第二十七章 反比例函数（复习课件）数学冀教版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了反比例函数的概念、图像、性质及实际应用，通过知识框架串联反比例函数的三种形式、k的符号对图像与增减性的影响、k的几何意义等核心内容，构建起从定义到应用的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点细化-题型分层-实际应用”的复习策略，如通过对比k>0与k<0时的图像位置培养几何直观，结合菱形对角线面积问题建立反比例函数模型发展模型意识。针对训练从基础辨析到综合题层层递进，帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

单元复习课件 第二十七章 反比例函数 冀教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解反比例函数的概念，会画反比例函数的图像，掌握图像的性质，理解比例系数k的几何意义，能够利用反比例函数解决实际问题. 3.理解和掌握反比例函数 中“”的符号对图像位置和函数增减性的影响。反比例函数“在每个象限内”的增减性. 2. 反比例函数的概念、图像和性质，从实际问题中建立反比例函数模型，并理解自变量的取值范围. 单元学习目标 反比例函数 反比例函数的图像 反比例函数的性质 实际问题 反比例函数的性质 单元知识图谱 考点一、反比例函数的概念 1. 反比例函数的定义 一般地，如果变量 y 和变量 x 之间的函数关系可以表示成y＝(k为常数，且k ≠ 0)的形式，那么称 y 为 x的反比例函数，称为比例系数 . 其中自变量 x 的取值范围是不等于 0 的实数. 在反比例函数的表达式中，无论变量怎样变化，的值始终等于与的乘积，因此人们习惯上称为比例系数.若，则恒成立，失去了 成反比例的意义，所以 . 考点串讲 2. 反比例函数的三种形式 ① ； ② ； ③ .(为常数，且) 考点一、反比例函数的概念 在反比例函数中，两个变量成反比例关系.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 考点串讲 3. 确定反比例函数表达式的方法 一是待定系数法，由于反比例函数 中只有一个待定系数 ，因此只需要将的一对对应值代入反比例函数的表达式，即可求出 的值，从而确定函数表达式； 二是根据问题中两个变量之间的关系直接写出函数表达式 . 考点一、反比例函数的概念 1. 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程. 2. 当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为(为常数， 且). 考点串讲 4. 利用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤 设：根据题意，设反比例函数的表达式为 代：把的一对对应值代入中，得到关于的方程 解：解方程，求出常数 写：把的值代入反比例函数的表达式中即可写出表达式 考点一、反比例函数的概念 考点串讲 1. 图像 反比例函数(为常数，且)的图像由两个分支组成 ，这两个分支分别位于第一、三象限或 第二、四象限，它们关于原点对称 . 因为反比例函数中自变量 ，函数值，所以，它的图像与 轴、 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 , 但永远达不到坐标轴 . 反比例函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 考点二、反比例函数的图像和性质 2.画反比例函数图像的基本步骤 (1)列表：自变量的取值以原点 O 为中心，沿 O 的两边取三对(或三对以上)互为相反数的 x 值，并填写 y 值. (2)描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找． (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线是分段的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交. 考点串讲 3.反比例函数的图像和性质 反比例函数 y＝ (k ≠ 0) k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 考点二、反比例函数的图像和性质 考点串讲 考点二、反比例函数的图像和性质 在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”. 因为当(或)时， 整个函数不是随的增大而减小(增大)，而是函数在每一个象限内，随的增大而减小(增大).所以笼统地说“对于函数 ， 随 的增大而减小”是错误的. 考点串讲 4.反比例函数中的几何性质 ① 矩形的面积 如图，过双曲线上的任意一点分别作轴、轴的垂线，， 所得的矩形的面积. 因为，所以. 所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 考点二、反比例函数的图像和性质 考点串讲 ②三角形的面积 如图，过双曲线上的任意一点作垂直于轴，垂足为，连接，则， 即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为. 考点二、反比例函数的图像和性质 考点串讲 考点二、反比例函数的图像和性质 1. 在利用反比例函数中的几何性质确定k的值时，不仅要注意矩形面积的大小， 还要注意函数图像的位置. 2. 因为中有正、负之分，所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时，都要加上绝对值符号. 考点串讲 考点三、反比例函数的实际应用 1. 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题． 运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： (1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； (2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图像及性质解决问题 . 考点串讲 考点三、反比例函数的实际应用 2. 求反比例函数表达式常用的两种方法 (1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数， 则设函数表达式为y＝ (k为常数， 且k ≠ 0)，再求出k的值； (2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数的表达式． 考点串讲 考点三、反比例函数的实际应用 3. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量； (2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示； (3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； (4)写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； (5)解：用函数的图象和性质去解决实际问题. 1.要厘清题目中的常量与变量及其基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型； 2.要分清自变量和因变量，以便写出正确的函数表达式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的意义、图像和性质，特别是图像，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题． 考点串讲 题型一、反比例函数的概念 例1. 下列函数：① y ＝ x －2，② y ＝ ，③ y ＝ x－1，④ y ＝ ，⑤ xy ＝11， ⑥ y ＝ ，⑦ y ＝ ，⑧ ＝1.其中 y 是 x 的反比例函数的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 解：反比例的三种形式分别为 y ＝ ( k 为常数，且 k ≠0)， xy ＝ k ( k 为常数，且 k ≠0)， y ＝ kx－1( k 为常数，且 k ≠0). 因此符合题意的为②③⑤. 题型剖析 题型一、反比例函数的概念 变式1.已知函数 ， (1)当 m ， n 为何值时，为一次函数？ 解：(1)当函数是一次函数 时，2－ n ＝1，且5 m －3≠0，解得 n ＝1， m ≠ . (2)当 m ， n 为何值时，为正比例函数？ 解：(2)当函数 是正比例函数时，解得 n ＝1， m ＝－1. (3)当 m ， n 为何值时，为反比例函数？ 解：(3)当函数 y ＝(5 m －3) ＋( m ＋ n )是反比例函数时，解得 n ＝3， m ＝－3. 题型剖析 题型二、求反比例函数的表达式 例2. 已知 y 与 x 成反比例，当 x ＝4时 y ＝－2，则 y 与 x 的函数表达式为(　D　) A. y ＝－ B. y ＝－ C. y ＝ D. y ＝－ D 解：设，将可得，故选D项 题型剖析 题型二、求反比例函数的表达式 变式2.在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm. (1)设菱形的两条对角线的长分别为 x (cm)， y (cm)，求 y 关于 x 的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数. 解：(1)∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm， ∴ S菱形＝ ×4×12＝24(cm2).∵菱形的两条对角线的长分别为 x ， y ， ∴ S菱形＝ xy ＝24， ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ ，这个函数是反比例函数，比例系数是48. 题型剖析 变式2.在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm. (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，求这个菱形的边长. 解：(2)∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm， ∴另一条对角线长为 ＝8(cm)， ∴这个菱形的边长为 ＝5(cm). 题型二、求反比例函数的表达式 题型剖析 题型三、反比例函数的图像和画法 例3.如图，反比例函数 y ＝ 的图像可能是(　D　) A B D C D 解：反比例函数图像应该关于原点中心对称，排除A，且，所以排除B、C.选择D项 反比例函数 y ＝ 的图像是双曲线，当 k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当 k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限，且图像距原点越远， k 的绝对值越大. 题型剖析 题型三、反比例函数的图像和画法 变式3. 如图是三个反比例函数 y ＝ ， y ＝ ， y ＝ 的部分图像，由此观察得到 k1， k2， k3的大小关系为(　B　) A. k1＜ k3＜ k2 B. k1＜ k2＜ k3 C. k3＜ k2＜ k1 D. k2＜ k3＜ k1 B 解：根据图像可得的双曲线距离坐标轴更远，所以 题型剖析 题型四、反比例函数图像上点坐标特点 例4.如图，已知直线 y ＝ mx 与双曲线 y ＝ 的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是(　C　) A. (－3，4) B. (－4，－3) C. (－3，－4) D. (4，3) C 解：反比例函数和正比例函数的图像都是关于原点中心对称，所以它们的交点也关于原点中心对称，所以另一个交点坐标是(－3，－4) 题型剖析 变式4.如图，正比例函数 y ＝ kx ( k ≠0)与反比例函数 y ＝－ 的图像交于点 A (－1， m )和点 B ，求点 B 的坐标. 解：把点 A (－1， m )的坐标代入 y ＝－ ， 得 m ＝－ ＝2，∴ A (－1，2). ∵正比例函数 y ＝ kx ( k ≠0)与反比例函数 y ＝－ 的 图像交于点 A 和点 B ，∴点 A 和点 B 关于原点对称， ∴ B (1，－2). 题型四、反比例函数图像上点坐标特点 题型剖析 题型五、反比例函数的性质 例5.已知反比例函数 y ＝－ ，下列结论不正确的是(　B　) A. 图像必经过点(－1，2) B. y 随 x 的增大而增大 C. 图像在第二、四象限内 D. 若 x ＞1，则 y ＞－2 B 解：反比例函数的增减性应当加入在每一个象限内，整个函数不是 的增大而增大 题型剖析 变式5.已知反比例函数 y ＝( m －2) . (1)若它的图像位于第一、三象限，求 m 的值； 解：(1)由题意，可得解得 m ＝3. (2)若它的图像在每个象限内 y 的值随 x 值的增大而增大，求 m 的值. 解：(2)由题意，可得解得 m ＝－2. 题型五、反比例函数的性质 题型剖析 题型六、的几何意义 例6.如图， A ， B 两点在函数 y ＝－ ( x ＜0)的图像上， AC ⊥ y 轴于点 C ， BD ⊥ x 轴于点 D ，△ AOC ，△ BOD 的面积分别记为 S1， S2，则 S1 S2. (填“＞”“＝”或“＜”) ＝　 解： 所以 题型剖析 变式6.如图，反比例函数 y ＝ ( x ＞0)的图像如下，在图像上任取一点 P ，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 M ，则△ OMP 的面积为(　A　) A. 2 B. 3 C. 6 D. 不确定 A 题型六、的几何意义 解：2 题型剖析 题型七、一次函数和反比例函数综合问题 例7.如图，已知 A (－6， n )， B (2，－6)是一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像和反比例函数 y ＝ 的图像的两个交点，直线 AB 与 x 轴交于点 C . (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 解：(1)把 B (2，－6)的坐标代入反比例函数 y ＝ ，得－6＝ ， 解得 m ＝－12，因而反比例函数的表达式是 y ＝－ .把 A (－6， n )的坐标代入 y ＝－ ，得 n ＝－ ＝2，则 A 的坐标是(－6，2)， 根据题意得解得则一次函数的表达式是 y ＝－ x －4. (2)不等式 kx ＋ b － ＜0的解集是 ⁠. －6＜ x ＜0或 x ＞2　 题型剖析 变式7.我们知道，一次函数 y ＝ x ＋1的图像可以由正比例函数 y ＝ x 的图像向左平移1个单位长度得到.爱动脑的小明认为，函数 y ＝ 的图像也可以由反比例函数 y ＝ 的图像通过平移得到，小明通过研究发现自己的想法正确，并指出了平移规律，即只要把函数 y ＝ 的图像向左平移1个单位长度(如图)，就能得到函数 y ＝ 的图像. 如图②，已知双曲线 C ： y ＝ 与直线 L ： y ＝ k2 x 相交于点 A (1，2)和点 B . (1)写出点 B 的坐标，并求 k1和 k2的值. 解：(1)将 A (1，2)的坐标代入 y ＝ ，得2＝ 解得 k1＝2，∴ y ＝ . 将 A (1，2)的坐标代入 y ＝ k2 x ，得 k2＝2， ∴ y ＝2 x .由题意得解得或 ∴ B (－1，－2). 题型七、一次函数和反比例函数综合问题 题型剖析 (2)将双曲线 C 与直线 L 同时向右平移 n ( n ＞0)个单位长度，得到的图像分别记为C'和L'，已知直线L'经过点 M (3，2). ① n 的值为 ⁠； 解：易知直线L'的表达式为 y ＝2( x － n )，将 M (3，2)的坐标代入 y ＝2( x － n )，得2＝2(3－ n )，解得 n ＝2. 2　 ②平移后的双曲线C'对应的函数表达式为 ⁠ ； 解：∵ n ＝2，∴平移后的双曲线C'对应的函数表达式为 y ＝ . 　 题型七、一次函数和反比例函数综合问题 ③利用图像，直接写出不等式 ＞2 x －4的解集为 ⁠ ⁠. x＜1或2＜ x ＜3　 解： y ＝ 与 y ＝2 x －4的图像如图所示，令 ＝2 x －4，解得 x1＝3， x2＝1，结合图像，易知 ＞2 x －4的解集为 x ＜1或2＜ x ＜3. 题型剖析 题型八、反比例函数的实际应用 例8.小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗.台灯的电流 I (单位：A)与电 阻 R (单位： Ω)满足反比例函数关系，其图像如图所示. (1)求 I 关于 R 的函数表达式； 解：设 I ＝ ，由图像可知， 当 R ＝1 100 Ω时， I ＝0.2 A， ∴ k ＝0.2×1 100＝220，∴ I ＝ . (2)当 R ＝1 375 Ω时，求 I 的值； 解：当 R ＝1 375 Ω时， I ＝ ＝0.16(A). 题型剖析 (3)若该台灯工作的最小电流为0.1 A，最大电流为0.25 A， 求该台灯的电阻 R 的取值范围. 解：当 I ＝0.1 A时， R ＝ ＝2200(Ω)； 当 I ＝0.25 A时， R ＝ ＝880(Ω). ∴该台灯的电阻 R 的取值范围为880 Ω≤ R ≤2 200 Ω. 题型剖析 1.下列函数中，是反比例函数的是( ) B A. B. C. D. 2.反比例函数 的图像在( ) B A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 解：A为一次函数，C为常数函数，D为正比例函数，选B 解：，图像在第一、三象限 针对训练 3.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则 的值 可能是( ) A A. 3 B. 2 C. 1 D. 解：当时，随的增大而增大，则，，只有A符合题意 针对训练 4.如图，点在反比例函数 的图像上， 过点作轴，垂足为，点在 轴上，则 的面积为( ) C A. 3 B. 2 C. D. 1 解： 针对训练 5.在同一平面直角坐标系中，函数与 的大致 图像可能为( ) D A. B. C. D. 针对训练 6.若点和点都在反比例函数的图像上，则 的值是 ____． 解：将代入到中，解得， 将代入到中，解得 针对训练 7.已知点，，都在反比例函数 的图像 上，则，，之间的大小关系为__________.（用“ ”连接） 解：，反比例函数在每一个象限随增加而减小，所以，，所以 针对训练 8.如图，这是反比例函数 图像的一个分支，根据图像回答问题： （1）图像的另一支位于哪个象限？常数 的取值范围是 什么？ 解： 反比例函数的一个分支位于第二象限， 另一个分支位于第四象限． ， 解得 ． （2）若点，均在反比例函数 的图像上，且 ，比较， 的大小关系． 解： 在每一个象限内，随的增大而增大， ， ． 针对训练 10.如图，已知反比例函数的图像与一次函数 的图像交于和 两点． （1）求和 的值. （2）若点也在反比例函数 的图像上，求当时， 函数值 的取值范围. 解：（1）当时， . 点的坐标为 ． 反比例函数的图像过点 ， ． （2）， . 当时，随 的增大而减小．当时，；当时， ， 当时， ． 针对训练 11.如图，一次函数的图像与 轴正半轴交于点，与反比例函数的图像交 于，两点.已知 ，点 的纵坐标为3． （1）求 的值. 解：， .将代入，得 ． ． 点 的纵坐标为3，令，，解得 ． ．把代入，得 . （2）求 的面积． 解：联立解得或 ． ． 针对训练 ✅ 知识构建：反比例函数 反比例函数概念→反比例函数图像和性质→反比例函数应用 ✅ 思想方法： 数形结合、数学建模 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $