）解：， ， ，， ，， ∴，或，， 或． 29．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：去分母，得。 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 30．解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 31．规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键． 根据“郡园方程”的定义，方程的解应为，同时题目给定解为 ，因此建立等式求解． 【详解】解：由“郡园方程”定义，解满足， ∴， ∵， 解得， ∵给定解为， ∴， 代入，得， 解得， 代入，得， 解得 ， 故， 故答案为：3． 32．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 题型五、一元一次方程的同解问题 33．已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 【答案】 【分析】本题涉及同解方程的概念，需先求出其中一个方程的解，再代入另一个方程求参数，最后将代入关于的方程求解． 【详解】解：解方程，得． 因为两个方程的解相同， 所以将代入方程，得，解得． 将代入方程，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程的概念及一元一次方程的解法，解题关键是利用同解方程的性质，先求出共同的解和参数，再代入求解目标方程． 34．若方程和方程的解相同，则a的值为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先求方程的解，再代入方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， 因为与方程的解相同 所以把代入中得： ， ， 所以． 35．（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 36．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程， 整理得：， 得：， 由题意：的解为， 代入得：，    解得：． 37．已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别解两个方程，用含的式子表示，根据解相同列出关于的方程求解的值； （2）将的值代入代数式求值即可. 【详解】（1）解方程， 得． 解方程， 得． 根据题意，得， 解得． （2）将代入， 得， 所以的值为． 【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于的方程是解题关键. 38．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 39．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的解，得到方程的解，代入计算即可． （2）先求的解，根据解的属性，m的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 解得， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故时，方程与方程的解相同． （2）解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故，且m为非负整数， 故， 解得， 故． 40．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1)3 (2)，过程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）根据两个方程同解可得n的值． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得：； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得：； 因为两个方程解相同，所以将代入， 得， 解方程，得． 题型六、一元一次方程的看错、漏解问题 41．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 42．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 43．老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ； (2)请细心地解下面的方程： 【答案】(1)①，1没有乘以12； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． （1）小明解方程的第①步中去分母时“1”没有乘以12； （2）解带分母的方程，要先去分母、再去括号、最后移项合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】（1）解：小明解方程的第①步中去分母时1没有乘以12，所以错在①， 故答案为：①，1没有乘以12； （2）解：           去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化为1得． 44．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）按照要求去分母即可； （2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值； （3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：， 故答案为：； （2）将代入式子②，得：， 整理，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）将代入①，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 45．小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项（ 或“移项时，要变号”，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程的解的定义（已知方程的解求参数）等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）由题意得，是方程的解，把代入方程，得，解方程即可求出的值； （2）由（1）得，原方程为，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为； （3）根据自身学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意得： 是方程的解， 把代入方程，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：原方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 46．聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)在移项的过程中要注意变号（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）将错就错，按照题干错误方式去分母后，把代入，求出的值； （2）把的值代入方程，按照解方程的步骤进行求解即可； （3）根据解方程的步骤提出注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：； （2）解：把代入原方程，得：， 去分母，得：， 移项，合并得：； （3）解：在移项的过程中要注意变号（答案不唯一）． 47．小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，由题意可知是方程的解，然后可求得，然后将代入原方程得，再进行求解即可，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6， ∴ 将代入， 得， ∴ ∴ 解得：， ∴ 方程去分母得， ∴ ∴ 解得． 48．小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了12，因而求得方程的解为，求的值及原方程的解. 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号，根据漏乘的12得到去分母结果，把代入求出的值，确定出方程，求出正确解即可． 【详解】解：根据题意得， 把代入得：， 解得， ∴方程为， ∴， ∴， 解得． 题型七、一元一次方程中含参问题 49．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 50．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 51．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 52．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 53．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 54．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 55．小明解方程时粗心大意，去分母时方程左边的1没有乘10，由此得到方程的解是；求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 先根据小明错误的去分母操作，列出错误去分母后的方程；再将已知的错误解代入该错误方程，通过求解关于a的方程，得出a的值。 【详解】根据错误的去分母方法列出方程得 因为方程的解是 所以将代入方程得 所以． 56．关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）按小明的错误解法将代入求解即可求出的值； （2）由（1）可知原方程为，根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求解即可．． 【详解】（1）解：根据题意是方程的解， 将代入得： ； （2）由（1）知， 原方程为， ． 题型八、绝对值方程 57．已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，解绝对值方程． （1）根据绝对值具有非负性，且互为相反数的两个数之和为零可知，，即可得到，； （2）将 和 的值代入方程 ，解绝对值方程即可得到 的值． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． 故答案为：，； （2）解：由（1）知 ，， 代入 ，得 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． 58．阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）x，4 （2）6 （3）或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的几何意义，正确掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，根据绝对值的几何意义，即可作答； （3）分类讨论，解方程即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：x，4； （2）表示为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）当时，则，即； 当时，则，即； 当时，，方程无解； 所以，则或5． 59．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，则，例如数轴上表示6与的两点之间的距离，请回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离d为 ； (2)，则 ； (3)若x表示一个有理数，则的最小值为 ； (4)，则 ． 【答案】(1)6 (2)或 (3)4 (4)3或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程． （1）由进行求解即可； （2）由得到，即可求解； （3）若x表示一个有理数，则根据绝对值的几何意义可得：的意义为表示有理数x的点到及到1的距离之和，据此分类讨论求解即可； （4）分三种情况讨论，去绝对值，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：6； （2）解： ， 解得或， 故答案为：或； （3）解：若x表示一个有理数，则的意义为表示有理数x的点到及到1的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：， 当时，，解得； 当时，，该方程无解，舍； 当时，，解得， ∴或， 故答案为：3或． 60．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)在数轴上，表示和的两点之间的距离是___________，表示和的两点之间的距离是___________．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离是； (2)根据（1）的描述，式子表示数轴上数对应的点与数___________对应的点之间的距离，式子表示数轴上数对应的点与数___________对应的点之间的距离； (3)若，且数在数轴上对应的点分别是点求两点之间的最大距离和最小距离． 【答案】(1)， (2)， (3)最大距离为，最小距离为 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值的意义； （1）根据数轴上两点距离，用右边的数减去左边的数，即可求解； （2）根据绝对值的意义，即可求解； （3）根据绝对值的意义求得点或；或，进而求得最大距离和最小距离，即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上，表示和的两点之间的距离是，表示和的两点之间的距离是． 故答案为：，． （2）根据（1）的描述，式子表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离，式子表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：∵ ∴或,或 解得：或；或 当，时，两点的最大距离为 当，时，两点的最小距离为 61．已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 62．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_____． (3)利用数轴，解决下列问题 ①若，则_____． ②求的最小值是_______． 【答案】(1)3，5； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查数轴，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式列式即可； （3）①根据绝对值的意义去绝对值符号，得到方程，解方程即可； ②由题意得，表示x和两点之间的距离，表示x和5两点之间的距离，表示x到的距离与x到5的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2和的两点之间的距离是， 故答案为：3，5； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）①∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或； ②∵表示x和两点之间的距离，表示x和5两点之间的距离， ∴表示x到的距离与x到5的距离之和， 由数轴得，当x在和5之间时（包括和5），取得最小值，最小值为， 故答案为：． 63．阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若，则______； (4)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)4 (2)或 (3)5或 (4) 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质以及有理数的减法． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 解得或， 故答案为：或． （3）， ∴或， 解得或， 故答案为：5或． （4）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和5的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到和5表示点的距离之和， ∵， ∴表示有理数x的点在和5之间， ∴符合条件的整数有：． 64．【阅读】数形结合是解决问题的重要方法．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示1与两点之间的距离是________； （2）借助数轴，若，则x的值为________； （3）借助数轴，有最小值是________； 【拓展】 （4）借助数轴，若，则x=________． 【答案】（1）6；（2）或5；（3）11；（4）4或 【分析】本题考查的是绝对值的定义、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）分x表示的点在2的左侧和右侧两种情况解答即可； （3）由线段的性质，两点之间线段最短，可知当时，有最小值，据此取绝对值求解即可； （4）由于及的符号不能确定，故应分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示1与两点之间的距离是． 故答案为：6． （2）当x在2的左侧时，x的值为； 当x在2的右侧时，x的值为． 故答案为：或5． （3）根据题意，可知当时，有最小值， ∴． 故答案为：11． （4）根据题意，可知：当时，有，解得：； 当时，有，无解； 当时，有，解得：． 故答案为：4或． 题型九、一元一次方程中的整数解问题 65．关于x的一元一次方程的解为正整数，其中k为整数，则k的值有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解含有字母参数的方程．先解含有字母参数的方程，求出x，再根据关于x的一元一次方程的解为正整数，列出关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． ∵方程的解为正整数， ∴， ∴． 故选A． 66．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 67．若关于的方程的解是正整数，且为整数，则关于的方程的解为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程．先根据关于的方程的解是正整数求出或，再把或代入分别解方程即可． 【详解】解：解得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或， 解得或 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，关于的方程的解为或， 故选：D 68．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 69．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 70．若关于x的方程的解是整数，且k是正整数 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．先解方程，再依据解是整数求解即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化1得：， ∵关于x的方程的解是整数， ∴或， ∴或或或， ∵k是正整数， ∴或， 故答案为：1或2． 71．已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． 72．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 题型十、一元一次方程中新定义运算 73．规定一种新的运算：，如果：，那么求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解方程，新定义运算． 根据新定义列方程求解即可． 【详解】由可知 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 74．若规定：是一种新算法，运算法则为：，例如． (1)求的值; (2)若，求x的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）利用题中新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用新定义化简，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：根据题中新定义得：； （2）解：根据题意：， 整理得：， 解得：． 75．阅读材料：规定一种新的运算：，例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程和有理数的混合运算． （1）根据题中给出的例子列式计算即可； （2）根据题中给出的例子列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴， 解得：． 76．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）由，得，解得，先解根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是和解方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：． 77．规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义． （1）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于的方程，解方程求出即可； （2）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于，的等式，求出，再代入所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ， ． 78．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； 对于（2），先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于1列出方程，然后求出解即可； 对于（3），先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ，解得； （3）解：方程的解为， 为整数，且也为整数， ，，，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意， 综上可得，或1，故所有可能的的和为． 79．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如的解为，且，则方程是“和解方程”． 请根据规定解答下列问题： (1)判断是否为“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解一元一次方程，能理解“和解方程”的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据“和解方程”的意义得出即可； （2）根据“和解方程”得出关于p的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是“和解方程”．理由如下： 由方程， 解得． 因为， 所以是“和解方程”； （2）解：由方程， 解得． 因为关于的一元一次方程是“和解方程”， 所以， 解得． 80．我们规定，若关于 x 的一元一次方程 的解为则称该方程的为差解方程，例如：的解为 且，则该方程就是差解方程． 请根据以上规定解答下列问题 (1)若关于 x 的一元一次方程是差解方程，则 ； (2)若关于 x 的一元一次方程 是差解方程，且它的解为，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解与新定义 （1）解方程，并计算相应的的值与方程的恰好相等，解方程即可； （2）解方程，根据差解方程的定义列式，解出即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 去分母整理得，， 解得， 故答案为： （2）∵关于的一元一次方程是差解方程，且它的解为， ∴，， ∴， ∴ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $