黑龙江省龙东地区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025- 2026年九年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间90分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 三 题号 总分 21 22 23 24 25 26 27 28 得分 得分 评卷 、选择题（每题3分，满分30分）】 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.2x+y=1 B.x2+3.xy=6 C.x+1=4 D.x2=3x-2 2下面的图形是用数学家的名命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( A.赵爽弦图 B科克曲线 (:笛卡尔心形线 D斐波那裂螺旋线 3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转45°后得到△A'BC',若∠A= 115°，∠C=35°，则∠A'BC的度数为 A.5° B.10° C.15° D.25° 4.将抛物线y=x2十1向左平移3个单位长度得到抛物线( 第3题图 A.y=(x+3)2+1 B.y=(x-3)2+1 C.y=x2十4 D.y=x2-2 5.若关于x的一元二次方程kx2一6x十9一0有两个实数根，则k的取值范围是( A.k<1且k≠0B.k≤1 C.k≤0 D.k≤1且.k≠0 6.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均 每月降低的百分率为x,根据题意列出的方程是 A.3200(1-x)=2500 B.2500(1-x)2=3200 C.2500(1十x)2=3200 D.3200(1+x)2=2500 数学试卷第1页（共8页）(ZK) 扫描全能王创建 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax4c和二次函数y=ax2-2x十c的图象大致为 8.如图，两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形DEF的斜边AB=DE=I0,点E与点A重 合，斜边AB与DE在一条直线上，△ABC保持不动，△DEF以每秒2个单位长度的速度向 右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部 分的面积为y,则y与x的函数关系图象大致是 50 A(E 10秒可 10秒0 10秒可 10秘 第8题图 9.如图，已知顶点为(-3，一6)的抛物线y=a.x2一bx十c过（一1，一4）. 则下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,均有am2十m十c+6>0: 0-5a十c=-4:④若ar+bx十c≥-4则x≥-1，回a<专其 中结论正确的个数为 A.2个 第9题图 B.3个 C.4个 D.5个 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P是BC的中点， ∠EPF=90°，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，∠EPF两 边PE,PF分别交AB,AC于点E,F.下列结论：①AE=CF; ②∠APE=∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形；④S四边EA5F= 第10题图 SaAc6⑤EF=AP,其中结论正确的个数为 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 得分 评卷人 、填空题（每题3分，满分30分） 11.请写出一个有一根为2的一般形式的·元.二次方程 12.若点P(m,-2)与点Q(3,n)关于原点对称，则m”= 13.若(m十1)xm+十6m.x-2=0是关于x的一元二次方程，则m= 14.二次函数y=一5(x一2)2-3的顶点坐标为 数学试卷第2页（共8页）（ZK) 扫描全能王创建 可8影 15.已知A(-1y,B(4)是抛物线y=x:-5上的两点，则和)：的大小关系是 y（填“>”“<”或“”). 16.定义新运算a⑧6=口-b,a≤0， 例如：一2☒4=(-2)2-4=0,2☒3=-2+3=1. -a+b,a>0. 若x因1=一则上的值为 17.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为三角形内一点，PA=32,PB=8,PC=10, 则∠APB的度数是 18.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC-9,E是边AB上一点，AE=2,F是直线BC上一动 点，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,连接CG,DG,则△GCD的周长最小值 是 19.如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=2,BC=3.D为BC边上一动点，连接AD,并将AD 绕点D顺时针旋转90°得到DE.当△DCE是等腰三角形时，BD的长为 20.如图，抛物线y一x2在第-象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为 A1,A2,A,,…,An,将抛物线y=x2沿直线l:y=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足 条件：①抛物线的顶点M,M2,M,…,Mn都在直线y=x上；②抛物线依次经过点A,, A2,A,,…,A。,则顶点M226的坐标为 D 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图 三、解答题（满分60分）】 得分 评卷人 21.(本题满分6分) 用适当的方法解下列方程： (1)(x-1)(x+2)=4; (2)2x2-4x-3=0. 数学试卷第3页（共8页）(ZK) 扫描全能王创建 得分 评卷人 22.(本题满分5分) 先化简，再求值： a2-41） a24a+42-a ,222其中2是方程x2+3x+1=0的根 得分 评卷人 23.(本题满分6分) 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标 系，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B,C1,并写出点B的对应点B1的坐标； (2)画出将△ABC绕原点Q按逆时针方向旋转90°后的图形人A:B:C2; (3)连接CC1,C:C:,C,C,求出△CC1C2的面积. 2 5 -5-4-3-2-10 12345 第23题图 数学试卷第4页（共8页）(ZK) 扫描全能王创建 得分 评卷人 24.(本题满分7分) 已知关于x的一元二次方程一12)x+k:=0(为常数)有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根x1,x?是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为12，求k的值 得分 评卷人 25.(本题满分8分) 如图，有长为24m的篱笆，-面利用墙（墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有-·道篇 笆的长方形花圃， (1)如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长； (2)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米 10m D 第25题图 数学试卷第5页（共8页）（ZK) 扫描全能王创建 得分 评卷人 26.(本题满分8分) 在等边三角形ABC中，P为边BC所在直线上一点，连接AP,将线段AP绕点P顺时针 旋转60°得到PQ,过点Q作QM∥BC交直线AC于点M. (1)当点P在BC边上时，如图①，求证：CP+QM=AB; (2)当点P在BC的延长线.上时，如图②：当点P在CB的延长线上时，如图③，线段CP,QM, AB之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明 0 M 图① 图② 图③ 第26题图 数学试卷第6页（共8页）(ZK) 扫描全能王创建 得分 评卷人 27.(本题满分10分) 某超市销售--种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每 月的销售量为50件，若销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于 成本.设该商品每月的销售量为y(单位：件)，销售单价为x(单位：元) (1)求y与x之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）： (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多实惠，销售单价应定为多少元？ (3)超市的销售人员发现：当该商品每月的销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而诚小 的情况，为了使每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 数学试卷第7页（共8页）(ZK) 扫描全能王创建 得分 评卷人 28.(本题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x十b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,过A, B两点的抛物线交x轴于另~点C,且OA=2OC,F是直线AB下方抛物线上的动点，连接 FA,FB. (1)求抛物线的解析式； (2)当点F与抛物线的顶点重合时，求△ABF的面积： (3)四边形FAOB面积的最大值为 ,此时点F的坐标为 (4)在(3)的条件下，Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M,使以A,F, Q,M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，说明理由 第28题图 数学试卷第8页（共8页）(ZK) 扫描全能王创建2025一2026年九年级上学期综合练习（一） 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（每题3分，满分30分） 1.D2.B3.C4.A5.D6.A7.D8.C9.B10.C 二、填空题（每题3分，满分30分） 11.x2-3x+2=0(答案不唯一)12.913.114.(2，-3)15.< 16-2或号 17.135°18.1819.5或25-220.4051,4051) 6 三、解答题（满分60分） 21.(本题满分6分) 解：(1)原方程整理，得x2十x一6=0， .(x十3)(x-2)=0.…(1分) x十3=0或x-2=0.…(1分) 江1=-3，x2=2.…(1分) (2)2x2-4x-3=0, .△=b2-4ac=(-4)2-4×2X(-3)=40>0.…(1分) x=4±40 =1±0 2 ……（们分) 2×2 ·21=1+ 22=1- √10 2 22.(本题满分5分) 解：原式 「(a+2)(a-2) 1 a(a-2) ……………………(1分) (a-2)2 a-2 =a+3,a(a-2) …(们分） a-2 2 数学答案第1页（共6页）(ZK) _a2+3a …(1分) 2 a是方程x2十3.x十1=0的根， a2+3a十1=0，即a2十3a=-1.…(1分) 原式=一2 1 23.(本题满分6分) 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(-3，一4).…(2分) (2)如图，△A2B2C2即为所求.…(2分) 1 (3)S△cc1c2= X4X4=8.… …(2分) 2 5 B A 2 -10 5 24.(本题满分7分) 解：1)：关于的一元二次方程云2一（k+2)z十：=-0为常数)有两个实数根， ☑≥0.…………………………………………………(1分） 即[-(k十2)]2-4X1X1k2≥0，…1分) 4 解得≥1.…（们分) (2):方程的两个实数根x1,x2是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为12， 数学答案第2页（共6页）(ZK) x1·x2=12.… (1分) (1分) 解得k1=4√5，k2=一4√3（舍去）. (1分) k的值为4√3.… …(1分) 25.(本题满分8分) 解：(1)设AB=xm,则BC长为(24-3x)m. 根据题意，得x(24一3.x)=45,……（1分) 整理，得x2一8x十15=0， 解得x1=3,x2=5.……(1分) 当x=3时，BC=24一9=15>10不成立.…(1分) 当x=5时，BC=24一15=9<10成立.…(1分) 答：AB的长为5m.…(1分) (2)设围成的花圃面积为Sm2.由题意，得S=24x一3x2=一3(x-4)2十48.… …(1分) ,墙的最大可用长度为10m,0<24一3x≤10， ≤<8 ………………………（1分) 当x>4时，S随x的增大而减小， :当，普时S有最大值，即有是大面积的花画。 最大面积为24×4-3× 140 (m2).………（1分) 3 答：最大面积是号 m2. 数学答案第3页（共6页）(ZK) 26.(本题满分8分) 解：(1)证明：如图①，延长BC到点N,使PN=AB,连接NQ, :∠QPN+∠APQ=∠PAB+∠B, ∠B=∠APQ=60°， ∠PAB=∠QPN.……(1分) .NP=AB,PQ=AP, .△NPQ≌△BAP.…(1分) .∠QNP=∠ABP=∠ACB=60°.……(1分) .NQ∥AC. .QM∥CB, .四边形VQMC为平行四边形.…（1分) ..QM=NC. …(1分) .CP+CN=PN, .CP十QM=AB.…(1分) 图① (2)图②结论：QM一CP=AB.…(1分) 图③结论：CP-QM=AB.…(1分) 27.(本题满分10分) 解：(1)依题意，得y=50十（100一x)×5=一5.x十550.…（2分) y与x的函数关系式为y=-5x十550.…(1分) 数学答案第4页（共6页）(ZK) (2)依题意，得y(x一50)=4000，… (1分) 即(-5x+550)(x-50)=4000. 解得x1=70,x2=90.……(1分) 70<90, ∴.当该商品每月销售利润为4000元时，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定 为70元.…(1分) (3)设每月总利润为元. 依题意，得=(-5.2+550)(x-50)=一5.x2+800x-27500 =-5(x一80)2+4500.……(2分) :一5<0，此图象开口向下， .当x=80时，有最大值为4500.…(1分) 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元.…(1分) 28.(本题满分10分) 解：(1)把A(4,0)代人y=x十b,得4十b=0,解得b=-4. .y=x-4. 当x=0时，y=0-4=-4, .B(0,-4). A(4,0), ∴.OA=4. .OA =20C, .OC=2. .C(-2,0).…(1分) 设抛物线的解析式为y=a(x十2)(x一4)， 数学答案第5页（共6页）(ZK) 把B(0,一4)代入，得-4=a(0+2)(0-4). 解得a=2 1 小抛物线的解折武为y=号红十2x一4)=2一2一4.…1分) 1 2)y-x-4-3x-109-号 ,点F与抛物线的顶点重合， r-) 设抛物线对称轴与直线AB相交于点E,如图. :直线AB的解析式为y=x一4， .当x=1时，y=1-4=-3. .E(1,3).……………(1分)》 1 …(1分) (3)12.……(1分) （2,一4).……………………………………………（1分） (4)存在.Q1(8,-2),Q2(6,一6)，Q3(5,-3),Q4(1,-1).…(4分) 数学答案第6页（共6页）(ZK)