专题03 一元一次方程章末易错压轴题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题03 一元一次方程章末易错压轴题型（16易错+6压轴） 目录 易错题型一、一元一次方程的定义 易错题型二、一元一次方程的解 易错题型三、一元一次方程解法 易错题型四、一元一次方程的同解问题 易错题型五、一元一次方程的整数解问题 易错题型六、一元一次方程的错看、漏解问题 易错题型七、一元一次方程解的关系 易错题型八、绝对值方程 易错题型九、列一元一次方程 易错题型十、配套问题 易错题型十一、销售问题 易错题型十二、方案问题 易错题型十三、动点问题 易错题型十四、水电费问题 易错题型十五、日历问题 易错题型十六、行程问题 压轴题型一、一元一次方程的含参问题 压轴题型二、绝对值方程综合 压轴题型三、一元一次方程的销售问题 压轴题型四、一元一次方程的方案问题 压轴题型五、一元一次方程的动点问题 压轴题型六、一元一次方程的新定义问题 易错题型一、一元一次方程的定义 1．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握和运用一元一次方程的定义是解决本题的关键．根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，即可判定． 【详解】解：A．，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故选项不符合题意； B．，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意； C．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，故选项不符合题意； D．， 含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 2．若关于的方程是一元一次方程，则的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．一切有理数 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，得到，即或，且，解得，即可解答． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 即或，且， 解得． 故选B． 3．若 是关于的一元一次方程，则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，解题的关键是注意要保证一次项系数不能为0；根据最高次数是1，一次项系数不能为0得到关于a的方程，进而得到答案即可； 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴取， 故答案为：． 易错题型二、一元一次方程的解 4．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 5．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】①把代入得：，故结论①正确； ②方程可化简为． 若，则方程解为（唯一解）． 若，方程变为，有无穷多解． 题目中“有唯一解”需满足，故结论②正确． ③，则，方程移项，得：，则，则结论③错误； ④把代入1，方程一定成立，则一定是方程的解，结论④正确． 故选：B． 6．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求出m的值，进而得到原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 故答案为：． 易错题型三、一元一次方程解法 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确的运算是解题的关键； （1）（2）（3）（4）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为即可求解； 【详解】（1）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； （2）解：去分母，， 移项，， 系数化，； （3）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，； （4）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，． 易错题型四、一元一次方程的同解问题 10．关于的方程与的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出两方程的解，两解相等得出，就得到关于的方程，即可解答. 【详解】解：， ， 关于的方程与的解相同， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程，正确求解方程，理解方程解的含义是解题的关键. 11．若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，代数式求值，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 首先求出方程的解为，然后代入求出，然后代入求解即可． 【详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 根据题意得，关于的方程的解为 ∴ 解得 ∴． 故答案为：14． 12．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程，方程的解；理解题意，先求出方程的解代入，再求解即可确定a的值，代入求解即可． 【详解】解：由方程得：， 将代入方程得： ， 解得：， ∴． 易错题型五、一元一次方程的整数解问题 13．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得是5的约数，得出满足题意的所有k值，算出和即可． 【详解】解：先求解方程， 解得：， ∵x为整数，且k是正整数， ∴或者 ∴k的值为1或3， ∴所有k值的和为， 故选：A． 14．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 15．定义，若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”． (1)判断，是不是方程的“友好系数”，并写出判断过程． (2)若方程有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”． 【答案】(1)和都是方程的“友好系数”； (2)或或2． 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）分别将和代入方程，求出方程的解，再判断即可； （2）解方程得，当是整数时，也是整数，由此可得方程的“友好系数”． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴为此方程的“友好系数”； 当时，， 解得， ∴为此方程的“友好系数”； （2）解：， ， ， 为整数， ， ， 解得：， 要使的值为整数，则，，，， 为整数， ∴或或2． 易错题型六、一元一次方程的错看、漏解问题 16． 某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查方程错解问题，方程的解，解一元一次方程，掌握方程错解问题的解题方法，方程的解，解一元一次方程方法是解题关键． 设□用a表示，则方程是，根据方程的错解代入，解关于a的方程即可． 【详解】解：设把□处数字看成， 把代入得：， 解得：， 故选：C． 17．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为： ． 18．解关于的方程时，小琪在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母4，因而求得方程的解为，则原方程正确的解是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的错解复原问题，先根据题意得到是方程的解，解方程得到，进而得到原方程为，再解原方程即可． 【详解】解：依题意，得是方程的解， ． 整理，得， 解得， 原方程为 ∴， ∴， ∴， 解得，即原方程正确的解为． 易错题型七、一元一次方程解的关系 19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 【详解】解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 20．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题目信息，理解无限循环小数转化为分数的方法是解题的关键．设，表示出，然后相减解得出关于的一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：设，则， ， 即， 解方程得， 即． 故答案为：． 21．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）解方程，再将求出的解代入方程即可求出； （2）解关于的方程，再将求出的解代入方程即可求出． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得，   合并同类项，得， 两边都除以5，得． 把代入，得，所以． （2）由方程，得．把 代入，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以11，得． 易错题型八、绝对值方程 22．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 23．已知，那么 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，．根据绝对值的意义得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，， 故答案为：4或． 24．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 易错题型九、列一元一次方程 25．甲、乙两辆汽车从相距的两地同时出发相向而行，甲车的速度为，3小时后两车相遇，设乙车的速度为，列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据两车行驶路程和等于总路程即可列出相应的方程． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：C． 26．物理学“杠杆原理”为：动力×动力臂=阻力×阻力臂（如图1），数学实验社团在活动课上用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验，如图2，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂码，每个钩码质量是，若，，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，杠杆的平衡条件有关内容，熟知杠杆的平衡条件：动力动力臂阻力阻力臂是解题的关键． 直接利用杠杆的平衡条件：动力动力臂阻力阻力臂即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 27．《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题得关键. 设太仓距上林里，利用时间路程速度，结合日往返次，即可得出关于的方程． 【详解】解：设太仓距上林里， 依题意得：． 故答案为：． 易错题型十、配套问题 28．一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器（刚好用完，无浪费），恰好配成这种仪器 套． 【答案】160 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设用作A部件，则用作B部件，根据一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，得到部件的数量是部件的3倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设用作A部件，则用作B部件， 由题意，得：， 解得：， ∴， 故恰好配成这种仪器160套； 故答案为：160． 29．某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 30．在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 【答案】分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解． 【详解】解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得：       答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾． 易错题型十一、销售问题 31．某商场将一种家庭组合音响在进价2000元/套的基础上增加元进行售卖．在一次电商购物节中，将这种组合音响打9折促销，已知打折后的利润率为打折前的利润率的一半，求这种家庭组合音响打折前的售价． 【答案】2500元/套 【分析】本题考查一元一次方程的销售问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知这种家庭组合音响打折前的售价为元/套，打折后的售价为元/套，由打折后的利润率为打折前的利润率的一半，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得， ∴ 答：这种家庭组合音响打折前的售价为2500元/套． 32．某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克）   甲种 5 8 乙种 9 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克 (2)该水果店按销售价销售完这批水果，获得的利润是495元． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，确定相等关系是解本题的关键. （1）设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克．根据“用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克”建立方程求解即可. （2）由两种水果的利润之和等于总利润可得答案． 【详解】（1）解：设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克． 依题意得． 解得：， ∴． 答：甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克． （2）解： ． 答：该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是495元． 33．小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省元． 易错题型十二、方案问题 34．在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生； (2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 35．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 36．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 【答案】(1)本市与A市之间的路程是400千米 (2)当时，选择火车运输合算；当时，选择汽车运输合算；当时，两种方式都一样 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类问题的关键． （1）设路程为x千米，题中等量关系是：汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程求解即可； （2）分别算出的火车和汽车所需的运费，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设本市与A市之间的路程是x千米， 根据题意得：， 解得：， 答：本市与A市之间的路程是400千米． （2）选择汽车运输的费用为：， 选择火车运输费用为：， 当两者相等时，， 解得：， 即当时，选择火车运输合算； 当时，选择汽车运输合算； 当时，两种方式都一样． 易错题型十三、动点问题 37．如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 【答案】(1)30，40 (2)15秒或5秒 (3)14秒或10秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设数轴上点B对应的数是x，根据点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N的距离为5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N分别到点B的距离相等，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设数轴上点B对应的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴， 数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是 故答案为：30，40； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过15秒或5秒，点M，N的距离为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过14秒或10秒，点M、N分别到点B的距离相等． 38．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，点B所对应的数是 ； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，则A、B两点间距离为 ； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)4 (2)16 (3)6秒或10秒 【分析】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解题的关键是根据行程的问题的数量关系建立方程求解． （1）根据点的平移规律解答即可； （2）先求出运动的时间，再计算两点之间的距离即可； （3）设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，分两种情况：运动后的B点在A右边4个单位长度， 运动后的B点在A点左边4个单位长度，列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：， 故点B所对应的数为4； 故答案为：4． （2）解：（秒）， （个单位长度）． 故A，B两点间距离是16个单位长度； 故答案为：16； （3）解：运动后的B点在A点右边4个单位长度， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 ， 解得； 运动后的B点在A点左边4个单位长度， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有 ， 解得． 故经过6秒或10秒，A，B两点相距4个单位长度． 39．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． （1）①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案；②根据前边几次跳动得出规律计算可得； （2）①根据表示的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案；②根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解；③通过来推出对应的数，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：， 故选：D． ②如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为：， 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是； 故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， 设表示2024的点与表示x的点重合，则， 解得：， ∴表示2024的点与表示重合； 故答案为：； ②根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点， ∴点C表示的数：． 易错题型十四、水电费问题 40．为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 【答案】(1)需缴电费183元； (2)小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）先根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可； （2）设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度，分，及三种情况考虑，根据小悦家四、五月份共缴电费199元，可列出关于x的一元一次方程求解并取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：需缴电费183元． （2）解：设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 41．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的，该市自来水收费价目表，如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题 价目表（水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出但不超出的部分 4元/ 超出的部分 6元/ (1)若某户某月用水，则付水费为______元． (2)如果月用水量用来表示，实付金额用y（元）来表示． 当时， ______． 当时，______ (3)若两户居民A，B某月份共用水（A用水量超过B），A，B两户共缴水费68元，则居民A和B该月各用水多少立方米? 【答案】(1) (2)， (3)A户用水量为，B户用水量为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据不同的用水量区间，按照相应的单价来计算水费是解决本题的关键． （1）根据用水量超出，共需要三段计费，直接根据各区间单价计算总水费即可． （2）根据不同区间的计费方式分别计算出不同区间的水费，再列出表达式即可． （3）需要通过设未知数，即设B户用水，可得A户用水，根据总用水量和总水费列出方程求解即可． 【详解】（1）解：不超出的部分水费为元． 超出但不超出的部分水费为元． 超出的部分水费为元． 总水费为元． （2）解：当时： 不超出的部分水费为元． 超出的部分水费为元． 那么． 当时： 不超出的部分水费为元． 超出但不超出的部分水费为元． 超出的部分水费为元． 那么． （3）解：设B户用水，所以A户用水，且，． 分情况讨论： 当时： B户水费为元． A户水费：不超出的部分费用为元； 超出但不超出的部分费用为元； 超出的部分水量是，这部分费用为元， A户水费为元． 两户共缴水费68元，可列方程．解得． 则A户用水量为． 当时： B户水费为元． A户水费：不超出的部分费用为元； 超出但不超出的部分费用为元； 超出的部分水量是，这部分费用为元， A户水费为元． 两户共缴水费68元，可列方程．解得， 不满足，舍去． 综上，A户用水量为，B户用水量为． 42．列一元一次方程解决实际问题 为了平衡电力负荷，减少用电高峰时段用电和不必要的能源消耗，某省居民生活用电可申请“峰谷电”，两种收费标准如下： 未申请峰谷电即阶梯电价收费标准： 月用电总量（单位：千瓦时） 电价（单位：元/千瓦时） 230及以下部分 超过230至400部分 超过400部分 峰谷电收费标准： 高峰电价 低谷电价 元/千瓦时 元/千瓦时 (1)小明家5月份用电总量为400千瓦时，其中高峰时间段用电量为150千瓦时，低谷时段用电量为250千瓦时，如不申请峰谷电，应付电费________元，若申请峰谷电，应付电费________元． (2)小强家未申请峰谷电，7月份一共付电费元，7月份的用电总量为________千瓦时；8月份一共付电费元，8月份的用电总量为________千瓦时； (3)小强听朋友介绍峰谷电节能且收费便宜，于是9月份就申请了峰谷电，九月份用电总量是330千瓦时，经计算申请峰谷电后比申请前节约了元，求小强家9月份的高峰时段用电量是多少？ 【答案】(1)；158 (2)300；500 (3)100千瓦时 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）根据两种计费方式进行求解即可； （2）根据题意可得7月份用电量超过230千瓦时，未超过400千瓦时，根据未申请峰谷电的方式，计算即可；可设小强家8月份用电总量为x千瓦时，根据未申请峰谷电的方式进行列方程计算即可； （3）设小强家9月份的峰时用电量为y千瓦时，根据两种方式相差元可列出方程求解． 【详解】（1）解：不申请峰谷电，应付电费为元； 申请峰谷电，应付电费为：元， 故答案为：；158 （2）解：∵，且， ∴7月份用电量超过230千瓦时，未超过400千瓦时， ∴千瓦时； ∵， ∴8月份用电量超过400千瓦时， 设小强家8月份用电总量为x千瓦时，依题意得： ， 解得：， 答：小强家8月份用电总量为500千瓦时； 故答案为：300；500 （3）解：设小强家9月份的峰时用电量为y千瓦时，依题意得： ， 解得：， 答：小强家9月份的峰时用电量为100千瓦时． 易错题型十五、日历问题 43．将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的平均数与27相等 (2)能， 【分析】（1）先算出十字框中的五个数的平均数，然后判断与的关系； （2）设中间的数是，表示出其余个数，然后列出方程并求解，再根据是奇数且前后都有奇数解答． 【详解】（1）解：相等. ． 故十字框中的五个数的平均数与相等． （2）解：能． 设中间的数是，则其余个数分别为，，，， 则五个数的和为， ， 则其上面的数为， 其下面的数为， 其左边的数为， 其右边的数为， 故这五个数为：，，，，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． 44．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不可以；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 45．（1）某年11月的日历如图1所示，用的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的为，用含的式子表示这三个数的和为______；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，用含的式子表示这三个数的和为______． （2）如图2，用的正方形框出4个数，是否存在被框出的4个数的和为80，如果存在，求出这四个数中的最小的数，如果不存在，并说明理由； （3）如图2，用的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行（灰色部分）共有6个数的和为，第3行3个数的和为．若，请求出正方形框中位于最中心的数． 【答案】（1）；；（2）存在被框出的4个数的和为80，且最小的数为16；（3）正方形框中位于最中心的数 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，列代数式，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握日历中数字规律． （1）根据日历中数的特点表示出另外两个数，然后三个数相加即可； （2）设这四个数的最小的数为x，则另外三个数为：，，，根据四个数的和为80，列出方程，解方程即可； （3）根据正方形框中位于最中心的数，，得出，求出x的值即可． 【详解】解：（1）一横行左右相邻的三个数，设最小的为，则另外两个数为，，这三个数的和为：； 一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，则另外三个数为，，这三个数的和为：； 故答案为：；． （2）设这四个数的最小的数为x，则另外三个数为：，，，根据题意得： ， 解得：， ∴存在被框出的4个数的和为80，且最小的数为16； （3）若正方形框中位于最中心的数，则： ， ， ∵， ∴， 解得：或， 根据图可知，在日历中最右边的一列数中，因此不符合题意， 故此时正方形框中位于最中心的数． 易错题型十六、行程问题 46．小华从A地步行到B地，然后从B地骑自行车返回A地，共用了2小时．已知小华骑自行车的速度为，步行的速度为，求A，B两地之间的距离． 【答案】 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小华从地步行到地所用的时间及从地骑自行车返回地所用的时间是解题的关键． 设A，B两地之间的距离为，则小华从A地步行到B地用小时，从B地骑自行车返回A地用小时，于是列方程得，解方程求出的值即可． 【详解】解：设A，B两地之间的距离为， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两地之间的距离为． 47．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【答案】(1)经过两车第一次相遇； (2)经过两车第二次相遇； (3)两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得，解方程即可求解； （2）根据题意得，解方程即可求解； （3）设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】（1）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第二次相遇； （3）解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： ①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有：， 解得． 综上所述，两车恰好相距时，行驶了或或或或． 48．甲、乙两地相距480km．A、B两车分别从甲、乙两地开出，A车速度为80km/h，B车速度为40km/h．同学们提出了如下问题： (1)两车同时开出，相向而行，出发后多少小时两车相遇？ (2)两车相向而行，A车提前半小时出发，B车开出后多少小时两车相遇？相遇地点距离甲地多远？ (3)两车同向同时开出，B车在前，出发后多少小时A车追上B车？ (4)两车背向而行，同时出发，行驶多少小时两车相距960km？ (5)请你解答上述问题，并提出类似问题 【答案】(1)出发后小时两车相遇. (2)车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地. (3)出发后小时车追上车. (4)行驶小时两车相距. (5)两车同向同时开出，车在前，出发后多少小时两车相距？ 【分析】根据行程问题中的基本关系，结合不同运动情况的等量关系，设时间为未知数，列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设出发后小时两车相遇 两车相向而行，相遇时路程和等于甲乙两地距离，因此： 合并同类项得： 系数化为得： 答：出发后小时两车相遇 故答案为：出发后小时两车相遇． （2）解：设车开出后小时两车相遇 车提前半小时出发，故车行驶时间为小时 两车相向而行，路程和为，因此： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： 相遇地点距离甲地的距离为车行驶的总路程： 答：车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地 故答案为：车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地． （3）解：设出发后小时车追上车 两车同向，追上时，比多行驶，因此： 合并同类项得： 系数化为： 答：出发后小时车追上车 故答案为：出发后小时车追上车． （4）解：设行驶小时两车相距 两车背向而行，初始距离，行驶后路程和加上初始距离为，因此： 合并同类项得： 移项得： 系数化为得： 答：行驶小时两车相距 故答案为：行驶小时两车相距． （5）（1）出发后小时两车相遇；（2）车开出后小时两车相遇，相遇地点距离甲地；（3）出发后小时车追上车；（4）行驶小时两车相距． 两车同向同时开出，车在前，出发后多少小时两车相距？ 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（行程问题），解题关键是根据不同运动状态，准确找出路程之间的等量关系，进而列出方程求解． 压轴题型一、一元一次方程的含参问题 49．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 50．已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先求的解，根据解的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故， 解得， 又a为正整数， 故a的最大值是13， 故选：A． 51．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据m的系数为0时符合题意，求解即可． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵两方程不是“2差解方程”， ∴， 整理得，， 当，即时，对于任意数m，都使得 ∴当时，对于任意数m，都使得方程与方程不是“2差解方程”， 故答案为：． 压轴题型二、绝对值方程综合 52．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 53．综合与探究 【知识背景】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是多少？数轴上表示和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为______． 【答案】（1）4，4；（2）；（3）4或－2；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的概念，熟练掌握数轴两点间距离的几何意义是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； 根据数轴上两点之间的距离公式用代数式表示； 根据绝对值的几何意义可得关于的方程，解方程求出的值即可； 根据绝对值的几何意义进行化简求值，注意分类讨论． 【详解】解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：， 或， 解得：或； 几何意义：数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时， 可得：， ， ， ； 当时， 可得：； 当时， 可得：， ， ； 当时，有最小值为． 54．同学们都知道，表示5与1之差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)______； (2)表示x与______之间的距离；表示x与______之间的距离； (3)当时，x可取整数______写出所有符合条件的整数； (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，的最小值为______． (5)当时，______． 【答案】(1)5； (2)2，； (3)，，，0，1，2； (4)10； (5)11或 【分析】本题考查了绝对值，熟练运用绝对值的几何意义和数轴是解决本题的关键． （1）根据绝对值几何意义，计算即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答； （3）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （4）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （5）根据绝对值几何意义和数轴，计算出范围，分类讨论，计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：5； （2）解：表示数轴上x与2这两点间的距离， 表示数轴上x与这两点间的距离． 故答案为：2，； （3）解：表示数轴上x到2和到的距离之和为5， 因为， 所以， 则x可取整数有，，，0，1， 故答案为：，，，0，1，2； （4）解：表示数轴上x到和到6的距离之和， 当时，距离之和最小值为． 故答案为：10； （5）解：时，或， 当时，原方程去绝对值后为， 解得， 当时，原方程去绝对值后为， 解得， 故答案为：11或． 压轴题型三、一元一次方程的销售问题 55．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 56．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 57．过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 【答案】(1) (2)该衣服打了折或折； (3)芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）结合题意算出当原价为元时，在商场应付费用，推出芳姐购买商品的原价大于，设她购买商品的原价为元，根据“打折后需付款元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意得到直接参加优惠付款费用，设衣服打了折，分情况当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，结合“该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，”建立方程求解并讨论，即可解题； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份，分以下几种情况： 当时；当时；当时，分别求解即可； 正解理解题意，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当原价为元时， 在商场应付费用为：（元）， ∵芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，且， ∴她购买商品的原价大于， 设她购买商品的原价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴她购买商品的原价是元， 故答案为：； （2）设衣服打了折， 根据题意得直接参加优惠付款费用为：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，即打折后价格不超过，所以该情形不存在； 综上所述，该衣服打了折或折； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份， ∵礼物一份单价元，一共花了元，且芳姐买的比老贾多， ∴原价的总价为，芳姐原价应超过， 当时，则， ∴， 该方程无解； ∵，则： 当时，则， 解得：， ∴（份）， 此时芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物； 当时，则， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物． 压轴题型四、一元一次方程的方案问题 58．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 59．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准： TAXI起步费：14元 超3km费：超过的部分2.2元/km 远途费：超过10km的部分，加价1元/km 小A出行 起步费：10元 里程费：2.4元/km 远途费：超过10km的部分，加价0.8元/km 时长费：0.4元/min（速度：40km/h） 请回答问题：元旦期间，小明外出游玩，约车时发现小A出行有总费用打八折的优惠活动．于是小明决定选乘小A出行．付费后，细心的小明发现，相同的里程，享受优惠活动后的小A出行的费用还是比出租车多了1.8元．求小明乘车的里程数． 【答案】6km或15km 【分析】设小明乘车里程数为km，分三种情况列方程解决问题． 【详解】解：设小明乘车的里程数为km. ：起步费元，超过km部分，每km元，超过km，每km加价元； 小A出行（优惠：总费用打8折）：起步费元，里程费，超过公里部分，每公里加价元；时长费（速度,因此时长为分钟，时长费元）. ①当时， 解得：(舍去)； ②当时， 解得：； 当时，， 解得： . 综上所述，小明乘车的里程数为6km或15km. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 60．一台仪器由一个部件和三个部件构成，用钢材可以做个部件或个部件． (1)现要用钢材制作一批这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能使这批仪器制作的尽可能多？这批仪器最多制成多少台？ (2)有一家公司计划租赁（1）中制成的这批仪器，按租赁时间（小时）有两种付费方式，如下表所示： 付费方式 基础租金 超时租金 方式一 当时，每台仪器收取租金50元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 方式二 当时，每台仪器收取租金元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 请你替该公司谋划一下，根据租赁时间选择哪种付费方式能比较节省费用? 【答案】(1)用 4 立方米做 ，2 立方米做 ，最多制成 台 (2)若 小时，选择方式一；若 小时，两种方式费用相同；若 小时，选择方式二 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设用 立方米钢材制作 部件，则剩余的 立方米制作 部件，根据一个部件和三个部件刚好配成套，列方程求解； （2）需要分、和这3种情况讨论，并且分别求出方式一和方式二的费用，然后综合比较，即可求解； 【详解】（1）解：设用 立方米钢材制作 部件，则剩余的 立方米制作 部件， ∴每个 部件需要 立方米，可生产个 ；每个 部件需要 立方米，可生产 个 ； ∵每台仪器需要 1 个和 3 个 ，因此 的数量需满足： （仪器台数）， 令 ，解得， 此时：部件数量： 个， 部件数量： 个，满足 ， 答：用 4 立方米做 ，2 立方米做 ，最多制成 台； （2）解：设租赁时间为 小时，总费用比较如下： ①当 ：方式一： 元， 方式二：元， ∴选择方式一； ②当：方式一：， 方式二： 元； 当 时，方式一费用为元，低于方式二， ∴选择方式一； ③当 ：方式一：， 方式二：， 解方程，得临界点， 当 时，方式一更省，当 时，方式二更省； 综上所述： 若小时，选择方式一；若小时，两种方式费用相同；若小时，选择方式二． 压轴题型五、一元一次方程的动点问题 61．如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动． (1)求a，b，c的值； (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)能，点P表示的数为或0或3或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点P表示的数为2，进而可求得 ，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点P在点Q右侧，两点同向而行，②当点P在点Q左侧，两点同向而行，③当点P在点Q左侧，两点背向而行，④当点P在点Q右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，， 因为点P在之间，且点P到点A的距离是到点C距离的3倍， 所以； 因为点C表示的数为8，点P在点C的左边， 所以点P表示的数为：， 所以； 因为点P以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点P的运动时间为：（秒）时，点P到点A距离是到点C距离的3倍； （3）解：能， 理由如下：点P从点B运动到点C需要（秒）， 而点Q从点A运动到点C需要（秒）， 点Q到达点C时，此时点P表示的数为2， 所以当点P从点B运动到点C的过程中，点Q从点A运动到点C，又从点C返回，因此可分为四种情况讨论： 点Q到达点C之前： ①点P在点Q右侧，两点同向而行，运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； ②当点P在点Q左侧，两点同向而行，运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； 点Q从点C返回后： ③当点P在点Q左侧，两点背向而行，运动时间为 秒，所以此时点P表示的数为； ④当点P在点Q右侧，两点背向而行，运动时间为秒，所以此时点P表示的数为 综上所述，点P表示的数为或0或3或 62．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【答案】（1）①；②0或；（2）或；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，根据新定义列出方程，认真理解新定义是解题的关键． （1）①求出两点之间距离，根据题中新定义再判断即可． ②设点所表示的数是x，根据得出，求解即可． （2）由题意得出，，根据，得出，列出方程或，求解即可． （3）由题意得出，，根据，得出，结合，化简得出，表示出，，得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点，，表示的数分别是，，3， ∴，故点不是的2值点； ，故点不是的2值点； ，故点是的2值点； 故答案为：； ②设点所表示的数是x， ∵， 则， 解得：或， 故答案为：0或； （2）由题意，，， ∵， ∴， 即或， 解得：或； （3）由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴． 63．【阅读理解】定义：对于数轴上不同的三个点，若满足，则称点是点关于点的“倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍特征点”，原点也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)填空：若点在和两点之间，其表示的数是，且点是点关于点的“倍特征点”，则______； (2)在数轴上取两点，点在点的右侧，且． 若，且点是点关于点的“倍特征点”，求的值； 若点与点重合，点和点同时以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点运动到点时，所有运动都停止，设运动时间为秒，当三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或；或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴表示数，数轴动点问题，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“倍特征点”，得出，然后解方程即可； （）由，则表示的数为或，再根据列出方程计算的值； 用时间表示出动点，再由条件需种情形分类讨论，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点是点关于点的“倍特征点”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴表示的数为或， ∵点是点关于点的“倍特征点”， ∴， 当表示时，表示， ∴，解得：； 当表示时，表示， ∴，解得：， 综上可知：的值为或； 由题意可知表示，表示， 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴； 若是关于的“倍特征点”， ∴，与题意不符，此情况不存在； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴， ∵，故舍去； 若是关于的“倍特征点”， ∴，与题意不符，此情况不存在； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴， 综上所述，或或． 压轴题型六、一元一次方程的新定义问题 64．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 65．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 66．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】解：（1）一元一次方程的解是， 方程的解是，，故不是“友好方程”， 方程的解是或，当时，，故是“友好方程”， 故答案是：②； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是， 若，，则，解得， 若，，则，解得， 综上，a的值是95或97； （3），解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵分母m不能为0， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程章末易错压轴题型（16易错+6压轴） 目录 易错题型一、一元一次方程的定义 易错题型二、一元一次方程的解 易错题型三、一元一次方程解法 易错题型四、一元一次方程的同解问题 易错题型五、一元一次方程的整数解问题 易错题型六、一元一次方程的错看、漏解问题 易错题型七、一元一次方程解的关系 易错题型八、绝对值方程 易错题型九、列一元一次方程 易错题型十、配套问题 易错题型十一、销售问题 易错题型十二、方案问题 易错题型十三、动点问题 易错题型十四、水电费问题 易错题型十五、日历问题 易错题型十六、行程问题 压轴题型一、一元一次方程的含参问题 压轴题型二、绝对值方程综合 压轴题型三、一元一次方程的销售问题 压轴题型四、一元一次方程的方案问题 压轴题型五、一元一次方程的动点问题 压轴题型六、一元一次方程的新定义问题 易错题型一、一元一次方程的定义 1．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程是一元一次方程，则的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．一切有理数 3．若 是关于的一元一次方程，则 易错题型二、一元一次方程的解 4．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 5．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 易错题型三、一元一次方程解法 7．解方程： (1) (2) 8．解方程： (1) (2) 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型四、一元一次方程的同解问题 10．关于的方程与的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ． 12．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 易错题型五、一元一次方程的整数解问题 13．已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 14．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 15．定义，若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”． (1)判断，是不是方程的“友好系数”，并写出判断过程． (2)若方程有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”． 易错题型六、一元一次方程的错看、漏解问题 16． 某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（   ） A．3 B． C．8 D． 17．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 18．解关于的方程时，小琪在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母4，因而求得方程的解为，则原方程正确的解是多少？ 易错题型七、一元一次方程解的关系 19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 20．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ． 21．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 易错题型八、绝对值方程 22．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 23．已知，那么 ． 24．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 易错题型九、列一元一次方程 25．甲、乙两辆汽车从相距的两地同时出发相向而行，甲车的速度为，3小时后两车相遇，设乙车的速度为，列方程得（　　） A． B． C． D． 26．物理学“杠杆原理”为：动力×动力臂=阻力×阻力臂（如图1），数学实验社团在活动课上用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验，如图2，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂码，每个钩码质量是，若，，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 27．《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 易错题型十、配套问题 28．一套仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器（刚好用完，无浪费），恰好配成这种仪器 套． 29．某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 30．在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 易错题型十一、销售问题 31．某商场将一种家庭组合音响在进价2000元/套的基础上增加元进行售卖．在一次电商购物节中，将这种组合音响打9折促销，已知打折后的利润率为打折前的利润率的一半，求这种家庭组合音响打折前的售价． 32．某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克）   甲种 5 8 乙种 9 13 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？ 33．小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 易错题型十二、方案问题 34．在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 35．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 36．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 易错题型十三、动点问题 37．如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 38．如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，点B所对应的数是 ； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，则A、B两点间距离为 ； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 39．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 易错题型十四、水电费问题 40．为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 41．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的，该市自来水收费价目表，如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题 价目表（水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出但不超出的部分 4元/ 超出的部分 6元/ (1)若某户某月用水，则付水费为______元． (2)如果月用水量用来表示，实付金额用y（元）来表示． 当时， ______． 当时，______ (3)若两户居民A，B某月份共用水（A用水量超过B），A，B两户共缴水费68元，则居民A和B该月各用水多少立方米? 42．列一元一次方程解决实际问题 为了平衡电力负荷，减少用电高峰时段用电和不必要的能源消耗，某省居民生活用电可申请“峰谷电”，两种收费标准如下： 未申请峰谷电即阶梯电价收费标准： 月用电总量（单位：千瓦时） 电价（单位：元/千瓦时） 230及以下部分 超过230至400部分 超过400部分 峰谷电收费标准： 高峰电价 低谷电价 元/千瓦时 元/千瓦时 (1)小明家5月份用电总量为400千瓦时，其中高峰时间段用电量为150千瓦时，低谷时段用电量为250千瓦时，如不申请峰谷电，应付电费________元，若申请峰谷电，应付电费________元． (2)小强家未申请峰谷电，7月份一共付电费元，7月份的用电总量为________千瓦时；8月份一共付电费元，8月份的用电总量为________千瓦时； (3)小强听朋友介绍峰谷电节能且收费便宜，于是9月份就申请了峰谷电，九月份用电总量是330千瓦时，经计算申请峰谷电后比申请前节约了元，求小强家9月份的高峰时段用电量是多少？ 易错题型十五、日历问题 43．将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 44．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 45．（1）某年11月的日历如图1所示，用的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的为，用含的式子表示这三个数的和为______；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，用含的式子表示这三个数的和为______． （2）如图2，用的正方形框出4个数，是否存在被框出的4个数的和为80，如果存在，求出这四个数中的最小的数，如果不存在，并说明理由； （3）如图2，用的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行（灰色部分）共有6个数的和为，第3行3个数的和为．若，请求出正方形框中位于最中心的数． 易错题型十六、行程问题 46．小华从A地步行到B地，然后从B地骑自行车返回A地，共用了2小时．已知小华骑自行车的速度为，步行的速度为，求A，B两地之间的距离． 47．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 48．甲、乙两地相距480km．A、B两车分别从甲、乙两地开出，A车速度为80km/h，B车速度为40km/h．同学们提出了如下问题： (1)两车同时开出，相向而行，出发后多少小时两车相遇？ (2)两车相向而行，A车提前半小时出发，B车开出后多少小时两车相遇？相遇地点距离甲地多远？ (3)两车同向同时开出，B车在前，出发后多少小时A车追上B车？ (4)两车背向而行，同时出发，行驶多少小时两车相距960km？ (5)请你解答上述问题，并提出类似问题 压轴题型一、一元一次方程的含参问题 49．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 50．已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 51．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是 ． 压轴题型二、绝对值方程综合 52．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 53．综合与探究 【知识背景】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是多少？数轴上表示和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为______． 54．同学们都知道，表示5与1之差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)______； (2)表示x与______之间的距离；表示x与______之间的距离； (3)当时，x可取整数______写出所有符合条件的整数； (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，的最小值为______． (5)当时，______． 压轴题型三、一元一次方程的销售问题 55．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 56．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 57．过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 压轴题型四、一元一次方程的方案问题 58．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 59．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准： TAXI起步费：14元 超3km费：超过的部分2.2元/km 远途费：超过10km的部分，加价1元/km 小A出行 起步费：10元 里程费：2.4元/km 远途费：超过10km的部分，加价0.8元/km 时长费：0.4元/min（速度：40km/h） 请回答问题：元旦期间，小明外出游玩，约车时发现小A出行有总费用打八折的优惠活动．于是小明决定选乘小A出行．付费后，细心的小明发现，相同的里程，享受优惠活动后的小A出行的费用还是比出租车多了1.8元．求小明乘车的里程数． 60．一台仪器由一个部件和三个部件构成，用钢材可以做个部件或个部件． (1)现要用钢材制作一批这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能使这批仪器制作的尽可能多？这批仪器最多制成多少台？ (2)有一家公司计划租赁（1）中制成的这批仪器，按租赁时间（小时）有两种付费方式，如下表所示： 付费方式 基础租金 超时租金 方式一 当时，每台仪器收取租金50元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 方式二 当时，每台仪器收取租金元 当时，超时部分这批仪器整体按每小时元收费 请你替该公司谋划一下，根据租赁时间选择哪种付费方式能比较节省费用? 压轴题型五、一元一次方程的动点问题 61．如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动． (1)求a，b，c的值； (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 62．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    63．【阅读理解】定义：对于数轴上不同的三个点，若满足，则称点是点关于点的“倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍特征点”，原点也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)填空：若点在和两点之间，其表示的数是，且点是点关于点的“倍特征点”，则______； (2)在数轴上取两点，点在点的右侧，且． 若，且点是点关于点的“倍特征点”，求的值； 若点与点重合，点和点同时以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点运动到点时，所有运动都停止，设运动时间为秒，当三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求的值． 压轴题型六、一元一次方程的新定义问题 64．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 65．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 66．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $