山东省2025年冬季普通高中学业水平合格考试数学仿真模拟卷03

山东省2025年冬季普通高中学业水平合格考试 数学仿真模拟试卷03·参考答案 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B C B C D C B A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C C B C A D A B D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） 21． 22．3 23． 24． 25． 三、解答题（本题共3小题，共25分） 26．（本小题满分8分） 【解】（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为， 因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽 取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: . 所以应从第，，组中分别抽取人，人，人. ………………………………………………4分 （2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件. 记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则 从名志愿者中抽取名志愿者有: ，，，，，，，，，， ，，，，，共有种. 其中第组的志愿者被抽中的有种， 答：第组的志愿者有被抽中的概率为 …………………………………………………8分 27．（本小题满分8分） 【解】（1）证明：因为，所以. 又因为平面平面，所以平面.……………………………………3分 （2）由题意知为四棱锥的高. 因为是圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，所以. 由（1）知，，所以四边形是直角梯形. 在中，，所以.……………………5分 在等腰直角三角形中，因为，所以. 在直角梯形中，， 所以直角梯形的面积. 所以四棱锥的体积.………………………………………8分 28．（本小题满分8分） 【解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解，…………………………………………………1分 令，则， 因为函数在上单调递增，且，……………………………………………2分 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. ……………………………………………………4分 （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又，…………………………………6分 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. ……………………………………………………9分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2025年冬季普通高中学业水平合格考试 数学仿真模拟试卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得所以复数z的虚部为.故选：A 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“”的否定是：.故选：A. 3．已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【解析】由题设，可得.故选：C 5．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知，三个年级共有(人)， 则高一抽取的人数为，高二抽取的人数为， 高三抽取的人数为.故选：B. 6．若，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由<0，得b<a<0，故B项正确；∴a2<b2，ab<b2，故C项不正确，D项正确； ∵a+b<0，ab>0，∴a+b<ab，故A项正确.故选：C 7．已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，点在直线上，则，可得， 因此，. 故选：D. 8．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【解析】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱.故选：C 9．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】，故，. 故选：B. 10．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】易知向右平行移动个单位长度可得 .故选：A 11．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 【答案】B 【解析】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，A错误； 根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确； 根据圆锥、圆台的定义知，圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，C错误； 棱台的两个底面相似，其中较小的面是上底面，较大的面是下底面，D错误． 故选：B 12．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】由，可得或，则可以推出； 由，可得：或，则可以推出， 所以“”是“”的充分必要条件，故选：. 13．函数，且)恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时， ， 所以函数恒过定点.故选：C 14．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故选：B 15．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上递增， ， ， ，所以的唯一零点在区间. 故选：C 16．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数的最小正周期为， 故即 令即 令，可得，故A正确； BCD选项中，不存在与之对应，故错误故选：A 17．的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，不妨设， 则 所以 故选：D 18．如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接，，    可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 19．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第一次抽到红球，第二次抽到红球的概率为； 第一次抽到黄球，第二次抽到红球的概率为. 综上所述，第二次抽到红球的概率为. 故选：B. 20．函数的零点个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【解析】由题意可知：的定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得，    由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 故选：D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） 21．已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【解析】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 22．若一组数据1，2，4，2，5，3，7，，3的唯一众数是2，则这组数据的第60百分位数为 . 【答案】3 【解析】因为唯一众数为2，故， 9个数由小到大排列为：， 而，故这组数据的第60百分位数为第6个数即， 23．已知向量满足，的夹角为，则 . 【答案】 【解析】， 24．已知，，则 . 【答案】/-0.125 【解析】因为，， 故， 25．已知三棱锥中，底面，，，，，则该三棱锥的内切球的体积为 ． 【答案】 【解析】设三棱锥的内切球的半径为， 由题意得，底面，且， 则，所以底面为直角三角形， 三棱锥的表面积为， 且三棱锥的体积为， 由表面积与内切球半径的乘积的等于三棱锥的体积，即，解得， 所以内切球的体积为. 三、解答题（本题共3小题，共25分） 26．（本小题满分8分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率. 【解】（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为， 因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽 取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: . 所以应从第，，组中分别抽取人，人，人. ………………………………………………4分 （2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件. 记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则 从名志愿者中抽取名志愿者有: ，，，，，，，，，， ，，，，，共有种. 其中第组的志愿者被抽中的有种， 答：第组的志愿者有被抽中的概率为 …………………………………………………8分 27．（本小题满分8分）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【解】（1）证明：因为，所以. 又因为平面平面，所以平面.……………………………………3分 （2）由题意知为四棱锥的高. 因为是圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，所以. 由（1）知，，所以四边形是直角梯形. 在中，，所以.……………………5分 在等腰直角三角形中，因为，所以. 在直角梯形中，， 所以直角梯形的面积. 所以四棱锥的体积.………………………………………8分 28．（本小题满分8分）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 【解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解，…………………………………………………1分 令，则， 因为函数在上单调递增，且，……………………………………………2分 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. ……………………………………………………4分 （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又，…………………………………6分 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. ……………………………………………………9分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 山东省2025年冬季学考仿真模拟试卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） ) ( 21． _______________________ 22． _______________________ 23． _______________________ 24． _______________________ 25． _______________________ 26. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续26题） 27． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2025年冬季普通高中学业水平合格考试 数学仿真模拟试卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．R 5．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 6．若，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 9．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 11．下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 12．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 13．函数，且)恒过定点（    ） A． B． C． D． 14．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 16．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 17．的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（    ） A． B． C． D． 18．如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 19．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 20．函数的零点个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） 21．已知是定义在上的偶函数，则 . 22．若一组数据1，2，4，2，5，3，7，，3的唯一众数是2，则这组数据的第60百分位数为 23．已知向量满足，的夹角为，则 . 24．已知，，则 . 25．已知三棱锥中，底面，，，，，则该三棱锥的内切球的体积为 ． 三、解答题（本题共3小题，共25分） 26．（本小题满分8分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率. 27．（本小题满分8分）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 28．（本小题满分8分）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $