专题01 代数式中数字类、图形类规律探索8大题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题01 代数式中数字类、图形类规律探索8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数字类规律探索 1 题型二、数字规律问题之个位数问题 2 题型三、数字规律问题之错位相减计算 3 题型四、数字规律问题之杨辉三角问题 5 题型五、数字规律问题之天干地支问题 6 题型六、数字规律问题之f（x）型计算问题 8 题型七、图形类规律探索 8 题型八、图形规律与乘方计算结合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数字类规律探索 1．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】A 【分析】本题考查的是数字的变化规律，由题意可知：在A处的数被4整余2，在B处的数被4整余3，在C处的数被4整除，在D处的数被4整余1，而，由此即可得出结果． 【详解】解：由题意可知：在A处的数被4除余2，在B处的数被4除余3，在C处的数被4整除，在D处的数被4除余1， ∵， ∴2025应在被4整除余1的位置，即D处， 故选：A． 2．一定规律排列的一列单项式如下：，，，，，第2025个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的规律探究，解题的关键是分别分析单项式的系数符号、系数绝对值、字母及指数的规律． 先分别找出单项式的系数符号、系数绝对值、字母及指数的规律，再根据规律求出第2025个单项式． 【详解】解：由题可知， 奇数项为正，偶数项为负，第2025项是奇数项，所以系数符号为正． 第一个单项式：，系数分母； 第二个单项式：，系数分母； 第三个单项式：，系数分母； ．．．．．． 第个单项式的系数分母为， 所以第个单项式可表示为：； 所以第2025个单项式是，对应选项A． 故选：A． 3．观察下列等式：①；②；③；…… 猜想并写出第n个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，分式的加减混合运算，解答本题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，写出相应的猜想并证明． 根据题目中式子的特点，猜想第n个等式，并根据分式的加减法证明猜想成立． 【详解】解：∵； ； ； ……； ∴第n个等式：． 故答案为：． 4．观察下列各式：，，，，…，根据你发现的规律，第n个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律．找出题目中所给等式的规律是解题的关键． 分析所给等式的规律，找到从1开始的连续奇数相加和的表达式即可． 【详解】解：等式左边的规律：第一个等式：1，是1个奇数相加，这个奇数是； 第二个等式：，是2个奇数相加，最后一个奇数是； 第三个等式：，是3个奇数相加，最后一个奇数是； 第四个等式：，是4个奇数相加，最后一个奇数是； 由此可知，第n个等式左边为； 等式右边的规律：第一个等式是； 第二个等式是； 第三个等式是； 第四个等式是； 由此可知，第n个等式右边为； 所以第n个等式是． 故答案为：． 5．观察下列等式，找出规律然后空格处填上具体的数字． ； ； ； ； ______； (1)第5个式子等号右边应填的数是______； (2)根据规律填空：______． 【答案】(1) (2)2500 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知等式发现规律是关键.根据已知等式知，从1开始的连续n个奇数的和等于连续奇数个数的平方； （1）第5个式子是连续6个奇数的和，所以等号右边应填； （2）从1~99的连续奇数的个数为个奇数，所以. 【详解】（1）解：从已知等式中归纳总结出规律： 第1个等式，2个连续奇数的和：， 第2个等式，3个连续奇数的和：， 第3个等式，4个连续奇数的和：， 第4个等式，5个连续奇数的和：， 第5个等式，6个连续奇数的和：， …… 总结规律：从1开始的连续n个奇数的和等于连续奇数个数的平方 故答案为：. （2）解：运用规律： 的奇数个数为个 ∴ 故答案为：2500. 6．如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1)填空： ， 第个格子中的数是 ． (2)前个格子中所填整数之和是否可能为?若能，求出符合条件的的值；若不能，请说明理由， 【答案】(1)8； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到a、b、c的值，然后根据规律即可得到第2025个格子中的数； （2）利用规律先确定每一次循环的和为，再进行判断求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∴，， ∵表格中有数字， ∴， ∵根据题意分析可得：数字以3、8、循环出现， ∵， ∴第2025个格子中的数是， 故答案为：8；； （2）解：和不可能为2025，理由如下： ∵，， ∴， ∴前个格子中所填整数之和不可能为． 题型二、数字规律问题之个位数问题 7．计算：，，，，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，首先根据：，，，，可知，的个位数是、、、循环出现，因为，所以是第个循环的第个数，由规律可知的个位数是. 【详解】解：，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ， 由规律可知，的个位数是、、、循环出现， ， 是第个循环的第个数， 的个位数是. 故选：B． 8．观察下列等式，它们的个位数字有什么规律，的个位数字是（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类、尾数特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题目中的数字和数字，可以写出前几个式子的值，从而可以发现这些式子结果的个位数字的变化特点，从而可以得到所求式子的个位数字． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， …， 由上可得，这列式子的结果的个位数字依次以3，2，9，0循环出现， ∵， ∴的个位数字是2， 故选：B 9．观察下列算式：， ， ，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 . 【答案】9 【分析】本题考查数字类规律探究，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．根据的指数从到，末位数字以，，，进行循环，再用除以得出余数，再写出的个位数字． 【详解】解：， ， ，，，， 次方为末位数字是，次方末位数字是为，次方末位数字是为，次方末位数字是为，次方末位数字是为， 个位数字的变化是以，，，为周期，即周期为， ， 个位数字为， 故答案为：． 10．观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3：，个位数字是1；，个位数字是7…根据其中规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得这一列数，每4个数字为一个循环，个位数字依次为7，9，3，1，进而得到这一列数，每4个数字为一个循环，这4个数字的个数数字之和为20，据此求出1002除以4的商和余数即可得到答案． 【详解】解：，个位数字为7； ，个位数字为9； ，个位数字是3： ，个位数字是1； ，个位数字是7； …．．， 以此类推，可知这一列数，每4个数字为一个循环，个位数字依次为7，9，3，1， ∵， ∴这一列数，每4个数字为一个循环，这4个数字的个数数字之和为20， ∵， ∴， ∴的结果的个位数字是， 故答案为：6． 11．小学阶段我们学习了加减乘除四种运算，进入初中阶段我们又学习了一种新的运算——乘方，乘方表达式可以用来表示数学关系，也可以应用于多个学科，比如数学、物理、化学等，它还可以表达各种科学关系．请利用我们所学的知识来解决下面的数学问题． (1)计算：①，②，③，④，⑤ ，…，写出第5个关系式并归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是______． (2)计算：． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律是解题的关键； （1）根据题中所给算式可直接得到第5个关系式和第6个关系式，然后根据前6个关系式可得个位数字的规律为按照4、0、8、2每4个一组，进而问题可求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥；…..； ∴规律为个位数字按照4、0、8、2每4个一组， ∵， ∴的个位数字为8； 故答案为；8； （2）解：原式 ． 12．【探索．发现】通过计算填空． __________ __________ …… 观察等式，合情猜想．得出一般性的规律： __________ 【迁移应用】利用上面的规律解答下列各题 计算：的值． 计算：的值． 确定的结果的个位数字． 【答案】探索．发现：；； 迁移应用：；；1 【分析】本题主要涉及多项式乘法运算以及通过观察规律来解决计算问题。首先通过多项式乘法计算前面几个式子，找出规律，然后利用规律进行迁移应用，包括计算特定式子的值以及确定结果的个位数字． 【详解】解：探索发现：② ； ③ ； 一般规律： 故答案为：；；； 迁移应用：①计算：在上面的等式中，当时 即 ②计算，当时，上面的等式为： ③∵ ∴2的幂次个位上的数字规律为2，4，8，6依次循环， ∵， ∴的个位数字为2， ∴的个位数字是1， ∴的个位数字是1． 题型三、数字规律问题之错位相减计算 13．阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式＝__________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据（1）的规律裂项后前后项抵消，最后剩下没有抵消的项进行计算即可； （3）观察算式总结出规律：，，……，然后裂项后前后抵消，最后剩下没有抵消的项进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：， ， ， …… ， ， ∴ ． （3）解：∵， ， …… ， ， ∴ ． 14．请先阅读下列内容，然后解答问题： 因为，，，……． (1)按照以上式子得出的规律，可得出________，________； 若为正整数，从而进一步猜想得到________； (2)模仿以上方法计算． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，此类分数的加法计算解题关键是要熟练运用拆分的方法达到抵消的目的，进行简便计算． （1）观察式子可发现规律：分子为1，分母是两个连续自然数的乘积等于两个分子都是1，分母是两个连续自然数的分数相减，即第项为． （2）将每个加数根据裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：，，． （2）解： ． 15．观察下列等式，，， 以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出_______； (2)直接写出计算结果：________； (3)探究并计算：________； (4)若与互为相反数，计算________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，数字规律探索，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得出一般性规律，写出即可； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）先根据非负数的性质求出，，再将，代入求出结果即可． 原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解： ； （3） ； （4）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 16．观察下列等式 以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出______； (2)直接写出计算结果：______； (3)探究并计算： (4)计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得出一般性规律，写出即可； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1）， 故答案为：; （2） , 故答案为：； （3） ； （4） ． 17．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：______（用含n的代数式表示）； (2)______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律，有理数的混合运算，结合题意得到规律是解题的关键． （1）结合题干，找到规律，即可解答； （2）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答； （3）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 18．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：__________；用含有的代数式表示第个等式：________（为正整数）； (2)求的值； (3)探究：若，则__________ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查数字类的规律变化，有理数的混合运算，解题关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出式子的值． （1）根据题目中的式子的特点，可以写出第5个等式，再写出第n个等式； （2）根据（1）中的结果，可以计算出所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，找出式子的规律，根据规律进行计算，即可求出式子的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． （2）解： ． （3）解：， ， ， ， ， 当时， ． 故答案为：． 题型四、数字规律问题之杨辉三角问题 19．我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 则第8行的第4个数为（    ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】B 【详解】解：由题意得： 第一行：       1 第二行：      1    1 第三行：     1    2      1 第四行：    1    3      3     1 第五行：   1    4     6      4   1 第六行：  1    5    10     10    5   1 第七行： 1    6    15    20    15    6   1 第八行：1    7   21    35   35  21  7    1 所以第8行的第4个数为：35； 故选：B． 20．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，，按照图中数据规律， 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探索，找到规律是解题的关键． 根据“杨辉三角”呈现的数据规律，我们发现第 行从左到右第个数等于，从而可以确定与的值，再将这两个值相加，从而得到的结果． 【详解】解：观察“杨辉三角”的规律，我们发现第 行从左到右第个数等于， ∴是第行从左到右数第个数字，即， 是第行从左到右第个数，根据上述规律可得， 已知，， 那么． 故选：A． 21．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，发现其中的规律．若“杨辉三角”第十行各数之和为m，展开的多项式中各项系数之和为n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化规律，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．通过观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现展开的多项式中各项系数之和为 【详解】解：观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现， 当时，展开的多项式中各项系数之和为2，即； 当时，展开的多项式中各项系数之和为4，即； 当时，展开的多项式中各项系数之和为8，即； 当时，展开的多项式中各项系数之和为16，即；… 可以发现，展开的多项式中各项系数之和为 因此，展开的多项式中各项系数之和为， “杨辉三角”第十行各数之和， ∴， 故答案为：． 22．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形和数字类的规律探究，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 根据前几个数字的变化得到，计算出，，进而代入计算即可． 【详解】解：因为，，，，···， 所以， 故， ， ∴ ． 故答案为：． 23．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式：_____． (2)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了杨辉三角问题，解题关键是理解题意，发现规律，并正确运用该知识点解决问题． （1）找出系数规律，再按照的次数由大到小的顺序排列即可； （2）将a看成3，b看成，利用公式求解即可． 【详解】（1）解：按照规律，展开式中的系数排列应为1，5，10，10，5，1， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 24．如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 …… (1)填出展开式中第二项系数是__________； (2)求的展开式． (3)请你利用上述规律的逆运算计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律，理解材料提示方法，找出规律是解题的关键． （1）根据材料提示找出规律得到展开式中第二项系数； （2）根据找出的规律即可得到的展开式； （3）根据材料提示方法计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴第二项系数为4， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ． 题型五、数字规律问题之天干地支问题 25．天干地支纪年法是中华传统文化的瑰宝，有十个天干与十二个地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 将天干和地支依次组合，各自循环，如甲子，乙丑，丙寅……以此来表示不同的年份．2025年为乙巳年，那么中华人民共和国成立的年份为（   ） A．辛亥 B．辛酉 C．丁卯 D．己丑 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干10年一循环，地支12年一循环，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干10年一循环，地支12年一循环， ∵中华人民共和国成立的年份为1949年，今年为2025年， ∴，， 从乙巳分别向前倒推6位和4位， ∴1949对应的天干为己，对应的地支为丑， ∴中华人民共和国成立的年份为己丑年； 故选D． 26．天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期， ∵年是乙巳年，且，， ∴天干的确定方法为年份减去3后再除以10取余，地支的确定方法为：年份减去3后再除以12取余； ∴，， ∴1900年为庚子年，故A正确；不符合题意； ∴，， ∴1861年为辛酉年，故B正确；不符合题意； ∴，， ∴1617年为丁巳年，故C正确；不符合题意； ∴，， ∴1543年为癸卯年，故D错误；符合题意； 故选：D． 27．天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2025年是“乙巳”年，那么据此推算，2225年用天干地支纪年法对应的年份是（    ）年 A．乙巳 B．庚未 C．乙丑 D．丙戌 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期， ， 则，则2225年的天干为乙， 余8 ，则2225年的地支为丑， 则2225年是乙丑年， 故选：C． 28．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、 巳、午，未、 申、酉、戌、亥 ．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，中华人民共和国成立的1949年是己丑年，今年是2024年，也是伟大的中华人民共和国成立75周年，则2024年是 年．(用天干地支纪年法表示) 【答案】甲辰 【分析】本题考查了数字类规律，分别得到天干、地支的周期是解题的关键．由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期，分别用75除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干10年为一周期，地支十二年为一周期， 从1949年到2024年经过75年，且1949年是己丑年， 则余5，则2024的天干为甲， 余3，则2024的地支为辰， 则2024年是甲辰年， 故答案为：甲辰． 29．我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行： 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯年…… （1）在上面的天干排列中，丙第（是正整数）次出现时，是位于从左向右的第 列（用含的式子表示）； （2）2023年是癸卯年，癸卯可以位于从左向右的第 列（写出一个即可）． 【答案】 40（答案不唯一） 【分析】此题考查了数字类排列的规律的应用． （1）分别求出丙第1次出现，第2次出现，第3次出现的列数，根据规律解答； （2）12和10的最小公倍数是60，故序号每隔60循环一次，列出一组数，找到癸卯年从而可解答． 【详解】解：丙第1次出现是在第3列， 第2次出现是在第列， 第3次出现是在第列， ， 第n次出现是在第列， 故答案为：； （2）根据题意可得：天干有10个，地支有12个，12和10的最小公倍数是60，故序号每隔60循环一次， 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 2023年是癸卯年，即癸和卯在一列中，该列的序号可以是从左向右的第40列． 故答案为：40（答案不唯一）． 30．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．恰好整除时，把除数看作余数．以2022年为例：天干为；地支为．对照天干地支表得出， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2049年为农历 ． 【答案】己巳 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数运算，找到变化规律是解题的关键．根据题中的计算方法进行计算求解即可． 【详解】解：天干为， 地支为， 所以2049年为农历己巳年． 故答案为：己巳． 题型六、数字规律问题之f（x）型计算问题 31．已知，其中表示当时代数式的值，如，，（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合与运算．根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，，……， ∴， 故选：B． 32．对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A． B．4043 C． D．4045 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，计算出的值，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：C． 33．对于正数，规定，例如：，，，，计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律的探索，根据题干中的几组数值，总结出数字之间的变化规律为，根据规律计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 34．已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【答案】 /0.75 【分析】根据题意求得代数式的值，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解．本题考查了代数式求值，有理数的混合与运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：，． 35．如果记当时，；当时，；当时，…，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意分别求出的结果，进而可得规律（n为正整数），据此规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 同理可得，， ∴； 同理可得，， ∴； 又∵， ∴以此类推，可知（n为正整数）， ∴ ． 36．对于正数，规定，例如．计算：． 【答案】201 【分析】本题考查代数式求值及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知条件总结规律，列式计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 原式 ． 题型七、图形类规律探索 37．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒，……，若按照这样的方法拼成的第100个图形需要的小木棒根数为（   ） A．658 B．798 C．660 D．786 【答案】B 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键． 根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒， 第2个图形需要根小木棒， 第3个图形需要根小木棒， 按此规律，第个图形需要根小木棒， 当时，， ∴第100个图形需要的小木棒的数量为798根， 故选B． 38．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个五角星，第2个图形一共有8个五角星，第3个图形一共有18个五角星，第4个图形中有32个五角星，…，则第12个图形中五角星的个数为（    ） A．256 B．288 C．216 D．314 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律探究，找到序号与五角星个数之间的关系是解题的关键． 根据题意得第n个图形五角星个数为：，再将12代入即可． 【详解】解：由题意知： 第1个图形五角星个数为：； 第2个图形五角星个数为：； 第3个图形五角星个数为：； 第4个图形五角星个数为：；                         第n个图形五角星个数为：； 所以第12个图形五角星个数为：； 故选：B． 39．下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是 ． 【答案】160 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确得出在方格纸片中，方格纸片的个数是解题关键． 先确定方格纸中长方形的数量，再结合每个长方形有4种放置方法，两者相乘得到总放置方法数． 【详解】解：如图 观察图象可知（4）中共有个的长方形， 由（3）可知，每个的长方形有4种不同放置方法， 则n的值是． 故答案为：160． 40．如图所示，将一些半径相同的小圆圈“ ○” 按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中“ ○” 的个数为，第2个图形中“ ○” 的个数为 ，第3个图形中“ ○” 的个数为 ，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是结合所给的图形分析清楚所存在的规律．根据图形分别写出相应的，，，…，发现其规律得，再利用规律求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， …， 则， 则 ． 故答案为：． 41．如图，一张桌子每边可以坐2人，一共可以坐8个人，用这种相同的桌子拼成一排． (1)2张桌子拼成的长条桌可以坐______人，3张桌子拼成的长条桌可以坐______人； (2)用含n的代数式表示n张桌子拼成的长条桌可以坐多少人？ (3)如果长条桌要提供100个座位，则最少需要多少张这样的桌子？ 【答案】(1)12，16 (2) (3)24 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）根据（1）可知每增加一张桌子，人数就增加4人，进而可得规律； （3）根据（2）中规律可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：2张桌子拼成的长条桌可以坐（人）； 3张桌子拼成的长条桌可以坐（人）； 故答案为12，16； （2）解：由（1）可知： 1张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐人，3张桌子可以坐人，……多一张桌子多坐4人，以此类推，n张桌子可以坐（人）； 答：n张桌子拼成的长条桌可以坐人； （3）解：由（2）可知：， ∴， 答：最少需要24张这样的桌子． 42．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是______； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①将第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积分别记作，，，那么______，______，______．（请用含的代数式表示，结果保留） ②当时，请求出第2025个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)25，； (2)①，，；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第5个和第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②由①可知正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值，将代入①中求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形内圆的个数是， 第2个图形内圆的个数是， 第3个图形内圆的个数是， 第4个图形内圆的个数是， …， 第5个图形内圆的个数是， 第n个正方形中圆的个数为个； 故答案为：25，； （2）解：①第1个图中的阴影部分面积为 =， 第2个图中的阴影部分面积为， 第3个图中的阴影部分面积为， 故答案为：，，； ②由①可知正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值， 则当时，第2025个正方形中阴影部分的面积为：． 题型八、图形规律与乘方计算结合 43．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ； 依此类推，如图3，_________； 如图4，_________； … _________． 【规律应用】计算的值． 【方法迁移】类比以上问题的探究思路，_________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． （1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （2）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （3）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）； （3）． 44．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （4）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， ①则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （4）解：拓展：原式 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积m等分， 所有空白部分的面积之和为，最后阴影部分的面积是． ． 故答案为：． 45．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为： 第③部分的面积为： …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 46．如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据题意填表即可． （2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，由即可得出的值． 本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积等知识． 【详解】（1）解：解：上表填写如下： 进行的次数 1 2 3 剩下图形的面积 故答案为：，，． （2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为， ∴， 则， 故答案为：． 47．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，有理数的运算． （1）根据题意先表示出①至⑥的面积，再总结规律即可作答； （2）结合（1）的规律，即可作答； （3）结合（1）的规律，即可作答. 【详解】（1）解：①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， 阴影面积与⑥的面积相等，即为； （2）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：， 故答案为：； （3）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成2024个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：． 48．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲、乙两位同学分别求式子的值的方法： 甲同学的方法：直接利用已知正方形图形求， ； 乙同学的方法：设①， ②． 即可． 根据两位同学的方法，你认为 ； (3) ； (4)计算：； (5)请借助甲或者乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据计算即可求解； （2）甲同学：，乙同学：得，计算即可得出结果； （3）设，则，即可得出，计算即可得出结果； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，可求出图中阴影部分的面积，得出规律，乙同学得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）甲同学：， 乙同学：①；②， 得：， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得：， 故答案为：； （4）令①， ②， 得：， ； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的， 则图中阴影部分的面积为 ， ， 乙同学：令①， ②， 得：， 解得：， 的值为． 49．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类．根据题意求出前几个数，发现其规律再进行求解即可． 【详解】解：当时， 由题意可求得，，解得， 则， 由题意可求得，，解得， 则， 同理，，，， 故的值6次一循环的规律出现， 而， ∴的值与相同，是， 故选：D． 50．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，取，则有…，按此规则运算下去，第2025次“F”运算的结果是（    ） A． B．16 C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算．根据题目定义的“F”运算规则，从进行多次运算，观察结果的变化规律．发现从第5次运算开始，结果在1和4之间循环，奇数次运算结果为1，偶数次为4．第2025次为奇数次，故结果为1． 【详解】解：初始运算：当时，前几次运算结果为： 第1次：12是偶数，； 第2次：3是奇数，； 第3次：10是偶数，； 第4次：5是奇数，； 第5次：16是偶数，． 第6次：1是奇数，； 第7次：4是偶数，； 第8次：， 第9次：， 依此类推． 循环规律：从第5次开始，运算结果进入循环，奇数次结果为1，偶数次结果为4． 2025为奇数，对应循环中的奇数次位置，结果为1． 综上，第2025次“F”运算的结果是1， 故选：D． 51．虎头岩校区某学生活动区域按如图规律铺地砖，第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，．．．．．．，则第6个图案中有白色地砖(    ) 块 ． A．24 B．26 C．28 D．36 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第1个图形中有白色地砖6块，后一个图形中白色地砖的数量比前一个图形中的白色地砖多4块，进行求解即可． 【详解】解：观察可知，第1个图形中有白色地砖6块，后一个图形中白色地砖的数量比前一个图形中的白色地砖多4块， ∴第个图形中有白色地砖（块）， ∴第6个图案中有白色地砖块； 故选B． 52．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2025次相遇在哪条边上？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据题意得出从第1次相遇开始，相遇点每四次循环一次是解题的关键．根据题意，分别求出每次相遇时的位置，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令正方形的边长为a， 因为甲，乙分别从A和C出发，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动， 所以第1次相遇时两人所走的路程之和为 又因为乙的速度是甲的3倍， 所以第1次相遇时甲走的路程为，乙走的路程为， 所以第1次相遇时在的中点处． 因为第2次相遇时，两人又走了， 所以甲走了， 所以第2次相遇时在的中点处， 依此类推，第3次相遇时在的中点处，第4次相遇时在的中点处，第5次相遇时在的中点处，…， 由此可见，从第1次相遇开始，相遇点每四次循环一次． 因为， 所以第2025次相遇时在的中点处． 故选：A 53．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究．解题的关键是掌握流程图，得到相应的数字的规律．根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律：从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答． 【详解】解：开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16， 第2次输出的结果是8， 第3次输出的结果是4， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， ……， ∴从第3次开始，每3次一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果与第3次输出的结果相同，即为4； 故选：C． 54．数轴上所有整数点处均安装有固定灯，初始时仅点亮表示0的点处的灯．按规律切换亮灯点：第一次，在当前亮灯点处左2个单位长度，点亮该位置的灯，之后每次的亮灯都与前一次方向相反，且距离比前一次多2个单位长度．则第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数字类规律探索，总结归纳出数字变化的规律是解题的关键．依次计算出前几次点亮的灯在数轴上对应的数，归纳出规律即可求解． 【详解】解：第1次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第2次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第3次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第4次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第5次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第6次点亮的灯在数轴上对应的数是， …… 依此类推，第次点亮的灯在数轴上对应的数是，第次点亮的灯在数轴上对应的数是， 当时，即， 此时， ∴第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是． 故答案为：． 55．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 （填序号） ①；②；③；④ 【答案】③ 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”和“正方形数”的特点是解题的关键．根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个等式中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：由题意，“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和，“正方形数”可看成某个自然数的平方， 13不是正方形数，故①不符合题意； 9和16不是三角形数，故②不符合题意； 是正方形数，，是两个相邻的三角形数，故③符合题意； 18和31不是三角形数，故④不符合题意； 故答案为：③． 56．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查图形类的规律问题，由题意可得，据此即可解答，掌握“错位相减法”是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 57．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸；十二地支即子，丑，寅，卯，辰， 巳，午，未， 申，酉，戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．年是甲辰年，高斯出生于年，该年是 年． 【答案】丁酉 【分析】本题考查合理推算和演绎推算相关问题，读懂并理解题意掌握推算方法是解题的关键，根据题意天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期，求出相隔年数再由周期性判断即可． 【详解】解：由题可得： 天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期， ∵年与年相隔：年， ∴，即天干有个周期，余7年， 即地支有个周期，余7年， ∵甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉， ∴年为丁酉年， 故答案为：丁酉． 58．已知观察这些数，请你按以上计算结果规律填空：的个位上的数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查数字规律，由题中可以看出，以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字． 【详解】解：以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的， ， 所以的个位数字是1， 故答案为：1． 59．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)按此规律，写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字类规律探索，根据已知式子找出规律是解题的关键． （1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）利用错位相减的方法求解． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式 ， 第5个等式 ； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式 ， ……， ∴； （3）解： ． 60．阅读并回答下列问题： 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达伊尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，第二个小格里给2粒，第三个小格里给4粒，以后每个小格都比前一个小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，满足宰相要求的麦粒到底有多少呢？ 即求的值，如何求它的值呢？ 设，① 则 ．② 得． (1)求的值（写出计算过程）． (2)求的值（写出计算过程）． (3)如图，假设一棵小树的主干向上长出3根支干，每个支干又长出3根小分支，按此规律继续生长，则第次生长后，这棵小树的主干、支干、小分支的总数是_______根．（假设每次生长，新长出来的3根支干都不和生长前的支干共线） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，可得，据此可得答案； （3）由题意得，第n次生长后，这棵树的枝干共有：，据此仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴得， ∴； （2）解：设， ∴ ∴得， ∴， ∴； （3）解：由题意得，第n次生长后，这棵树的枝干共有：， 设， ∴， ∴得， ∴． 故答案为：． 61．在通常日历牌上，可以看到一些数所满足的某些规律，下面是某年某月份的日历牌： 我们在日历牌中用不同的方式选择了四个数，它们分别构成了“矩形”和“平行四边形”．对甲种选择，我们发现，对角线上两数的差为7；对乙种选择，我们发现，对角线上两数积的差为6；对丙种选择，我们发现，对角线上两数积的差为56．这些规律是否具有一般性，请再选择其它数试试，如果你认为不具有一般性，请举反例；如果你认为具有一般性，请用代数式的运算加以说明． 【答案】见解析 【分析】本题通过日历考查了规律型：数字的变化．因为日历上的数据排列规律为左右相邻的数相差1，上下相邻的两个数相差7，根据整式的运算可得出规律． 【详解】解：这些规律具有一般性，理由如下 甲：设最小的一个数为x，则 ． 即每个阴影部分的4个位置上的数交叉相乘，再相减的差为7； 乙：设最小的一个数为x，则 ． 即每个阴影部分的4个位置上的数交叉相乘，再相减的差为6． 丙：设最小的一个数为x，则 ． 即每个阴影部分的4个位置上的数交叉相乘，再相减的差为56． 62．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律，用代数式表示数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出则，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第6个等式为 即 第10个等式为， 即． 故答案为：，； （2）解：根据（1）以及题干过程得出第n个等式：， 故答案为：； （3）解：依题意， ∵ ∴ 同理可得 ， ……， ， ∴ ． 63．阅读理解： 如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 ● ○ 7 … (1)可知 ， ， ． (2)试判断第2025个格子中的数是多少，并给出相应的理由． (3)判断：前n个格子中所填整数之和能否为2025？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为累差值．例如：前三项的累差值为，则前三项的累差值为 ；若取前十项，那么前十项的累差值为多少？（请给出必要的计算过程） 【答案】(1)1，7， (2)第2025个格子中的数是，理由见解析 (3)能， (4)20； 【分析】本题主要考查了数字变化规律型、绝对值、有理数的四则混合运算等知识点，弄清题中的规律是解题的关键． （1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，发现规律，进行转化求解即可； （2）写出前几个数，找出规律，然后利用规律求解即可； （3）找出相加的规律进行计算即可判断； （4）求出前三项的累差值，并求出前十项的累差值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴，， ∴，， ∴所有数字是1，7，○三个数的循环， ∵第9个数是， ∴． 故答案为：1，7，． （2）解：第2025个格子中的数是；理由如下： 这一列数为：1，7，，1，7，……， ∴， ∴第2025个格子中的数是． （3）解：前n个格子中所填整数之和能为2025；理由如下： ∵，而， ∴； （4）解：根据题意得：； 由于前10个数中1出现了4次，而7与各出现了3次， ∴前10项的累差值 ， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 代数式中数字类、图形类规律探索8大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数字类规律探索 1 题型二、数字规律问题之个位数问题 2 题型三、数字规律问题之错位相减计算 3 题型四、数字规律问题之杨辉三角问题 5 题型五、数字规律问题之天干地支问题 6 题型六、数字规律问题之f（x）型计算问题 8 题型七、图形类规律探索 8 题型八、图形规律与乘方计算结合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数字类规律探索 1．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 2．一定规律排列的一列单项式如下：，，，，，第2025个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．观察下列等式：①；②；③；…… 猜想并写出第n个等式： ． 4．观察下列各式：，，，，…，根据你发现的规律，第n个等式是 ． 5．观察下列等式，找出规律然后空格处填上具体的数字． ； ； ； ； ______； (1)第5个式子等号右边应填的数是______； (2)根据规律填空：______． 6．如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1)填空： ， 第个格子中的数是 ． (2)前个格子中所填整数之和是否可能为?若能，求出符合条件的的值；若不能，请说明理由， 题型二、数字规律问题之个位数问题 7．计算：，，，，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（    ） A． B． C． D． 8．观察下列等式，它们的个位数字有什么规律，的个位数字是（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 9．观察下列算式：， ， ，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 . 10．观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3：，个位数字是1；，个位数字是7…根据其中规律可得的结果的个位数字是 ． 11．小学阶段我们学习了加减乘除四种运算，进入初中阶段我们又学习了一种新的运算——乘方，乘方表达式可以用来表示数学关系，也可以应用于多个学科，比如数学、物理、化学等，它还可以表达各种科学关系．请利用我们所学的知识来解决下面的数学问题． (1)计算：①，②，③，④，⑤ ，…，写出第5个关系式并归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是______． (2)计算：． 12．【探索．发现】通过计算填空． __________ __________ …… 观察等式，合情猜想．得出一般性的规律： __________ 【迁移应用】利用上面的规律解答下列各题 计算：的值． 计算：的值． 确定的结果的个位数字． 题型三、数字规律问题之错位相减计算 13．阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式＝__________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 14．请先阅读下列内容，然后解答问题： 因为，，，……． (1)按照以上式子得出的规律，可得出________，________； 若为正整数，从而进一步猜想得到________； (2)模仿以上方法计算． 15．观察下列等式，，， 以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出_______； (2)直接写出计算结果：________； (3)探究并计算：________； (4)若与互为相反数，计算________． 16．观察下列等式 以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出______； (2)直接写出计算结果：______； (3)探究并计算： (4)计算： 17．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：______（用含n的代数式表示）； (2)______； (3)探究并计算：． 18．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：__________；用含有的代数式表示第个等式：________（为正整数）； (2)求的值； (3)探究：若，则__________ 题型四、数字规律问题之杨辉三角问题 19．我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 则第8行的第4个数为（    ） A．25 B．35 C．45 D．55 20．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，，按照图中数据规律， 的值为（   ） A． B． C． D． 21．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，发现其中的规律．若“杨辉三角”第十行各数之和为m，展开的多项式中各项系数之和为n，则 ． 22．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 23．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式：_____． (2)利用上面的规律计算：． 24．如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 …… (1)填出展开式中第二项系数是__________； (2)求的展开式． (3)请你利用上述规律的逆运算计算： ． 题型五、数字规律问题之天干地支问题 25．天干地支纪年法是中华传统文化的瑰宝，有十个天干与十二个地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 将天干和地支依次组合，各自循环，如甲子，乙丑，丙寅……以此来表示不同的年份．2025年为乙巳年，那么中华人民共和国成立的年份为（   ） A．辛亥 B．辛酉 C．丁卯 D．己丑 26．天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 27．天干地支纪年法是我国的文化瑰宝．其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2025年是“乙巳”年，那么据此推算，2225年用天干地支纪年法对应的年份是（    ）年 A．乙巳 B．庚未 C．乙丑 D．丙戌 28．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、 巳、午，未、 申、酉、戌、亥 ．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，中华人民共和国成立的1949年是己丑年，今年是2024年，也是伟大的中华人民共和国成立75周年，则2024年是 年．(用天干地支纪年法表示) 29．我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行： 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯年…… （1）在上面的天干排列中，丙第（是正整数）次出现时，是位于从左向右的第 列（用含的式子表示）； （2）2023年是癸卯年，癸卯可以位于从左向右的第 列（写出一个即可）． 30．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．恰好整除时，把除数看作余数．以2022年为例：天干为；地支为．对照天干地支表得出， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2049年为农历 ． 题型六、数字规律问题之f（x）型计算问题 31．已知，其中表示当时代数式的值，如，，（   ） A． B． C．2024 D．2025 32．对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A． B．4043 C． D．4045 33．对于正数，规定，例如：，，，，计算： ． 34．已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 35．如果记当时，；当时，；当时，…，求代数式的值． 36．对于正数，规定，例如．计算：． 题型七、图形类规律探索 37．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒，……，若按照这样的方法拼成的第100个图形需要的小木棒根数为（   ） A．658 B．798 C．660 D．786 38．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个五角星，第2个图形一共有8个五角星，第3个图形一共有18个五角星，第4个图形中有32个五角星，…，则第12个图形中五角星的个数为（    ） A．256 B．288 C．216 D．314 39．下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是 ． 40．如图所示，将一些半径相同的小圆圈“ ○” 按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中“ ○” 的个数为，第2个图形中“ ○” 的个数为 ，第3个图形中“ ○” 的个数为 ，以此类推，则的值为 ． 41．如图，一张桌子每边可以坐2人，一共可以坐8个人，用这种相同的桌子拼成一排． (1)2张桌子拼成的长条桌可以坐______人，3张桌子拼成的长条桌可以坐______人； (2)用含n的代数式表示n张桌子拼成的长条桌可以坐多少人？ (3)如果长条桌要提供100个座位，则最少需要多少张这样的桌子？ 42．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是______； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①将第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积分别记作，，，那么______，______，______．（请用含的代数式表示，结果保留） ②当时，请求出第2025个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 题型八、图形规律与乘方计算结合 43．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ； 依此类推，如图3，_________； 如图4，_________； … _________． 【规律应用】计算的值． 【方法迁移】类比以上问题的探究思路，_________． 44．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 45．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 46．如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 47．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 48．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲、乙两位同学分别求式子的值的方法： 甲同学的方法：直接利用已知正方形图形求， ； 乙同学的方法：设①， ②． 即可． 根据两位同学的方法，你认为 ； (3) ； (4)计算：； (5)请借助甲或者乙同学的方法，求出的值． 49．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（   ） A． B． C． D． 50．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，取，则有…，按此规则运算下去，第2025次“F”运算的结果是（    ） A． B．16 C．4 D．1 51．虎头岩校区某学生活动区域按如图规律铺地砖，第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，．．．．．．，则第6个图案中有白色地砖(    ) 块 ． A．24 B．26 C．28 D．36 52．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2025次相遇在哪条边上？（   ） A． B． C． D． 53．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 54．数轴上所有整数点处均安装有固定灯，初始时仅点亮表示0的点处的灯．按规律切换亮灯点：第一次，在当前亮灯点处左2个单位长度，点亮该位置的灯，之后每次的亮灯都与前一次方向相反，且距离比前一次多2个单位长度．则第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是 ． 55．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 （填序号） ①；②；③；④ 56．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，则 ．    57．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸；十二地支即子，丑，寅，卯，辰， 巳，午，未， 申，酉，戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．年是甲辰年，高斯出生于年，该年是 年． 58．已知观察这些数，请你按以上计算结果规律填空：的个位上的数是 ． 59．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)按此规律，写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算：． 60．阅读并回答下列问题： 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达伊尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，第二个小格里给2粒，第三个小格里给4粒，以后每个小格都比前一个小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，满足宰相要求的麦粒到底有多少呢？ 即求的值，如何求它的值呢？ 设，① 则 ．② 得． (1)求的值（写出计算过程）． (2)求的值（写出计算过程）． (3)如图，假设一棵小树的主干向上长出3根支干，每个支干又长出3根小分支，按此规律继续生长，则第次生长后，这棵小树的主干、支干、小分支的总数是_______根．（假设每次生长，新长出来的3根支干都不和生长前的支干共线） 61．在通常日历牌上，可以看到一些数所满足的某些规律，下面是某年某月份的日历牌： 我们在日历牌中用不同的方式选择了四个数，它们分别构成了“矩形”和“平行四边形”．对甲种选择，我们发现，对角线上两数的差为7；对乙种选择，我们发现，对角线上两数积的差为6；对丙种选择，我们发现，对角线上两数积的差为56．这些规律是否具有一般性，请再选择其它数试试，如果你认为不具有一般性，请举反例；如果你认为具有一般性，请用代数式的运算加以说明． 62．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：． 63．阅读理解： 如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 ● ○ 7 … (1)可知 ， ， ． (2)试判断第2025个格子中的数是多少，并给出相应的理由． (3)判断：前n个格子中所填整数之和能否为2025？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为累差值．例如：前三项的累差值为，则前三项的累差值为 ；若取前十项，那么前十项的累差值为多少？（请给出必要的计算过程） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $