微专题03 相交线与平行线（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

微专题03 相交线与平行线 题型一 概念理解问题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 【答案】B 【分析】本题考查平行线和相交线，同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，可得答案，解题关键要明确在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行和相交， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图所示，，于，则下列结论中错误的为（　　） A． B．点到的垂线段是线段 C．点到的距离是线段 D．线段的长度是点到的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段，垂直， 根据垂直的定义判断A，再根据垂线段的定义解答B，然后根据点到直线的距离判断C，D． 【详解】解：因为，则，所以A正确； 因为点C到的垂线段是线段，所以B正确； 因为点A到的距离是线段的长度，所以C不正确； 因为线段的长度是点C到的距离，所以D正确． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键． 根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可． 【详解】解∶①对顶角相等，说法正确； ②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确； ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误； 故选∶B． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【答案】 内错 【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 题型二 尺规作图问题（画垂线/平行线） 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2）直线； 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点、、、都在网格的格点上）：    (1)画直线交于点； (2)过点画一条直线，使得； (3)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析图； (2)见解析图； (3)见解析图． 【分析】（）连接，交于一点， 该点即为点； （）取格点，连接并延长，此时直线到直线的距离处处相等，； （）根据题意，得，由垂线段最短，得最小时， 最小，则取格点，连接，即作即可； 本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是正确理解复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 【详解】（1）如图，连接，交于一点，    ∴点为所求； （2）如图，取格点，连接并延长，此时直线到直线的距离处处相等，，    ∴直线为所求； （3）如图，    ∵点在直线上， ∴， ∵的值是固定不变的， ∴当最小时，最小，即时，最小， ∴取格点，连接，此时， ∴点为所求． 8．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知识，需熟练掌握． （1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答； （2）根据点到直线的距离的定义即可得； （3）根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求； ②如图所示，直线即为所求；    （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的平判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的判定作出图形； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解:如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 【答案】(1)图见详解； (2) (3)＜ (4)5 【分析】本题考查作平行线、垂线，点到直线距离的理解应用： （1）先根据格点画出，再根据三角形全等及直角三角形两锐角互余，在位置找与全等的三角形即可得到答案； （2）根据点到直线的距离是垂线段距离直接判断即可得到答案； （3）根据图形判断即可得到答案； （4）根据的面积与的面积相等，即可得到点到的高与点G到的高相等，作平行线即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：由图像可得， ， 故答案为：； （4）解：∵的面积与的面积相等， ∴点到的高与点G到的高相等即可，如图所示， ， ， ∴的面积与的面积相等的点P，有5个． 题型三 几何图形中的角度计算 求一个角的度数时，注意这个角与哪些角具有数量关系，然后结合已知条件选择一个适当的关系去求角. 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若比的2倍少，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程应用，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，设，列出方程，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 设 ∵比的2倍少， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分；平分．若，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了对顶角的性质，角平分线定义，邻补角的定义，根据对顶角的性质求出，根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义求出，根据角的和差关系求出，根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：42． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据角平分线的定义得出 ，再根据平角的定义得； （2）①设，则，，根据列方程求出x，再根据对顶角相等，即可得出的度数；②分在上方、下方两种情况，画出图形，利用角的和差关系求解． 【详解】（1）解： 平分，， ， ； （2）解：① 平分， 设 ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ； ②由①知， 时，， 分两种情况： 当在上方时，如图， ； 当在下方时，如图， ； 综上可知，的度数为或． 题型四 判定两直线的平行 判定两条直线平行的方法有六种： ①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ②平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. ③同位角相等，两直线平行; ④内错角相等，两直线平行; ⑤同旁内角互补，两直线平行; ⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行, 1）根据题目已知条件，指出两直线平行的依据. 16．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是结合图形准确分析平行线的判定方法．根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行的方法作已知直线的平行线． 【详解】解：如图， 由作图可得， 根据同位角相等，两直线平行得到所作的为已知直线的平行线． 故选：A 17．（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：C． 18．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故选C． 19．（2024·吉林长春·二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，由图可得和是一对同位角，根据同位角相等，两直线平行即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴斑马线互相平行，这种验证方法依据的基本事实是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 2）添加一个条件，使两条直线平行. 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能判断是那两条直线被那一直线所截的角，并进一步判断那两直线平行是解此题的关键． 根据平行线的判定定理：角平分线的判断判断①，内错角相等，两直线平行判断②③，同旁内角互补，两直线平行，判断④、⑤即可． 【详解】解：①，只能说明是的角平分线，不能得出，故不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），，故符合题意； ③∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故不符合题意； ⑤∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故符合题意， 则符合题意的是． 故选：C． 21．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）给出下面的推理，其中正确的是（　　） ①∵，∴ ②∵，∴ ③∵，∴ ④∵，，∴ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，1、平行线的判定定理∶ ①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④若，，那么；以此为依据进行判断选择；2、结合图形，确定已知角之间的关系，即是否是同位角、同旁内角、内错角关系；3、注意检查已知角是否是由要判断的两线截得的同位角、同旁内角或内错角，否则易错选，如③．根据上述判定方式进行判断即可． 【详解】解：①∵，∴．正确．（内错角相等，两直线平行）； ②∵，∴．正确．（同位角相等，两直线平行）； ③与不是同旁内角，是内错角，内错角互补不一定能判定两直线平行，即与不一定平行．故原说法错误； ④∵，，∴．正确．（如果两条平行线中的一条与第三条直线平行那么另一条也与第三条平行）． ∴正确的是①②④． 故选：B 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 24．（2025·福建厦门·二模）如图，张师傅将两根木条和固定在点A处，在木条上点O处安装一根能旋转的木条．张师傅用量角仪测得，木条与的夹角，要使，木条绕点O至少旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题平行线的判定，根据平行线的判定方法，得到当时，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，当时，， ∴木条绕点O至少旋转； 故选B． 3）补全两条直线平行的证明过程. 25．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）完成下面的证明过程，并在括号内填写依据． 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：，（已知） _______ （②_______） （③_______） 又 （④_______） （⑤_______） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】首先根据同角的补角相等这一性质，得出与另一角的关系，进而根据内错角相等，两直线平行判定与的位置关系；再依据两直线平行，同位角相等得到与另一角的关系；然后结合已知条件，通过等量代换得出与另一角的关系；最后根据同位角相等，两直线平行来证明与的位置关系．本题主要考查了平行线的判定定理与性质定理，以及同角的补角相等这一性质和等量代换的思想．熟练掌握平行线的判定与性质，并能灵活运用它们进行几何证明是解题的关键． 【详解】解：，（已知）， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 26．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 【答案】垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直定义）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）． 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行． 27．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，，点E在上，点F在上，，求证：． 证明：（已知） （ ① ） （等量代换） （ ② ） ③ （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （ ④ ） （等量代换） 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等； 【分析】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，理解逻辑推理的顺序是解本题的关键，根据每一步的条件及得出的结论写好推理依据即可． 【详解】证明：（已知） （对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 28．（22-23七年级下·江苏南京·期中）请结合题意，在横线上填上合适的推理依据． 如图，，，求证：．    证明：∵(已知) ∴(垂直的定义) ∵(已知) ∴____________(____________________) ∴______(____________________) 又∵(已知) ∴(____________________) ∴(____________________) ∴(两直线平行，同位角相等) ∴． 【答案】    同位角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等  等量代换  同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、等量代换等进行填空即可． 【详解】∵(已知) ∴(垂直的定义) ∵(已知) ∴ (同位角相等，两直线平行) ∴(两直线平行，内错角相等) 又∵(已知) ∴(等量代换) ∴(同旁内角互补，两直线平行) ∴(两直线平行，同位角相等) ∴． 【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、等量代换等知识点，解题的关键是熟知并能灵活运用这些知识点． 29．（2023七年级下·江苏·专题练习）通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据． 已知：如图，点在直线上，点在直线上，，． 求证：． 证明：（已知）， 　　， （等量代换）， 　　， 　　　　， 又（已知）， 　　， 　　　　　　， 　　．    【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；，；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】首先根据已知条件推出，从而得到，然后得到，证得，即可证得结论． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故本题答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；，；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定综合运用，区分平行线的性质定理和判定定理并熟练运用是解题关键． 4）根据已知条件证明两条直线平行 30．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出 ，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 31．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，E是上一点．    (1)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (2)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (3)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? 【答案】(1)，理由是：内错角相等，两直线平行 (2)，理由是：同旁内角互补，两直线平行 (3)，理由是：同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键； （1）由内错角相等，两直线平行可得答案； （2）由同旁内角互补，两直线平行可得答案； （3）由同位角相等，两直线平行可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， 理由是：内错角相等，两直线平行； （2）∵， ∴， 理由是：同旁内角互补，两直线平行； （3）∵， ∴， 理由是：同位角相等，两直线平行. 32．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 33．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇用6块相同的三角尺（注：在三角尺中，，，）拼接成一个如图所示的图形． (1)请你帮她找出图中的各组平行线． (2)选择（1）中的一组平行线，进行证明． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）直接写出平行线即可解题； （2）选取一组平行线根据证明同旁内角互补，两直线平行解题即可． 【详解】（1）解：平行线为，，． （2）我选择． 证明：∵， ∴点，，在同一条直线上． ∵， ∴点，，在同一条直线上． ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型五 利用平行线的性质求角的度数 运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 34．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，，，平分且与交于点O，那么与相等的角有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等． 先根据角平分线的定义得出，，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 35．（2024·河南新乡·二模）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据平角的定义，求得，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∵， ∴ 故选：D． 36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故选：D 37．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 38．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 39．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，，则的大小是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 题型六 平行线的性质在实际生活中的运用 40．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，理解题意，根据题意作图，利用数形结合的思想，掌握平行线的判定是解答本题的关键． 根据题意，作正确的图形，然后根据平行线的判定定理，选出答案． 【详解】解： ， ， 故第一次右拐，第二次左拐， 故选：． 41．（22-23八年级上·全国·单元测试）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（　　） A．100° B．160° C．140° D．120° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 42．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 43．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键． 44．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 45．（22-23八年级上·河北邯郸·阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    【答案】（1）为时，才能使公路准确接通；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质，可求出答案； （2）利用方向角以及平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1， ， ， ， 答：当时，才能使公路准确接通； （2）如图2，由题意得，，，， ， ，， ， 即：．    【点睛】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义，掌握平行线的性质是正确解答的前提． 46．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)70 (3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【详解】（1）解： ABCD．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； （3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 题型七 根据平行线的性质探究角的关系 47．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】(1)，见解析 (2)不变化 (3)或，见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解： ，不会变化，其证明与第一问相同． （3）证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 48．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系 （直接写结论）． 由图（2）易得、、的关系 （直接写结论）． ②从图（1）图（2）任选一个图形说明①中其中一个结论成立的理由． [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，与两个角的角平分线相交于点F．若，求的度数． 【答案】①；②理由见解析；③． 【分析】①观察图形即可求解； ②如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； 如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据角平分线定义得：，，由得：，再根据四边形的内角和可得结论． 本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． 【详解】解：①由图（1）易得、、的关系． 由图（2）易得、、的关系． 故答案为：；； ②如图（1）所示：过点作， ，， ， ，， ， ； 如图（2）所示：过点作， ，， ， ，， ； ③如图（3），过点作， 、分别是和的平分线， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 49．（23-24八年级上·广东梅州·期末）（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展提升：如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数． 【答案】（1）见解析   （2），理由见解析  （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线性质得出，，即可得出答案； （2）根据平行线性质求出，，即可得出答案； （3）由，，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过E点作， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由为： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）由（1）可得：， 又∵，分别平分与， ∴，， ∴． 题型八 平行线的判定与性质综合 50．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定（内错角相等、同位角相等判定两直线平行）与性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）．解题思想与方法：转化思想，将角的相等关系转化为直线的平行关系，再将平行关系转化为角的数量关系；方程思想，通过设未知数，利用角的数量关系列方程求解．解题关键：熟练运用平行线的判定定理和性质定理，准确找到角之间的关联，建立方程求解角度．易错点：在运用平行线的判定和性质时，容易混淆角的位置关系（如内错角、同位角、同旁内角的识别），导致推理错误；设未知数时，角的比例关系对应错误，影响方程的建立． （1）要证明，先看已知角的关系．由，根据“内错角相等，两直线平行”，得出．再由，利用“两直线平行，内错角相等”，得到．又因为，通过等量代换得到，最后根据“同位角相等，两直线平行”，证明． （2）已知，可设，则．由（1）知，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知．又因为，所以列方程，求解得，进而得出． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ． （2）解：设． ， ． ， ， ， 解得， ∴． 51．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】 （1）根据，得到，从而得到的度数，利用角平分线，得到结果即可； （2）根据，得到，结合对顶角相等，以及角平分线的定义，得到，利用同角的余角相等，得到结果即可． 本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2） 解：，理由如下： 过B点作的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 53．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）①理由见解析；②，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行的性质，垂线的概念． （1）过点E作，则，由平分线的性质得，，则，据此即可得出，，之间的数量关系； （2）①根据得，则，再根据光线的入射角等于反射角得，据此即可得出结论； ②由①的结论得，，则，再由（1）的结论得，，由此即可得出与的数量关系． 【详解】解：（1），，之间的数量关系是：，理由如下： 过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）①理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是：，理由如下： 由①的结论得：，， ∴， ∵， 由（1）的结论得：，， ∴． 题型九 利用平行线间的距离解决问题 54．（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．与是等底等高的两个三角形，它们的面积相等． 【详解】解：直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等． 又， 与是等底等高的两个三角形， ， 故选：C． 55．（22-23八年级下·江西九江·期末）如图：已知直线，点在上，点在上，若的面积为27，且，则平行线与之间的距离为 ．    【答案】6 【分析】两条平行线之间的距离指的是一条直线上任意一点到另一条线段的垂线段的长度，由此将平行线与之间的距离转化为点到的垂线段的长度，然后根据三角形的面积求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交于点，   ， 则， 的面积为27，且， ， ， 平行线与之间的距离为：6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查两条平行线的距离，根据定义转化为线段的长度，从而转化为已知三角形的面积求高的长，其中两条平行线的距离的转化是关键． 56．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    57．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 题型十 多边形中的对角线问题 58．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 59．（22-23七年级下·山东聊城·期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 60．（20-21七年级上·河南信阳·期末）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）①；②；（2）135个 【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②； （2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。 【详解】（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：①；② （2）因为（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为（个）． 【点睛】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 相交线与平行线 题型一 概念理解问题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图所示，，于，则下列结论中错误的为（　　） A． B．点到的垂线段是线段 C．点到的距离是线段 D．线段的长度是点到的距离 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 题型二 尺规作图问题（画垂线/平行线） 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 7．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点、、、都在网格的格点上）：    (1)画直线交于点； (2)过点画一条直线，使得； (3)在直线上画出点，使最小． 8．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 题型三 几何图形中的角度计算 求一个角的度数时，注意这个角与哪些角具有数量关系，然后结合已知条件选择一个适当的关系去求角. 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，，若比的2倍少，那么是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分；平分．若，则 ． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 题型四 判定两直线的平行 判定两条直线平行的方法有六种： ①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ②平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. ③同位角相等，两直线平行; ④内错角相等，两直线平行; ⑤同旁内角互补，两直线平行; ⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行, 1）根据题目已知条件，指出两直线平行的依据. 16．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 17．（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 18．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 19．（2024·吉林长春·二模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是 ． 2）添加一个条件，使两条直线平行. 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 21．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）给出下面的推理，其中正确的是（　　） ①∵，∴②∵，∴③∵，∴ ④∵，，∴ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·福建厦门·二模）如图，张师傅将两根木条和固定在点A处，在木条上点O处安装一根能旋转的木条．张师傅用量角仪测得，木条与的夹角，要使，木条绕点O至少旋转（    ） A． B． C． D． 3）补全两条直线平行的证明过程. 25．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）完成下面的证明过程，并在括号内填写依据． 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：，（已知） _______ （②_______） （③_______） 又 （④_______） （⑤_______） 26．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 27．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，，点E在上，点F在上，，求证：． 证明：（已知） （ ① ） （等量代换） （ ② ） ③ （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （ ④ ） （等量代换） 28．（22-23七年级下·江苏南京·期中）请结合题意，在横线上填上合适的推理依据． 如图，，，求证：．    证明：∵(已知) ∴(垂直的定义) ∵(已知) ∴____________(____________________) ∴______(____________________) 又∵(已知) ∴(____________________) ∴(____________________) ∴(两直线平行，同位角相等) ∴． 29．（2023七年级下·江苏·专题练习）通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据． 已知：如图，点在直线上，点在直线上，，． 求证：． 证明：（已知）， 　　， （等量代换）， 　　， 　　　　， 又（已知）， 　　， 　　　　　　， 　　．    4）根据已知条件证明两条直线平行 30．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 31．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，E是上一点．    (1)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (2)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (3)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? 32．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 33．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇用6块相同的三角尺（注：在三角尺中，，，）拼接成一个如图所示的图形． (1)请你帮她找出图中的各组平行线． (2)选择（1）中的一组平行线，进行证明． 题型五 利用平行线的性质求角的度数 运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 34．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，，，平分且与交于点O，那么与相等的角有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 35．（2024·河南新乡·二模）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 39．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，，则的大小是（　　）    A． B． C． D． 题型六 平行线的性质在实际生活中的运用 40．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 41．（22-23八年级上·全国·单元测试）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（　　） A．100° B．160° C．140° D．120° 42．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    43．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    44．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 45．（22-23八年级上·河北邯郸·阶段练习）（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    46．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 题型七 根据平行线的性质探究角的关系 47．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 48．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系 （直接写结论）． 由图（2）易得、、的关系 （直接写结论）． ②从图（1）图（2）任选一个图形说明①中其中一个结论成立的理由． [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，与两个角的角平分线相交于点F．若，求的度数． 49．（23-24八年级上·广东梅州·期末）（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展提升：如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数． 题型八 平行线的判定与性质综合 50．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 51．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 52．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 53．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 题型九 利用平行线间的距离解决问题 54．（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 55．（22-23八年级下·江西九江·期末）如图：已知直线，点在上，点在上，若的面积为27，且，则平行线与之间的距离为 ．    56．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    57．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 题型十 多边形中的对角线问题 58．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 59．（22-23七年级下·山东聊城·期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 多边形对角线的总条数 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 60．（20-21七年级上·河南信阳·期末）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①___________ 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②___________ （1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________； （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $